初中几何知识点
第一章 相交线与平行线
1. 邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角
是邻补角,如∠1与∠2。且∠1+∠2=180°
2. 对顶角:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,像这样的两个角互 为对顶角,如∠2与∠4。
对顶角的性质:对顶角相等,即∠2=∠4,∠1=∠3
3.垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
4.平行线:在同一平面,不相交的两条直线叫做平行线。
5.同位角、错角、同旁角:
同位角:∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。 错角:∠4与∠6像这样的一对角叫做错角。 同旁角:∠4与∠5像这样的一对角叫做同旁角。 6.垂线的性质:
性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。 8.平行线的性质:
性质1:两直线平行,同位角相等。 性质2:两直线平行,错角相等。 性质3:两直线平行,同旁角互补。 9.平行线的判定:
判定1:同位角相等,两直线平行。 判定2:错角相等,两直线平行。 判定3:同旁角相等,两直线平行。
第二章 三角形知识点
1.三角形按边分类
(注:按角分类可分为钝角三角形、直角三角形,锐角三角形) 2. 三角形三边的关系(重点)
三角形的任意两边之和大于第三边,三角形的任意两边之差小于第三边。 用数学表达式表达就是:记三角形三边长分别是a ,b ,c ,则a +b >c 或c -b <a 。
三角形
不等腰三角形
(至少两边相等)
等腰三角形
底边和腰不等的等腰三角形
等边三角形(三边都相等)
应用:(1)判断三条线段能否组成三角形
方法:两短边之和大于第三边
(2)已知三角形两边的长度分别为a,b,求第三边长度的围
方法:第三边长度的围:|a-b|<c<a+b(即:两边之差<第三边<两边之和)
3.三角形的高、中线与角平分线
(1)三角形的高
从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线,垂足为D,那么线段AD叫做△ABC的边BC上的高。三角形的三条高的交于一点。
(2)三角形的中线
连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D,所得的线段AD叫做△ABC
的边BC上的中线。
三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。即S△ABD=S△ADC
(3)三角形的角平分线
∠A的平分线与对边BC交于点D,那么线段AD叫做三角形的角平分线。
如图∠1=∠2
要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”,其区别是:三角形的角
平分线是条线段;角的平分线是条射线。
三角形三条角平分线的交于一点,这一点叫做“三角形的心”。
4.三角形的角
(1)三角形的角和定理
三角形的角和为180°,与三角形的形状无关。
如图∠A+∠B+∠C=180°
(2)直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余(即∠A+∠C=90°)。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
5.三角形的外角
(1)三角形外角的意义
三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角,如图∠ACD即为△ABC的外角。
∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6均为外角
(2)三角形外角的性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角之和。如图∠ACD=∠A+∠B
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个角。如图∠ACD>∠A,∠ACD>∠B
6.多边形
(1)多边形的概念
在平面中,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形,多边形中相
邻两边组成的角叫做它的角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角
叫做外角。连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n-3)条,把多边形
分成(n-2)个三角形,所以其角和为,其所有的对角线
条数为.全部多边形的外角和都是360°。
(2)正多边形
各角相等,各边相等的多边形叫做正多边形。(两个条件缺一不可,除了三角形以外,因为若三角形的三角相等,则必有三边相等,反过来也成立)
总结:1. n边形的角和定理:n边形的角和为
3.n边形的外角和定理:多边形的外角和等于360°,与多边形的形状和边数无关。
第三章全等三角形
1.全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;全等三角形的周长、面积相等。
(注:全等三角形的形状和大小一样)
如图,△ABC≌△DEF,读作三角形ABC全等于三角形DEF(注意,对应顶点
应写在对应的位置上,即点A对点D,点B对应点E,点C对应点F)
2.两个三角形全等的判定(即如何判断两个三角形全等)【重点】
(注:找两个三角形全等的条件时,公共边、公共角、对顶角都是对应角,如下图BC是两个三角形的公共边,即BC=BC;∠A是两个三角形的公共角,即∠A=∠A,∠BAC、∠DAE是对顶角,即∠BAC=∠DAE)
3.角平分线的
(1)定义:从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如右图:OC平分∠AOB
∵OC平分∠AOB
∴∠1=∠2
(2)性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】
如上图:
∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2),PE⊥OA,PD⊥OB
∴PD=PE此
(3)判定:角的部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
如上图:
∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE
∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)
第四章等腰三角形
1.线段的中点的定义:把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。
如右图:
∵C是AB的中点
∴AC=BC
2.垂直的定义:两条直线相交所成的四个角中有一个是直角,这两条直线互相垂直。如右图:【重点】
∵AB⊥CD
∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90°
或∵∠AOC=90°
∴AB⊥CD
注意:要判断两条直线垂直,只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的
一个角是直角就可以了。反过来,两条直线互相垂直,它们的四个交角都是直角。3.垂直平分线
(1)性质:线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
∵直线l垂直平分AB(或PC⊥AB,AC=BC)
∴PA=PB
(2)判定:到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵PA=PB
∴点P在AB的垂直平分线上
4、等腰△的性质:
(1)两个底角相等,简写为“等边对等角”
∵在△ABC中,AB=AC
∴∠B=∠C
(2)等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线,底边上的高互相重合,简写为“三线合一”
如图,在△ABC中,
性质2:(1)∵AB=AC,∠1=∠2 ∴AD⊥BC,BD=DC
(2)∵AB=AC,BD=DC ∴AD⊥BC,∠1=∠2
(3)∵AB=AC,AD⊥BC ∴BD=DC,∠1=∠2
5. 等边△的性质:(1)三条边都相等;
(2)三个角都相等,并且每一个角都等于60°;
(3)三条边上的高、中线、角平分线都相互重合,即三条边都满足三线合一。
6. 等边△的判定:(1)三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7. 在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半
∵在Rt△ABO中,∠B=30°
∴ AO=
1AB
2
平行四边形
定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质:
边:对边平行且相等,即AB
角:对角相等,邻角互补
对角线:互相平分
判定:
边定义法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形
定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
性质:
边:对边平行且相等
角:对角相等,邻角互补有一个角是直角矩形的四个角都是直角对角线:矩形的对角线互相平分且相等
判定:
角定义法:有一个角是直角的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线:对角线相等是平行四边形是矩形
菱形
定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质:
边对边平行
对边相等有一组邻边相等四条边都相等
角:对角相等,邻角互补
对角线:菱形的两条对角线互相平分且互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
判定:
边定义法:有一组邻边相等的平行四边形是菱形
四条边都相等的四边形是菱形
对角线:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱形是轴对称图形,两条对角线为它的对称轴。
正方形
定义:有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
性质:
边对边互相平行
对边相等有一组邻边相等四条边都相等
角:对角相等,邻角互补有一个角是直角四个角都是直角
对角线:互相平分且相等且互相垂直,每一条对角线平分一组对角
正方形是轴对称图形,有四条对称轴。
判定
有一组邻边相等并且有一个直角的平行四边形是正方形
有一组邻边相等的矩形叫做正方形
有一个角是直角的菱形叫做正方形
提示:判断一个四边形是正方形,关键是先判定这个四边形是平行四边形,再判定这个四边形是菱形(或矩形),最后判定这个平行四边形还是矩形(或菱形)。但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异,所给出的条件不尽相同,所以判定一个四边形是正方形的具体过程方法也得视情况而定。相关性质
平行线段:两条平行线之间的任何两条平行线段都相等
两条平行线之间的距离相等
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线平行于三角形的第三边,并且等于第三边的一半
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
初中几何基本知识点总结(精简版)
初中几何基本知识点总结(精简版) 1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
初三数学几何知识点归纳总结
初三数学几何知识点归纳总结 除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径,本文为大家提供了初三数学几何知识点归纳总结,希望对大家的学习有一定帮助。 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 初中几何公式:角 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 初中几何公式:三角形
15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
初中几何知识点教学内容
初中数学几何定理 1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9同位角相等,两直线平行 10内错角相等,两直线平行 11同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13两直线平行,内错角相等 14两直线平行,同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论1直角三角形的两个锐角互余 19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28定理2到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论3等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等? 40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
初中几何做辅助线知识点
初中几何做辅助线知识点 中点问题: 说明:当考试题目中出现了“中点”两个字的时候,同学们可以构造:中位线、倍长中线、斜边中线、三线合一这四种辅助线。当然如果题目非常难,很有可能同时构造这四种辅助线当中的两种甚至三种。 梯形构造辅助线的8种方法: 说明: 平移一腰:当梯形的两个底角互余时,可以选择平移一腰,把一个梯形分割成一个平行四边形和一个直角三角形。 做双高:当梯形的底角出现特殊角时,可以构造高。
构造底边中点:目的构造三个全等等边三角形。 平移对角线:当已知出现“上底加下底”,并且题目中出现对角线时,可选择平移对角线。 取一腰中点:当已知出现“上底加下底”,并且题目中无对角线时,可取一腰中点。 过上底中点平移两腰:目的构造直角三角形。 过腰中点:可构造平行四边形 延长两腰:构造三角形(可能出现三线合一) 三大变换: 说明:三大变换是初中几何的精华所在,在初三的上学期期末,一模考试以及中考中都占有很重要的位置,初二的期末考试开始逐渐向初三过度,同学们在平常的联系中也会感觉到运用三大变换进行解题的方便,故而在此次期末考试复习中,一定要尽快熟悉起三大变换。 1、平移:平移模型有三种。 a)“相等线段相交模型”我们需要通过平移将两条线段构造成共顶点的图形,进而构造出三角形去凸显条件。 b)“相等线段不相交模型”此类模型的辅助线构造方法与第一种类似,都是通过平移线段使得两条线段共顶点,进而解决问题。实际上平移线段就是构造平行四边形,而我们
初二的学习重点就是平行四边形,所以在复习过程中有关平移的题目一定不能马马虎虎。 c)当题当中出现了两条相等的线段并且相等线段共线或平行时,可选择平移。 2、旋转:一般来说旋转的模型都有着“共顶点的等长线短”这个特点,当然有些很难的题目没有这种特点那么我们则需要去将此特点构造出来,例如费马点的证明。当同学们做了很多有关旋转的题目之后可以总结出来哪些题目比较“像”能有旋转做出来的题,要多总结一些模型,例如半角模型,构造等边三角形的模型等等。下面说一些关键点给同学们参考。 a)确定有没有“共顶点等长线短”,没有则需要构造。 b)确定要旋转谁。一般来说旋转对象为等长线短其中一条所在的三角形。 c)确定转多少度。这个度数基本上由等长线短的夹角决定。 d)确定旋转之后的等量关系以及是否需要添加其他辅助线以构成特殊图形。 3、轴对称:轴对称是我们初二上学期的学习内容,期末也会考察希望同学们不要遗忘掉这部分知识。下面给出几种常见考虑要用或作轴对称的基本图形。 a)线段或角度存在2倍关系的,可考虑对称。 b)有互余、互补关系的图形,可考虑对称。 c)角度和或差存在特殊角度的,可考虑对称。
几何初中知识点总结三
几何初中知识点总结(三) 82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半L=(a+b)÷2S=L×h 83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc 如果ad=bc,那么a:b=c:d 84(2)合比性质如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d 85(3)等比性质如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b 86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
87推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 88定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似 91相似三角形判定定理1两角对应相等,两三角形相似(ASA) 92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和
原三角形相似 93判定定理2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS) 94判定定理3三边对应成比例,两三角形相似(SSS) 95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96性质定理1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比 98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方