理论力学 第9章 动力学普遍定理的综合应用

广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义 坐标的函数。
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
( x1, y1 ) , ( x2 , y2 ) x12 y12 a 2
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 b2
两个自由度
取广义坐标，
x1 asin , y1 acos x2 asin bsin , y2 acos bcos
2 (Rk 2RF M )
3mR2
vB
F B
Fk C vC
M
mg aC
D
FDS FDN

[例9.10] 如图曲柄滑块机构在铅垂面内，均质曲柄OA长度为r，质量为m，
在未知变化的力偶矩M作用下，以匀角速度转动；均质连杆AB长度为2r
，质量为m。已知滑块的工作阻力为F，不计滑块B的质量，忽略所有阻碍
x2 y2 l2
曲柄连杆机构 xA2 yA2 r2
(xB xA)2 ( yB yA)2 l2 , yB 0
3
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通
常按如下分类： 1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约 束条件称为运动约束。
T1 0
T2

1 2
mv 2

1 2
mv 2

1 2

1 2
mr 2 2
运动学关系：v r
T2

5 4
mv 2
由动能定理：5mv2 0mgS(2sin f cos ) 对ｔ求导，得
4
a ( 4 sin 2 f cos )g
5
5
22
[例22] 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处 用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低 位置B'点时的速度及支座A的约束反力。
G1
3G2 6g
vB2
W
(
F
)
G1
(
l 2

l sin30) 2
G2
(l
ls
in30)(
G1 2
G2
)(l
lsin30)
T2 T1 W (F )
G1
3G2 6g
vB2
0
(
G1 2

G2
)(l
ls
in30)
代入数据，得 vB' 1.58 m/s
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（3）用动量矩定理求杆的角加速度 。
运动的摩擦。求图示瞬时M。 A
解：以整体为研究对象，受力分 析和运动学分析如图
vD
M
DO
T

1 2
J
2
00

1 2
mvC2X

1 2
mvC2Y

1 2
J
C
2 AB
mg
vCy vCx
C
mg
B
F
vB
P M mgvCy FvB
由功率方程可以得到 M mgvCy FvB Jo OA o maCxvcx macyvcy JC ABAB
研究对象：整体
分析受力： Fx(e) 0 ，
且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。
W
(F)

P
h 2
2

Ph
T1 0
T2

1 2

1 3
P g
l 2 2
2

1 3
P g
l 2 2
vC l
T2

1 3
P g
vC2
代入动能定理：
1 3
P g
vC2
0
Ph
vC 3gh
解：（1）取圆盘为研究对象
mB (F)0 ; JBB 0 B 0 B 0 0 ，圆盘平动。
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（2）用动能定理求速度。
取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：
T2

1 2
J A 2

1 2
G2 g
vB2

1 2
13
G1 g
vB2

1 2
G2 g
vB2

讨论 动量守恒定理＋动能定理求解。
计算动能时，利用平面运动的运动学关系。
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[例21] 均质圆盘A：m，r；滑块 B：m；杆AB：质量不计，平行于
斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆
盘作纯滚动，系统初始静止。求： 滑块的加速度。
解：选系统为研究对象
W (F) 2mg S sin f mgS cos mg S (2sin f cos )
dt
0
即
P输入 P有用 P无用
机器稳定运行时，dT / dt 0 机械效率
N有用 100 %
N 输入
是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 ＜１。
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[例9.6]已知质量为m半径R为的均值圆盘，轮心通过弹性系 数为k的弹簧连接在固定墙面，在粗糙地面上在如图所示
已知载荷作用下（图示瞬时弹簧压缩量为）。由静止释
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例如：车轮沿直线轨道作纯滚动，xA r 0是微分方程，但
经过积分可得到 xA r C （常数），该约束仍为完整约束。
几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。 非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。
4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时
对质点或质点系进行运动限制 的约束称为双面约束。只能限 制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。
刚杆
x2+y2=l2
绳
x2+y2 l2
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双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，
其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1,y1,z1;;xn ,yn ,zn )0 ( j1,2,,s)
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§9-2 自由度 广义坐标
一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z )
3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个 对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。
其自由度为 k=3n-s 。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，
l 0.24
（4）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。
mi aix

G1 g
ac
G2 g
aB'
0
X
A
;
mi aiy

G1 g
l 2

2

G2 g
l
2
YA G1 G2
代入数据，得 X A 0, YA 401N
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(1) 相对质心动量矩守恒定理+动能定理+动量矩定理+质心 运动定理。 (2) 可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取 杆AB在一般位置进行分析。
动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普 遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的 已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判 断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求 的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联 合求解。
5
3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）
而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。
如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束。
称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。
例如, 前述曲柄连杆机构例子中, 确定曲柄连杆机构位置的四
个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。
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一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为
k 3n s
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用 适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个 约束方程方便得多。
(i 1,2,, n)
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§9-4 功率 ·功率方程
一．功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力 的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。
P W
dt
作用力的功率：P

W
dt
F dr dt
Fv
力矩的功率： P W Md M
dt dt
功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s 。
AB
aB
aBA
向水平方向投影可以得到
aC x


1 2
aC A
aC x
3 2r 6
3mr 2
M Fr 6
动力学普遍定理及综合应用
动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和 动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形 式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式 的运动能量转化问题。
放，求释放瞬时轮的角加速度。
解：选圆盘为研究对象，受力分 析和运动分析如图
T


1 mv2 2 C


12JC2
dT dt

maC vC
JC

Fk VC F VB M dT / dt
k R 2RF M maC R JC aC R
第九章 动力学普遍定理的综合应用
§9–1 约束及其分类 §9–2 自由度 广义坐标 §9–3 机械能守恒定律 §9–4 功率方程 §9–5 习题课
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§9-1 约束及其分类
一、约束及约束方程 限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
平面单摆
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二．功率方程： 由 dT W 的两边同除以dt 得
dT dt
P输入 P有用 P无用
dT W P
dt dt
分析：起动阶段（加速）：ddTt 0 即 P输入 P有用 P无用
制动阶段（减速）：dT
dt
0
即
P输入 P有用 P无用
稳定阶段（匀速）：dT
由运动学可以知道，此时 vCy 0 vB r OA 0 vcx r0 (M Fr) maCxr
vcy 0
AB 0
对AB进行运动学分析，以A为基点
aB aA aBA 向竖直方向投影可以得到
0 aA
3 2
aBA
aCx aCy aA aCA
用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y,
z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情
况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
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例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
xA r cos , yA r sin xB r cos l 2 r 2 sin2 , yB 0
求解过程中,要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。
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举例说明动力学普遍定理的综合应用： [例20] 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于 光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度 为h，求铰C到达地面时的速度。
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解：由于不求系统的内力，可以不拆开。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。
4
几何约束： yA r
运动约束：vA r 0 (xA r 0)
2、定常约束和非定常约束
当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳 系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
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一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由 度，取q1、q2、……、qk为其广义坐标，质点系内各质点的 坐标及矢径可表为广义坐标的函数。
xi xi (q1, q2,, qk ) yi yi (q1, q2,, qk ) zi zi (q1, q2,, qk ) ri ri (q1, q2,, qk )
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[例23] 基本量计算 (动量,动量矩,动能)
P LO
mJ1vOmCL216[11m2LmL2
LA

1 3
G1 g
l 2

G2 g
vl

(13
G1 g
l2

G2 g
l 2 )
由于
dLA dt
mA(F (e) )0
所以 ＝0 。
杆质心 C的加速度： aC aCn 2l 2 (aC 0) 盘质心加速度： aB' aBn l 2 (aB 0)
vB' 1.58 6.58 rad/s