微分几何课件
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微分几何课件
3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、 开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
所 决 定 的 平面面在上该叫点做 . 的 定义9 (法方向、法线) 曲 面 在 正 常 点切 处平 垂面 直
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
ppt精选版
12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
ppt精选版
19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
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12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
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例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
微分几何曲面的第一基本形式课件
03
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有 着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、 面积和体积等的度量标准，而第 一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的 结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用 张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和 相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性 质
REPORTING
第一基本形式的定 义
第一基本形式是曲面上的测地 曲率的一种表达形式，它与曲 面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一 基本形式可以定义为曲面的 第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于 描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意 义
理解第一基本形式可以帮助我 们更好地理解曲面的几何性质 和特征。
通过研究第一基本形式，我们 可以研究曲面的形状、大小和 曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具 有重要的理论和应用价值。
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有 着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、 面积和体积等的度量标准，而第 一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的 结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用 张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和 相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性 质
REPORTING
第一基本形式的定 义
第一基本形式是曲面上的测地 曲率的一种表达形式，它与曲 面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一 基本形式可以定义为曲面的 第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于 描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意 义
理解第一基本形式可以帮助我 们更好地理解曲面的几何性质 和特征。
通过研究第一基本形式，我们 可以研究曲面的形状、大小和 曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具 有重要的理论和应用价值。
《微分的概念》课件
几何意义
导数在几何上表示函数像在该点的切线的 斜率。
导数与微分的关系
要点一
导数是微分的商
微分是函数在某一点的变化量，而导数是该变化量与自变 量变化量的商。
要点二
微分是导数的极限形式
当自变量变化量趋于0时，导数的值就是该点的微分。
导数的性质
导数具有线性性质
对于可导函数，其导数在乘法和加法运算下满 足线性性质。
微分的概念
目录 Contents
• 微分简介 • 微分法则 • 导数与微分的关系 • 微分的应用 • 微分发展史
01
微分简介
微分的定义
微分定义为函数在某一点的变化率， 即函数在这一点附近的小变化量与自 变量变化量的比值。
微分是函数的一种局部线性近似，即 当自变量在某点附近取得微小变化时 ，函数值的变化可以近似地表示为微 分与自变量变化的乘积。
乘积法则
总结词
乘积法则是指两个函数的乘积的微分等于它们各自微分的乘积。
详细描述
乘积法则指出，对于任何两个函数f(x)和g(x)，它们的乘积的微分等于f(x)的微分 乘以g(x)加上f(x)乘以g(x)的微分，即d(f(x)*g(x))=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
商的微分法则
总结词
以及变化趋势。
函数增减性判断
总结词
利用微分来判断函数的增减性，是微分的一个重要应用 。
详细描述
通过计算函数的导数，我们可以了解函数在各个点的增 减性。如果函数的导数大于零，则函数在该区间内单调 增加；如果导数小于零，则函数在该区间内单调减少。
极值问题
总结词
极值问题是微分学中的重要问题之一，它涉及到函数 在某一点的最大值或最小值。
多元函数微分学的几何应用ppt课件
9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为 两个柱面 的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
5
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
16
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
lim
t t0
f
(t)
r0
7
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明 设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,
微分几何课件第四章第二基本形式
0, v 0 . 故 r r r 即有 v u u v . 由于 u , rv 线性无关， u 是非零常数. 由(1)和(2)得
( n r )u 0
(n r )v 0
1 n r ( n r ) r 所以 0 是常向量. 从而 S 上的
u n ru rv cos u a , sin a , 0
u a cos u 求平面 r (u, v, 0) 和圆柱面 r a , a sin a , v
因此
dn
1 a u u 1 sin , cos , 0 du u du a a a r
(u, v) n (r (u0 u, v0 v) r (u0 , v0 )) n
r (u, v) 为正则曲面，n n (u, v) 是单位法向量. 设 S : r r 向量函数 (u, v) 的一阶微分为
dr ru du rv dv
又 (nu ru ) n 0 . 故
nu ru
(1) (2)
同理有
S
nv rv
因为 是三次以上连续可微的， nuv nvu . 于是 v ru ruv nuv nvu u rv rvu
1 1 II dr dn ru du rv dv a ru du a du 2
定理1.1 正则曲面 S 是平面(或平面的一部分)， 当且仅当 S 的第二基本形式 II 0 . 证明：“”平面 S 的单位法向量 n 是常向量， 故 II dr dn 0 . nu rv M 0 nu ru L 0 ， “” 由 nu n 0 ， n 0 n 0 得 u . 同理有 v . 所以 n n0 是常向量. 于是 dr n d (r n0 ) 0 . 故 r n0 C . □
微分ppt课件
微分PPT课件
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
目录
微分的定义与性质导数的概念与性质导数在研究函数中的应用微分中值定理微分的应用
01
CHAPTER
微分的定义与性质
总结词
微分是一种数学运算，表示函数在某一点的局部变化率。
详细描述
微分是微积分的基本概念之一，它表示函数在某一点的切线的斜率。具体来说，如果函数在某一点的导数存在，那么这个导数就是函数在该点的微分。微分可以看作是函数值的增量与自变量增量的比的极限。
极值点是函数的重要特征点，利用导数研究函数的极值有助于找到这些关键点。
1
2
3
4
通过求二阶导数，可以找到函数的拐点。
二阶导数为0的点可能是拐点，需要进一步判断三阶导数的符号来确定是向上凸还是向下凸。
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令其为0得到拐点$x=0$，进一步求三阶导数$f'''(x) = 24x$，在$x=0$处为非正值，因此$x=0$为向下凸的拐点。
举例
单调性是函数的一个重要性质，利用导数研究函数的单调性有助于理解函数的述
举例
应用
通过求导数，可以找到函数的极值点。
一阶导数为0的点可能是极值点，需要进一步判断二阶导数的符号来确定是极大值还是极小值。
对于函数$f(x) = x^3$，其一阶导数$f'(x) = 3x^2$，令其为0得到极值点$x=0$，进一步求二阶导数$f''(x) = 6x$，在$x=0$处为非负值，因此$x=0$为极小值点。
罗尔定理是数学分析中的一个基本定理，由法国数学家罗尔发现。该定理在微分学、积分学等领域有着广泛的应用。它提供了一个判断函数是否存在导数为零的点的方法，对于研究函数的极值和拐点等问题具有重要的意义。
微分几何的ppt
射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年 起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经 以富比尼为首的意大利学派所发展。
二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和 示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉 的里程碑。
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如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微 分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证 明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体 存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型，是物理 学家独立地提出的。
有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏 微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高 的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成 桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某 种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复 蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高 度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的 与买的VIP时长期间，下载特权不清零。
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高等数学课件§8.8微分法几何应用
L是 曲 面 上 任 意 一 条 过M 点 的 曲 线 ， 因 此 上 式 表 明 ，
过M 点 的 任 一 位 于 曲 面 上 的 曲 线 在M 点 的 切 线 都 与 n 垂 直 ， 因 而 它 们 都 在 过M 点 以 n 为 法 向 量 的 同 一 平 面
内 ， 该 平 面 即 为 曲 面 在M 点 处 的 切 平 面 ， 且 其 方 程 为
可 作 为 切 线 的 方 向 向 量 。
（ 2 ） 若 曲 线 方 程 为 y y ( x )， z z ( x )， 则 x 以 为 参 数 ， 曲 线 M ( x ,y ,z )处 的 切 线 方 程 为 x x y y z z 。 ③ 1 y ( x )z ( x )
由 于 L 在 曲 面 上 ， 故 F [ x ( t )y ( t , )z ( t , ) ] 0 ，
d d F [ x ( t t )y ( t , )z ( t , ) t t ] 0 ，
即 F x ( M ) x ( t ) F y ( M ) y ( t ) F z ( M ) z ( t ) 0 ，
令 a n { { F x x ( ( t M ) ) y F ( y t ( M ) , z ) , ( t F z ) ( M ， , , ) ， } }
则 n a 0 ， 故 n a 。
由 于 a 为曲 L在 线 M 点 处 的 切 线 的 方 向 向 量 ， 而 曲 线
F x M ( x x ) F y M ( y y ) F z M ( z z ) 0 ， ④
曲 面 在 点 M ( x ,y ,z ) 处 的 法 线 方 程 为 x x y y z z 。⑤ F x M F y M F z M
若 曲 面 方 程 由 显 函 数 z f( x ,y )给 出 ， 令 F ( x ,y ,z ) f( x ,y ) z ， 于 是
过M 点 的 任 一 位 于 曲 面 上 的 曲 线 在M 点 的 切 线 都 与 n 垂 直 ， 因 而 它 们 都 在 过M 点 以 n 为 法 向 量 的 同 一 平 面
内 ， 该 平 面 即 为 曲 面 在M 点 处 的 切 平 面 ， 且 其 方 程 为
可 作 为 切 线 的 方 向 向 量 。
（ 2 ） 若 曲 线 方 程 为 y y ( x )， z z ( x )， 则 x 以 为 参 数 ， 曲 线 M ( x ,y ,z )处 的 切 线 方 程 为 x x y y z z 。 ③ 1 y ( x )z ( x )
由 于 L 在 曲 面 上 ， 故 F [ x ( t )y ( t , )z ( t , ) ] 0 ，
d d F [ x ( t t )y ( t , )z ( t , ) t t ] 0 ，
即 F x ( M ) x ( t ) F y ( M ) y ( t ) F z ( M ) z ( t ) 0 ，
令 a n { { F x x ( ( t M ) ) y F ( y t ( M ) , z ) , ( t F z ) ( M ， , , ) ， } }
则 n a 0 ， 故 n a 。
由 于 a 为曲 L在 线 M 点 处 的 切 线 的 方 向 向 量 ， 而 曲 线
F x M ( x x ) F y M ( y y ) F z M ( z z ) 0 ， ④
曲 面 在 点 M ( x ,y ,z ) 处 的 法 线 方 程 为 x x y y z z 。⑤ F x M F y M F z M
若 曲 面 方 程 由 显 函 数 z f( x ,y )给 出 ， 令 F ( x ,y ,z ) f( x ,y ) z ， 于 是
整体微分几何PPT模板
14．n维单 形定义
16．n维球 单形
第一部分几何选讲 （纽约大学，1946， 记录者PeterLax）
第二章初等微分几何选 讲
01
1．曲率
04
4．四顶定 理
02
2．施瓦尔 茨的一个定
理
05
5．切线不 连续转动的
曲线
03
3．关于圆 的一项最小
性质
06
6．四顶定 理的黑尔格
洛茨证明
第一部分几何选讲（纽约大学，1946，记录者PeterLax）
整体微分几何
演讲人 2 0 2 X - 11 - 11
REPORT
目 录
0 1 目录
02
第一部分几何选讲（纽约大学，1946，记录者PeterLax）
03 04
第二部分整体微分几何（斯坦福大学，1956，记录者 J.W.Gray）
人名索引
0 5 内容索引
01 目录
目录
02
第一部分几何选讲（纽约大学， 1946，记录者PeterLax）
第 二 部 分 整 体 微 分 几 何 （ 斯 坦 福 大 学 ， 1 9 5 6 ， 记 录 者 J. W. G r a y ）
第六章具常数中曲率的一般零亏闭曲面——推广 第七章具常数中曲率的简单闭曲面（亏格任意）——推 广 第八章关于卵形面的全等定理 第九章具负常数高斯曲率曲面的奇点
第 二 部 分 整 体 微 分 几 何 （ 斯 坦 福 大 学 ， 1 9 5 6 ， 记 录 者 J. W. G r a y ） 第一章曲面的局部微分几何（纲要）
第 二 部 分 整 体 微 分 几 何 （ 斯 坦 福 大 学 ， 1 9 5 6 ， 记 录 者 J. W. G r a y ）
高等数学课件§8.8微分法几何应用
4 3 24 5 5 25
x 3 y 4 z 9 即 5 5 2 。 5
4 3 2 4
法 平 面 方 程 为 4 ( x 3 ) 3 ( y 4 ) 2 ( z 9 ) 4 0 ， 5 5 5 5 2 2 5
即 2 x 1 y 2 z 0 2 5 0 。 4 1 25
由 于 L 在 曲 面 上 ， 故 F [ x ( t )y ( t , )z ( t , ) ] 0 ，
d d F [ x ( t t )y ( t , )z ( t , ) t t ] 0 ，
即 F x ( M ) x ( t ) F y ( M ) y ( t ) F z ( M ) z ( t ) 0 ，
令 a n { { F x x ( ( t M ) ) y F ( y t ( M ) , z ) , ( t F z ) ( M ， , , ) ， } }
则 n a 0 ， 故 n a 。
由 于 a 为曲 L在 线 M 点 处 的 切 线 的 方 向 向 量 ， 而 曲 线
并 设 函 数 F (x,y,z)的 偏 导 数 在 该 点 连 续 且 不 同 时 为 零 。
过 点 M 任 作 一 条 位 于 上 的 光 滑 曲 线 L ， 设 其 方 程 为
y x x y ( ( t t ) ) ， z z ( t ) t t M ( x , y , z ) 。
即 2 x 3 y 2 z 2 0 。 2 4 0
例 3 ． 求 抛 物 柱 面 z x 2 及 圆 柱 面 x 2 y 2 1 相 交 所 成 的
空 间 曲 线 在 M ( 5 3 ,5 4 ,2 9 )处 5 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 。
解 ： 曲 线 的 参 数 方 程 为 y x s c ， i o n s z c 2 os
x 3 y 4 z 9 即 5 5 2 。 5
4 3 2 4
法 平 面 方 程 为 4 ( x 3 ) 3 ( y 4 ) 2 ( z 9 ) 4 0 ， 5 5 5 5 2 2 5
即 2 x 1 y 2 z 0 2 5 0 。 4 1 25
由 于 L 在 曲 面 上 ， 故 F [ x ( t )y ( t , )z ( t , ) ] 0 ，
d d F [ x ( t t )y ( t , )z ( t , ) t t ] 0 ，
即 F x ( M ) x ( t ) F y ( M ) y ( t ) F z ( M ) z ( t ) 0 ，
令 a n { { F x x ( ( t M ) ) y F ( y t ( M ) , z ) , ( t F z ) ( M ， , , ) ， } }
则 n a 0 ， 故 n a 。
由 于 a 为曲 L在 线 M 点 处 的 切 线 的 方 向 向 量 ， 而 曲 线
并 设 函 数 F (x,y,z)的 偏 导 数 在 该 点 连 续 且 不 同 时 为 零 。
过 点 M 任 作 一 条 位 于 上 的 光 滑 曲 线 L ， 设 其 方 程 为
y x x y ( ( t t ) ) ， z z ( t ) t t M ( x , y , z ) 。
即 2 x 3 y 2 z 2 0 。 2 4 0
例 3 ． 求 抛 物 柱 面 z x 2 及 圆 柱 面 x 2 y 2 1 相 交 所 成 的
空 间 曲 线 在 M ( 5 3 ,5 4 ,2 9 )处 5 的 切 线 方 程 和 法 平 面 方 程 。
解 ： 曲 线 的 参 数 方 程 为 y x s c ， i o n s z c 2 os
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
微分几何第2章曲面论第三节曲面的第二基本形式ppt课件
第二章
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
曲面论
.
1
§3 曲面的第二基本形式
主要内容
1.曲面的第二基本形式； 2.曲面上曲线的曲率； 3.Dupin指标线； 4.曲面的渐近方向和共轭方向； 5.曲面的主方向和曲率线； 6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率； 7.曲面在一点邻近的结构； 8.Gauss曲率的几何意义.
.
2
02.05.2020
称为曲面的第二类基本 量.
注 第二基本形式的几何意 义：II2.但不是正定的 .
计算公式：
(1
)
用定义计算：
L r u n u ,M r u n v ,N r vn v
(2)n
ru rv
ru rv
ru rv EGF2
L (ruu,ru,rv) , M (ruv,ru,rv) ,N (rvv,ru,rv) .
的第二 . 基本形式
解：r r { { R R s cc s o in i , , R s o R c n so c s s i, o n 0 , s i R } c n s} os
E r 2R 2co 2 ,sFr r 0,Gr 2R2,
n r r
EGF2
R 2c 1o sR R s ce io 1 n c ssio ns R R cso e i2 c n s so in sR c e 0 3o s
LrnRco2s,
Mrn 0,
Nrn R,
球面的第二基本形式为：
I I (R co 2d s2R2 d ).
.
9
例2 计算抛物 z面 a(x2 y2)的第一和第二基 .
解：pz2ax，qz2a， y
x
y
r x 2z 22a， s x 2 zy0 ， t y 2z 22a.
微分几何-§3-曲面的第二基本形式PPT优秀课件
k
n
f
( p,
du ) dv
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos 1即可，这就是法截线
n
7
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中
证明:因为直线的曲率 k 0 ,所以沿直线方向的 法曲率 kn kcos0,即
Ld u22M d u d vNd v20
因而直线是曲面的渐近曲线.
13
命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲 线的密切平面
证明:沿渐近曲线有 kn kcos0得到
k0或 cos0.
当 k 0 时, 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面
计算公式2：因为 n d r 0 d n d r n d 2 r 0
所以 IIdndr 可得
L n u r u , M r u n v , N n v r v
3
例1 求球面 r { R c o sc o s,R c o ss i n ,R s i n }
的第二基本形式
解：n {cos cos , cos sin , sin }
I Ed2 u2FduG dvd2 v
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率 定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p 的曲率,. 则称 k 为C在点p的曲率向量, 称 k n 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为 k n
6
曲面法曲率是曲面上点P和方向 (d ) 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同
所以第二基本形式 II (R co s2d 2R d 2)
微分几何-3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式PPT课件
r , , ,={a sin t, -a cos t, 0}.
r , r ,,
于是 k
r, 3 =
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
.
15
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
.
16
k
r , r ,, r, 3
一般参数曲率的表示式
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
.
11
命题 曲线为平面曲线充要条件是（s） 0 . 证明 设的方程为r = r(s). 在某平面(rr0)n0
s
| 1 | s
|MM s
，|
|MM s
，
||M |M
M M
，|
，
|
| （ s +
s） s
- （
s） |
| |
M M
M M
，|
，
|
| M M ，|
lim s 0 | M
M
，
|
1 lim s 0
s
| | | r |，
22
2
k (s ) | r |, (r r )2 r r (r r )2 r
所以曲线为平面曲线
.
12
命题： 空间曲线 :r r(t) 为平面曲线的
充要条件是 (r,,r,,,r,,,)0
证 由上例曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0
而
(s)
(r,r,,r,)
2
r
所以 （s） 0
r , r ,,
于是 k
r, 3 =
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
.
15
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
.
16
k
r , r ,, r, 3
一般参数曲率的表示式
一般参数表示的挠率计算公式（与曲率求法类似）
＝（(rr,,,r,r,,,r,),2,,）
注：曲率和挠率是几何不变量，即在参数变换下 不变（易证）
.
11
命题 曲线为平面曲线充要条件是（s） 0 . 证明 设的方程为r = r(s). 在某平面(rr0)n0
s
| 1 | s
|MM s
，|
|MM s
，
||M |M
M M
，|
，
|
| （ s +
s） s
- （
s） |
| |
M M
M M
，|
，
|
| M M ，|
lim s 0 | M
M
，
|
1 lim s 0
s
| | | r |，
22
2
k (s ) | r |, (r r )2 r r (r r )2 r
所以曲线为平面曲线
.
12
命题： 空间曲线 :r r(t) 为平面曲线的
充要条件是 (r,,r,,,r,,,)0
证 由上例曲线为平面曲线充要条件是 （s） 0
而
(s)
(r,r,,r,)
2
r
所以 （s） 0
微分几何课件一：矢量代数小结
切线矢量
切线矢量定义
切线矢量是曲线在某一点的切线 方向上的矢量，表示曲线在该点
的变化率。
切线矢量的性质
切线矢量的大小等于曲线在该点的 斜率，方向与该点的切线方向一致。
切线矢量的运算
切线矢量可以进行加法、数乘等基 本运算，满足矢量的运算法则。
速度矢量
01
02
03
速度矢量定义
速度矢量是描述物体运动 快慢和方向的矢量，由位 置矢量和时间变化率组成。
与点积的关系
点积和叉积是相互垂直的，即$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = 0$。
3
与旋转的关系
矢量$mathbf{A}$绕矢量$mathbf{B}$旋转的角 速度矢量等于$mathbf{A}$与$mathbf{B}$的叉 积。
04
矢量在曲线上的变化
可微性与连续性
总结词
可微性是函数在某点处导数存在的必要条件，也是连续性的重要特征。
详细描述
可微性是指函数在某一点处的左右极限相等，并且这一点的极限值等于函数在该 点的导数。连续性则是指函数在某一点处的极限值等于该点的函数值，可微性与 连续性密切相关，许多重要的数学定理和性质都与它们有关。
高阶导数与泰勒级数
梯度的定义
梯度是矢量场在某点的导数的线性组合，表示了矢量场在该点的变化方向和变 化率。
矢量场的散度与旋度
散度的定义
散度描述了矢量场在某点附近的流入或流出程度，即矢量场 在该点附近的净通量。
旋度的定义
旋度描述了矢量场在某点附近的旋转程度，即矢量场在该点 附近的旋转通量。
感谢观看
THANKS
总结词
高阶导数是描述函数复杂变化的工具，泰勒级数是展开函数的重要方法。
《微分几何》课件
,
汇报人：
01
02
03
04
05
06
微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
添加标题
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添加标题
添加标题
主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
添加标题
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工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等
汇报人：
01
02
03
04
05
06
微分几何是研究光滑曲线和曲面的 学科
微分几何的基本概念包括：切向量、 曲率、测地线等
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主要研究对象是光滑曲线和曲面的 局部性质
微分几何在物理学、工程学、计算 机科学等领域有广泛应用
微分几何主要研究光滑曲线和曲面的性质 微分几何的研究对象包括曲线、曲面、流形等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的向量场、联络等 微分几何的研究对象还包括曲线和曲面上的微分方程和积分等
如向量场、流形等。
切线定理在微分几何中有广泛 的应用，如曲面的切线场、曲
面的曲率等。
切面定理是微分几何的基本定理之一，描述了曲面与切面的关系。
切面定理指出，曲面上的每一点都有一个唯一的切面与之对应。
切面定理在微分几何中具有重要的应用，如曲面的局部参数化、曲面的微分几何性质等。
切面定理是微分几何中研究曲面的一个重要工具，对于理解曲面的性质和几何结构具有 重要意义。
面的变化量
微分几何在计算 机图形学中的应 用：模拟曲线和 曲面的变化量， 实现三维建模和
动画制作
微分几何在数 学分析中的应 用：研究曲线 和曲面的变化 量，解决数学
问题
曲面积分：对曲面上的函数进 行积分，得到曲面上的积分值
曲线积分：对曲线上的函数进 行积分，得到曲线上的积分值
曲线积分分为第一类曲线积 分和第二类曲线积分
物理中的应用：如计算流体力学中 的流量、压力等
计算机图形学中的应用：如计算曲 面的曲率、法线等
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工程中的应用：如计算结构力学中 的应力、应变等
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3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
命题4 如果向量函数 r (t ) 在 [t1 , t2 ]上是 C x(t ), y(t ), z (t ) 在 [t1 , t2 ] 上是 C k 类函数。
证明 将 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3两边点乘 e1得 x(t ) r (t ) e1
1、2 向量函数的连续性
1、 给出一元向量函数 r (t ) ，当t t0 时，若向量函数 r (t ) 则称向量函数 r (t ) 在 t0 点是连续的。
, r (t0 )
也有 lim r (t ) r (t0 ).
t t 0
2、如果 r (t ) 在闭区间[t1,t2]的每一点都连续，则称 r (t ) 在区间 [t1,t2]上是连续的。
2、命题3 设 r (t ), s (t ), u (t ) 分别是可微的向量函数， (t )是可微 的实函数，则 (t )r (t ), r (t ) s (t ), r (t ) s (t ), r (t ) s (t ), (r (t ), s (t ), u (t )) 都是可微函数，并且 (r ) r r , (r s ) r s , (r s ) r s r s , (r s ) r s r s , (r , s , u ) (r , s , u ) (r , s , u ) (r , s , u )
由于 e1 是常向量，而 r (t )是 C k 类的，所以x(t)是 C k类函数
同理， y (t ), z (t ) 是 C k 类函数。
r (t ) s (t ) a b.
（2）数乘向量的极限等于极限的乘积。 (t )r (t ) ma. （3）数量积的极限等于极限的数量积。r (t ) s (t ) a b. （4）向量积的极限等于极限的向量积。 r (t ) s (t ) a b.
1、3 向量函数的微商
1、设 r (t )是定义在区间[t1,t2]上的向量函数，设 t0 (t1 , t2 )，如 r (t 0 t ) r (t 0 ) lim 果极限 存在，则称 r (t )在t0点是可微分的， t 0 t dr 这个极限称为r (t ) 在 t0 点的微商（或导矢）。 记为 dt t0 或r (t ).
3、命题2 如果r (t ) 和 s (t ) 是在点t0连续的向量函数，而 (t )是点 t0连续的实函数，则向量函数 r (t ) s (t ), (t )r (t ), r (t ) s (t )和实 数 r (t ) s (t ) 也都有在t0点连续（把命题中的点t0改为区间[t,t0]时， 命题也成立）。
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
即
r (t ) 在此 如果r (t ) 在某个开区间的每一点都有微商存在，则说 r ( t ) 区间内是可微的或简称向量函数 是可微的，它的微商记为r (t )
r (t0 t ) r (t0 ) dr lim r (t0 ) t 0 t dt t0
t t 0
2、向量函数的性质
(t ) 是一个实函数，并且 命题1如果r (t ) 和 s (t ) 是两个一元函数， 当 t t0 时，有 r (t ) a, s (t ) b , (t ) m 则有
（1）两向量之和（差）的极限等于极限之和（差）。
k 可微函数或 C 类函数，连续函数也称为 C 0 类函数，无限可微的
函数记为 C 类函数。解析函数记为 C 类函数。 5、 任一向量函数 r (t )与三个实函数 x(t ), y(t ), z (t ) 一一对应，即 有 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
1、定义 设 r (t )是所给的一元函数，a 是常向量，如果对任给 的 0 ，都存在数 0 ，使得当 0 t t0 时,有 r (t ) a 成立，则说当 t t0 时，向量函数 r (t ) 趋向于极 限 a ，记作 lim r (t ) a