现代控制理论第4章

J ( u( t )) = ∫ ( x T Qx + u T Ru ) dt
0ຫໍສະໝຸດ Baidu
∞
其中加权阵 Q = Q T > 0 或 ≥ 0 ， R = RT > 0 且 ( A, Q 1 / 2 ) 能观测。综合的任务就是确定
u ∗ (t ) ，使相应的性能指标 J ( u ∗ (t )) 极小。通常，将这样的控制 u ∗ (t ) 称为最优控制，确切
−1 −1
sI q − A11 + B11 + k1
= sI q− A11 + B11k1 sI n −q − A22 = 0
我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即 １）抗外部干 扰问题；２）抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性（Ｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ）问题；３）控制规律的工程 实现问题。 一般说来， 综合和设计是两个有区别的概念。 综合将在考虑工程可实现或可行的前提下， 来确定控制规律 ｕ；而对设计，则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选 择、元件的选用、参数的确定等。
u = − Kx
（缺图，见更新版）
图 4.1
(a) 开环控制系统
(b) 具有 u = − Kx 的闭环反馈控制系统
将式（4.2）代入式（4.1） ，得到
x & (t ) = ( A − BK ) x(t )
该闭环系统状态方程的解为
x (t ) = e ( A− BK ) t x (0)
(4.3)
式中 x(0)是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵 A-BK 的特征 值决定。如果矩阵 K 选取适当，则可使矩阵 A-BK 构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的 x(0)≠0，当 t → 8 时，都可使 x(t) → 0。一般称矩阵 A-BK 的特征值为调节器极点。如果这 些调节器极点均位于 s 的左半平面内，则当 t → 8 时，有 x(t) → 0。因此我们将这种使闭环 系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。 下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统
这意味着， 在能控性矩阵中存在 q 个线性无关的列向量。 现定义 q 个线性无关列向量为
f 1 , f 2 , Λ , f q ，选择 n-q 个附加的 n 维向量 v q+1 , vq + 2 , Λ , v n ，使得 P = [ f1 Μ f 2 ΜΛ Μf q Μ v q+1 Μ vq + 2 ΜΛ Μ vn ]
1o 必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。
现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵 A-BK 的 特征值不可能由线性状态反馈来控制。 假设式（4.1）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于 n，即
rank [ B Μ AB Μ ΛΜ A n−1 B ] = q < n
u = −Kx + r
对于线性输出反馈控制律
u = −Hy + r
其中 r ∈ R r 为参考输入向量。 由此构成的闭环反馈系统分别为
x &= ( A − BK ) x + Br y = Cx
或
x &= ( A − BHC ) x + Br y = Cx
闭环反馈系统的系统矩阵分别为
《现代控制理论基础》第四章(讲义)
sI − A + BK = P −1 ( sI − A + BK ) P = sI − P AP + P BKP ˆ+ B ˆ ˆ| =| sI − A K A11 = sI − 0 = 0 A12 B11 k2 ] + [ k1 Μ A22 0 − A12 + B11k 2 sI n −q − A22
《现代控制理论基础》第四章(讲义)
的任意极点配置才是可能的。
４．２．２ 可配置条件
考虑由式（4.1）定义的线性定常系统。假设控制输入 u 的幅值是无约束的。如果选取 控制规律为
u = − Kx
式中 K 为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图 4.1（b）所示。 现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。 定理 4.1 (极点配置定理 ) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要 条件是，此被控系统状态完全能控。 证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输 入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。
４．１．２ 性能指标的类型
总的说来， 综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。 两者的 差别为： 非优化型指标是一类不等式型的指标， 即只要性能值达到或好于期望指标就算是实 现了综合目标， 而优化型指标则是一类极值型指标， 综合目标是使性能指标在所有可能的控 制中使其取极小或极大值。 对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的提法有： 1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题 ； 2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题 。从 线性定常系统的运动分析中可知， 如时域中的超调量、 过渡过程时间及频域中的增益稳定裕 度、相位稳定裕度，都可以被认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极 点配置问题； 3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指 标，相应的综合问题称为解耦问题 。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用； 4、以使系统的输出 y(t)无静差地跟踪一个外部信号 y 0 (t ) 作为性能指标，相应的综合问 题称为跟踪问题 。 对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，即
４．２ 极点配置问题
本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为 s =μ1 ，s =μ2, …，s =μn 。我们将 证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵 K，利用状 态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。 这里我们仅研究控制输入为标量的情况。 将证明在 s 平面上将一个系统的闭环极点配置 到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。 我们还将讨论 3 种确定状态反馈增益矩阵的
４．２．１ 问题的提法
前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质 上都可视为极点配置问题。 给定单输入单输出线性定常被控系统
&= Ax + Bu x
式中 x (t ) ∈ R n , u (t ) ∈ R 1 , A ∈ R n×n , B ∈ R n×1 。 选取线性反馈控制律为
４．１．４ 工程实现中的一些理论问题
在综合问题中， 不仅要研究可综合条件和算法问题， 而且要研究工程实现中提出的一系 列理论问题。主要有： 1、状态重构问题 由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内 部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用 可量测输出 y 和输入 u 来构造出不能量测的状态 x，相应的理论问题称为状态重构问题，即 观测器问题和 Kalman 滤波问题。 2、鲁棒性 (Robustness)问题 3、抗外部干扰问题 本章的组织结构如下。 本章将首先讨论极点配置问题。 将讨论利用极点配置方法来设计 控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统，使其在规定的时间内，返回到垂 直位置； 其次还将讨论状态观测器的设计； 最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺 服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳 定（也就是说，摆不会倒下来） 。 本章 4.1 节为引言。4.2 节将讨论控制系统设计的极点配置方法，给出问题提法、可配 置条件及极点配置的算法。4.3 节将介绍利用 MATLAB 求解极点配置问题，并给出用于极 点配置设计的 MA TLAB 程序。4.4 节以倒立摆为例，给出用极点配置方法设计调节器型系 统的一个例子，并分别介绍分析解法和 MATLAB 解法。 4.5 节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论，将介绍 3 种确定观 测器增益矩阵 Ke 的方法， 并引入控制器-观测器概念。 4.6 节讨论利用 MATLAB 设计状态观 测器。4.7 节研究伺服系统的设计，将讨论当含有积分器和不含积分器时 I 型伺服系统的设 计。 4.8 节介绍用 MATLAB 设计控制系统的一个例子， 将用 MATLAB 设计倒立摆控制系统。 通过使用 MATLAB，可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。
(4.1)
(4.2) 这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中 1×n 维 矩阵 K 称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设 u 不受约束。 图 4.1（a）给出了由式（4.1）所定义的系统。因为没有将状态 x 反馈到控制输入 u 中， 所以这是一个开环控制系统。图 4.1（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态 x 反馈到 了控制输入 u 中，所以这是一个闭环反馈控制系统。
《现代控制理论基础》第四章(讲义)
方法。 应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论 这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地 选择多于 n 个参数，也就是说，除了适当地配置 n 个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需 求，也可满足其部分或全部要求。
４．１．１ 问题的提法
给定系统的状态空间描述
Q = [B Μ AB Μ ΛΜ An−1 B]
若再给定系统的某个期望的性能指标， 它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、 过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时，综合问题就是 寻求一个控制作用 u，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。 对于线性状态反馈控制律
的秩为 n 。因此，可证明
ˆ= P AP = A11 A 0
−1
A12 , A22
B11 ˆ= P B = Κ B 0
−1
这些方程的推导可见例 4.7。现定义
ˆ= KP = [ k Μ K 1 k2 ]
则有
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地说是线性二次型最优控制问题，即 ＬＱ 调节器问题 。
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４．１．３ 研究综合问题的主要内容
主要有两个方面： 1、可综合条件 可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避 免综合过程的盲目性。 2、控制规律的算法问题 这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是 数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问 题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。
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III、综合部分
第四章 线性多变量系统的综合与设计
４．１ 引言
前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。 系统的描述主要解决系统的建模、 各种 数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统 的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、 稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型) 的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般说来，这种控制规律常取反 馈形式， 因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面， 反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开 环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性 反馈控制规律的综合与设计方法。
AK = A − BK AH = A − BHC
即 Σ K = ( A − BK , B, C) 或 Σ H = ( A − BHC , B, C ) 。 闭环传递函数矩阵
GK ( s ) = C −1[ sI − ( A − BK )] −1 B GH ( s ) = C −1[ sI − ( A − BHC )] −1 B