罗尔定理在函数零点问题中的应用(可编辑)

罗尔定理在函数零点问题中的应用（可编辑）罗尔定理在函数零点问题中的应用
本科毕业论文
题目罗尔定理在函数零点问题中的应用
系别数学与信息科学学院
专业数学与应用数学
指导教师
评阅教师班级级2班
姓名学号
年 5 月 10 日
目录
摘要…………………………………………………………………………………………………? Abstract……………………………………………………………………………………?
引言………………………………………………………………………………………
(1)
1概念及定理 (1)
2罗尔定理在函数零点问题中的应用 (3)
2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用 (3)
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应
用 (4)
2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应
用 (5)
2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问
题..........................................52.4.1 Laguerre多项式 (5)
2.4.2 Hermite多项
式....................................................................................6 2.4.3勒让德多项式 (8)
2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应
用 (9)
结束
语………………………………………………………………………………………
(10)
参考文
献………………………………………………………………………………………
(11)
致
谢………………………………………………………………………………………
(12)
摘要:在介绍了罗尔定理的基础上,通过综合应用类比法、分析法、演绎
推理法将罗尔定理在一元实函数中进行了推广,得到了在“任意区间”上罗尔定
理的结论成立,同时得到了在“函数在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷
的
导数外,其他点均有有限导数”的情形下罗尔定理的结论仍然成立.将罗尔定理
在
复变函数(解析函数)中进行了推广,得到了向量值函数中的一个重要结论.结合典型例题,分析、讨论并证明了罗尔定理及推广后的罗尔定理在函数零点问题
中
的实际应用,同时证明了在几何学上的具体应用,用广义罗尔定理证明了三个特殊多项式,说明了罗尔定理不仅具有重要的理论意义,而且还有很好的应用价值.
关键词:函数;函数零点;罗尔定理;应用
Abstract: On the basis of the Rolle theorem, through analogy,
combined application, analysis and deductive reasoning method, the promotion of Rolle theorem in the real function of one dollar. Then
the
conclusion of Rolle Theorem set up in the “free range”. At the
same time,
on the condition of “function in the range of a finite number of points in addition to positive or negative derivative of the infinite,
the other points are limited derivative”, Rolle theorem remain valid. Rolle theorem promote in the complex function analytic functions.
Vector-valued functions has been an important conclusion. Combined with
a typical example, and analysis, discussion and proof of Rolle theorem
and the promoted Rolle are application practically in the function against. At the same time, the specific application in the geometry is
proved. Using the generalized Rolle theorem prove three special polynomial. Rolle theorem shows not only an important theoretical significance, but also very good practical value Key words: function; function against; rolle theorem; application
引言
对函数零点问题的研究一直是微积分理论研究中的一个重要课题,解决
这一问题常用的工具是微积分中的零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中
值定理、柯西中值定理等,对于不同的理论和方法有不同的使用范围和各自的优
缺点.罗尔定理是基于费马定理且能导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一
个著名定理,因此对罗尔定理的研究一直以来都是微积分理论研究中一个比较活
跃的方向.
根据罗尔定理,若函数在闭区间上连续、开区间内可导,则在端点和的取
值就决定了内某点的微分性质,尽管的取值一般情况下不易求出,但它并不影响罗尔定理的应用.由于它的这个优越性质,将它应用于函数零点问题中就具有明显的优越性.因此,长期以来人们都想削弱罗尔定理的三个限制条件,以便将它用于更加广泛的领域.至今,人们在文献[1]-[5]中将其在一元实函数中进行了推广,将“有限区间”推广到了“任意区间、任意端值”上,并且将“处处可导”推广到了“在区间内除有限个点处存在正(或负)无穷的导数外,均有有限导数”,削弱了严格的限制,同时讨论了一些函数的零点问题.在罗尔定理的应用中,构造辅助函数十分重要.2003年,文献[6]利用找原函数的思想,通过不定积分的过程来寻求辅助函数,
得到了应用罗尔定理构造辅助函数的一种方法.但罗尔定理只能用于一元实函数,能否将它推广到多元函数中呢?1995年Furi与Martelli经过研究将其推广到了向量值函数中,并将其应用到了几何学上.这样罗尔定理不仅可以用于实函数,也可以用于复变函数的零点问题中.
本文根据大量的文献整理与综合,首先给出了罗尔定理及其推广形式,进而应用这些结论分析讨论了其在实函数和复变函数零点问题中的具体应用.
1 概念及定理
1.1 函数零点的定义
如果存在实数,使得,则称为函数的零点. 函数的零点又称为方程的实根.
讨论函数零点的存在性,确定函数零点的个数,证明函数零点的唯一性的问题,统称为函数的零点问题.
1.2 罗尔定理[7]
若函数满足如下条件:
1 在闭区间上连续;
2在开区间内可导;
3,
则在内至少存在一点,使得.
罗尔定理的几何意义是说:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.
1.3 推广的罗尔定理
推广1:若函数在有限区间或无限区间内满足:
1可导;
2 .
则在内至少存在一点,使得.
推广2:若函数满足:
1在上连续;
2在内除有限个点处存在正无穷或负无穷的导数外,均有有限导数;
3.
则在中至少存在一点,使得.
推广3(广义罗尔定理):设函数在有限或无穷的区间中的任意一点处有有限的导数,且,则在中至少存在一点,使得.
推广4向量值函数中的推广:设, (1)上连续; (2)内可微; (3)存在非零向量,使得对任意的成立
; (4)存在非零向量,使得对任意的,恒为常数; (5)存在非零向量,使得对任意的,不变号.
若除满足(1)(2)两个条件外,还满足(3)(4)(5)中的任意一个,则至少存
在一点,使得(注意到为矩阵),
即与向量组正交.罗尔定理仅仅适用于连续的一元实函数,推广1、2和3是对它在实函数中的进一步推广,这样可以让罗尔定理摆脱太严格的限制,同时推广的罗尔定理就可以在任意区间、任意端值上使用了,从而使其在实函数中的应用更加广阔.但是罗尔定理的最大缺陷就是只能用于一元连续实函数,因此推广4将其从本质上推广到了向量值函数中,从而能将罗尔定理从代数学中推广到几何学中,与日常的生产生活联系更加紧密.
2 罗尔定理在函数零点问题中的应用
零点问题就是指零点的存在性、唯一性以及个数的问题,这一问题的解决可以采用高等数学中的零点定理、费马定理、拉格朗日中值定理等微积分方法,不同的方法在不同的环境中有各自的优越性.罗尔定理在函数零点问题中的应用十分广泛,无论是零点的存在性、唯一性还是个数问题,应用罗尔定理都能得到很好的解决.
2.1 罗尔定理在函数零点存在性问题中的应用
在数学学科中,函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点课题.虽然这一
问题的解决可以用零点定理,但在难以认定正负值点的时候,就需要换一种方法,其
中罗尔定理就是一种很好的方法.用罗尔定理讨论函数零点问题时可以采用以下方法.
对函数的原函数使用罗尔定理:若在闭区间上,并且,则在上至少存在一点,使得. 例1 设函数是定义在闭区间上的连续函数,且,证明存在,使得. 分析:如果用零点
定理,则令,但的值是正还是负,难以确定,因此考虑改用罗尔定理.
证明:令,则.那么 (因为)
,
所以.又因为,所以由罗尔定理可知,存在,使得
. 针对难以确定正负值点的函数零点存在性问题,采用罗尔定理能方便而又快
速的给我们提供解决方法,因为它并不要求求出区间内的端点值或者说判断端点值
的正负,而只需要知道它是否连续、可微就可以了.针对这一类问题,通常采用的方
法就是对函数的原函数使用罗尔定理.但由于罗尔定理的限制太严格了,它要求三个限制条件必须同时满足,只要有一个条件不满足,罗尔定理就不一定成立,这就大大
的限制了罗尔定理的使用范围,因此在难以确定函数是否连续、可微时直接使用罗
尔定理反而会增加解题的难度,加大计算量.
2.2 罗尔定理在函数零点个数问题中的应用在数学学习和生产生活中,零点的
个数问题始终是一个重要的问题.讨论一个函数到底有几个零点,通常可以采用先确定至多有几个零点,再确定至少有几个零点,从而得出零点的个数,在这过程中罗尔
定理就显示出了它的优越性.
例2 讨论方程的零点个数. 解:设函数,显然在定义域内是连续函数.分别令
得
所以在区间各至少有一个零点,即方程至少有三个实根.
令,这个函数在区间上连续且单调递增,,所以在有唯一的零点,所以由罗尔定理可知在至多有两个零点.
同理可知在至多有三个零点.
综上所述,方程在恰好有三个零点.
将方程转化为函数,再利用微积分的方法解决问题,这是一种重要的思想,即化
归的思想,是一种常用的解题策略.
2.3 罗尔定理在函数零点唯一性证明中的应用在函数零点问题中,讨论某个函数的零点是否唯一,是一种常见的题型,并且在实际生活中也具有重要的意义.罗尔定理为这类题型提供了一个有力的工具.
例3 已知在上二阶可微,,,,则在内只有一个实根.
证明:首先证明存在性.
过定点做曲线的切线:
,
则切线与轴的交点
,
由(向上凸的),显然有.
下面采用反证法证明唯一性.若存在使得,则由罗尔定理可知,存在使得.这与是矛盾的.所以只有一点,使得.
唯一性的证明通常都比较困难,一般从正面入手很难解决问题,然而从反面思考,往往有“柳暗花明又一村”的感觉.在零点唯一性的证明中,罗尔定理能较好地发挥它独特的性质.
2.4 罗尔定理与几个特殊多项式函数的零点分布问题在研究有关多项式的问
题时,多项式的零点分布是经常遇到并且非常重要的问题之一.在解决的方法中,罗
尔定理是一个很好的工具,但是罗尔定理的要求非常严格,三个条件必须同时满足,定理才成立.因此我们利用推广的罗尔定理解决这个问题.以下就是用罗尔定理解决三种特殊多项式的例子.
2.4.1 Laguerre多项式
在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Laguerre多项式,
其表达式为
.
例4 证明多项式所有的根都是正根. 证明:因为, ,
依此类推可知是次多项式.可见,至多只有个实根.
设函数,则
.
由广义罗尔定理知,存在,使得.
现设至少有个零点
,
且.
分析的结构易知,是一个与一个次多项式的乘积,即 ,
其中是一个多项式.则
,
由广义罗尔定理知,存在
,
使得
.根据数学归纳法,至少有个正根.又由于恒不为零,所以至少有个正根.由前面可知最多只能有个实根,所以只有个实根,且都是正实根.
2.4.2 Hermite多项式
在实际生活中,函数在某区间上存在,但函数往往很复杂,甚至没有明显的解析
表达式,因此常用插值法去构造一个既能反映函数特征又便于计算的较为简单的函数以替代函数.不同的实际问题,选用的插值函数也会不同.Hermite多项式就经常被选为插值函数.
在区间上带权函数的正交多项式序列中的多项式称为Hermite多项式,其表达
式为
.
例5 证明多项式所有的根都是实数. 证明:显然是一个次多项式. 设函数,则, ,
可见有一个实数根,有两个相异的实数根. 现假设有个相异的实根,并记作.分
析的结构可知.
因为有个相异的实根,因此可令
,
即
,
其中为一个非零常数.又由于
,
根据罗尔定理得,存在使得,即在之间至少存在个相异实根.
又由于
,
根据广义罗尔定理可知,必存在,使得.
同理,,由广义罗尔定理知必存在,使得
.
综上所述,至少有个实根.所以由数学归纳法知至少有个相异的实根.从而至少
有个相异的实根.但是是的一个次多项式,故恰有个根(实根或复根),即的所有根都是实根.
2.4.3 勒让德多项式
伴随勒让德多项式(Associated Legendre polynomials)有时被简称为勒让德
多项式.数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:
为求解方便一般也写成如下斯图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form): 上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里?勒让德而得名.勒让德方程
是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程.当试图在球坐标系中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解. 例6 证明勒让德多项式的一切零点都是实数且含于区间中.
证明:设,因为是次多项式,且恒不为0,所以是次多项式,由代数定理可知它至多只有个实零点.
由于
,
由广义罗尔定理知,至少存在一点,使得.
假设至少有个实零点
.
分析的结构可将写为以下结构 ,
其中为次多项式. 因为,由罗尔定理可知存在
,
使得
,
即至少有个零点,并且全部在区间之间. 由数学归纳法可知至少有个实零点,且全部介于区间之间.
由于恒不为0,所以至少有个实零点.而由前面知道是次多项式,它至多有个实零点.所以恰有个实零点,且全部介于区间之间.
勒让德多项式的应用十分广泛,但如何证明它的零点是一个难点,以上例子就提供了一种很好的方法.
2.5 多变元情形下的罗尔定理及其在几何学上的应用
在微积分学中,关于多变元映像(从多元函数到向量值函数)的极限(包括连续性)、微分、积分及其性质,一般都是考虑一元函数的性质能否平移或推广过来.但罗尔定理的不足之处就是对向量值函数不成立,因此1995年Marden[8],1992年Evard 与Jafari[9]在复变(解析函数)情形下揭示了罗尔定理的本质,1995年Furi 与Martelli[10]对向量值函数进行了推广:在闭域上连续,开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质.这样该结果就可以应用于几何学.
例7 设定义为,并满足下列条件:
在上连续;
在内可微;
存在中的平面,对任意的.
.
则存在.使得在曲面上处的切平面平行于平面.这里表示的值域,或者表示的曲面.
证明:设,则表示平面的法向量.由条件3)可知,对任意的
,
都有与正交.由罗尔定理的推广4知,存在,使得与向量组正交.
又因为,在上处的切平面向量式参数方程为
.
这里,为参数.所以,切平面的法线与平行,从而切平面平行于平面. 罗尔定理仅仅适用于一元函数,这样就在很大程度上限制了罗尔定理的应用范围.但它的良好本质却能启发我们将其推广到向量值函数中,从而就能解决一类几何问题,为数学问题的解决提供了更多的工具.
结束语
利用罗尔定理的理论和方法,可以较细致的研究函数零点问题.根据罗尔定理的意义,可以将其从限制条件上和本质上进行多方位的推广,从而扩大应用领域. 通过对罗尔定理的简单分析探究,掌握了该定理的结构形式,学习了运用类比的思维方法推广该定理的过程,分析讨论了罗尔定理的实际应用.
首先将罗尔定理在一元函数中进行推广,削弱了罗尔定理的限制条件.紧接着利用罗尔定理的实质将其在向量值函数中进行了推广,得到“在闭域上连续、开域内可微的向量值函数,罗尔定理情形下的边界函数值确定了开域内某点的微分性质”,从而将结果应用于几何学.最后,应用罗尔定理及其推广形式举例说明了它们在证明函数零点存在性、函数零点个数、函数零点唯一性、三类特殊多项式函数的零点分布问题,并举例说明了多变元情形下的罗尔定理在几何学上的应用.
至于如何应用罗尔定理构造辅助函数,以及解决函数零点问题的各种微
积分方法(如费马定理、拉格中值定理等)的优缺点比较这两个问题未做讨论.
参考文献
[1] 孙兰敏.洛尔定理的2个推广形式[J].衡水学院学报,2005,71:1-2.
[2] 汪军.广义罗尔定理及其应用实例[J].辽宁工程技术大学学
报,2000,191:93.
[3] 张志军.多变元情形下的洛尔定理及其应用[J].西北师范大学学
报,1998,34(1):84?87.
[4] 潘黎霞.对广义罗尔定理证明并在求函数的零点上的应用[J].甘肃科
技,2005,217:115-116.
[5] 周敦.微分中值定理的推广及其应用[J].钦州师专钦州教院学
报.1994,81:54-56.
[6] 王艳萍,余学军.应用罗尔定理时一种辅助函数构造法[J].南阳师范学
院,2003,29:18-21.
[7] 华东师范大学数学系.数学分析:上册[M].北京:高等教育出版,2005.
[8] Marden M.The search for a Rolle's theorem in the complex
domains[J].Amer,Math.Monthly,1985,92:643-650.
[9] Evard J C,Jafari F.A complex Rolle's
theorem[J].Amer,Math.Monthly,1992,99:856-861.
[10] Furi M,Martelli M.A multidimensional version of Rolle's
theorem[J].Amer.Math.Monthly,1995,102:243-249.
致谢时光荏苒,岁月如梭,转眼毕业将至.值此论文完成之际,我谨向所有关
心、爱护、帮助过我的人表示最诚挚的感谢与最美好的祝愿. 通过毕业论文的写作,我真正体会到了科学的严谨性.任何一门科学,我们都必须以认真严谨的态度去对待它,不能以自己的主观臆断去评判真理,而应以真理去认识客观世界.在论文写作过程中,我熟悉了电脑的一些基本操作,学会了论文的排版格式.经过一、二、三稿的整理和修改,我明白了一个道理??踏踏实实做人,明明白白做事.
在这四年里,无论成功还是失败,许多长辈和朋友都给了我一如既往的支持与鼓励.在这里我要首先感谢我的父母、我的亲人朋友们,他们给了我无微不至的关怀,陪我一起度过二十多年的酸甜苦辣,对他们的感激之情,不知该如何表达,千言万语,
只能化成实际行动,让我用一生报答他们!其次我要感谢内江师范学院可敬的老师们,尤其是我的导师――吕晓亚,她用为人师表的高尚品格和渊博深厚的学术造诣,为我们树立了的崇高的榜样,开启了人类智慧的大门.最后,衷心感谢程冲、邓平等寝室朋友们在学习时给予我的关心和帮助!。