第六章 空间解析几何要求与练习含答案

第

六章 要求与练习

一、学习要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.

3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.

二、练习

1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量.

解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的

分向量2k ；（2）AB =

；（3）AB

（4）AB 382)

i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -.

解：(

)

2

220||||||2||||cos60a b a b

a b a b +=

+=++=

()

2

220||||||2||||cos60a b a b a b a b -=

-=+-=7.

3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求

（1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦.

解（1）2223a =

+=平行于向量a 的单位向量221

{,,}333±；

（2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999

-.

4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.

解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；

5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求

（1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影； （3）以a 、b 为边的平行四边形的面积以及夹角余弦. 解（1）()6,1,10,137c a b c =⨯=--=，0

6,1,10)

c --； （2）()

cos ,17

a b a b a b

⋅=

=

⋅；

（3）()

sin ,137S a b a b a b =⨯=⋅=()

cos ,a b =

6、设0a b c ++=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++. 解：(

)

2

22220a b c

a b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-；

7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1）经过点(5,4,6)--； （2）与平面2433x y z ++=垂直； （3）与平面230x y z -+=成

4

π

的角； （4）与原点相距3个单位；

解：7、（1）2； （2）1； （3）2

±

； （4）2±； 8、已知平面平行于y 轴，且过点(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -，求平面的方程.

解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1P -和(3,2,1)Q -代入求得

1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=.

9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程.

解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得，

1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.

10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平面0x y +=与510y z +-=的平面方程. 解：两平面的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==，所示平面的法向量为：

()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =⨯=⨯=-，则所示的平面方程为：540x y z -+-=.

11、把直线1

24

x y z x y z -+=⎧⎨

++=⎩化为对称式方程及参数方程.

解：两平面的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=，则直线的方向向量为：

()()()121,1,12,1,12,1,3s n n =⨯=-⨯=-，取直线上一点为：(1，1，1)，则直线对称式方

程为：111,213x y z t ---===-参数方程为:12113x t

y t z t

=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩

.

解二：若取点为：(0，-3/2,5/2) ,则直线对称式方程为：3/25/2

213

x y z --==

- ， 参数方程为:2,3/2,35/2x t y t z t =-=+=+.

12、求过点(0,2,4)且与平面21x z +=及32y z -=都平行的直线方程.

解：两平面的法向量为：()()121,2,2,0,1,3n n ==-，则直线的方向向量为：

()()()111,2,20,1,32,3,1s n n =⨯=⨯-=-，则直线方程为：

24231

x y z t --===-，或2234x t

y t z t =-⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

13、一直线过点(2,3,4)A -且和y 轴垂直相交，求其方程.

解：过点(2,3,4)A -的直线与y 轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的方向向量为：

(2，0，4)，所以直线方程为：231204x y z -++==

，即30

2124

y x z +=⎧⎪

⎨-+=⎪⎩. 14．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为(

)x z

y 52

2

2

=+±，即x z y

522

=+。

15．画出下列各方程所表示的曲面：