振动力学--动力减震器

利用直接法
k2 x1 F0 sin t k2 x2 0
X X 1 X2
x X sin t
k1 k2 m1 2 k2 容易解出：
k2 X 1 F0 2 k2 m2 X 2 0
引入符号：1
k1 k2 m2 2 ， F1 2 ， ， ， xst ， 1 m2 m1 m1 k1 c ， ， 2m21 1
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得到： X1 ( 2 2 ) 2 (2 ) 2 xst [(1 2 )( 2 2 ) 22 ]2 (2 ) 2 (1 2 2 ) 2
单自由度受迫振动 . 0.976时共振 .
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这种极端情况下（相当于单自由度系统受迫振动）：
1 X1 1 1 2 2 1 ( / n ) xst 1 1 2 (m1 m2 ) / k1
而令（4.5 15 ）中 ，得：
X1 1 xst 1 2 2
当 a时， X 1 0
m2 k2
即是
x2
即主系统不再振动，起到吸振作用.
n 2 xst F0 X 2 ( ) a k2
F0 x2 sin t k2
x1 m1 k1
F0 sin t
x2 k2 F0 sin t
任何瞬时，减振器对主质量的作用力正好平衡
动力减振器
平志海
无阻尼动力减振器系统
x2
m1、 k1： 主系统的质量和弹簧刚度 m1 上作用有简谐激振力
x1
m2
k2
F0 sin t
m1
k1
质量 m2 弹簧 k2
2
系统的强迫振动方程：
1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 x2 k2
可见， X1是和的函数（还有 和已知） .
右图: 0.05, 1 1. 0，无阻尼
X1 x st
有两个共振频率：
0.895, 1.12
X1 2 2 xst (1 2 )( 2 2 ) 22
2.当 时，
相当于 m1和m2刚性连接 .
了主质量上受到的激振力，使主质量的振动转移到减振器上来。
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有阻尼动力减振器
无阻尼动力减振器是为了在给定的频率消除主系统的振动而 设计的，适用于激振频率不变或稍有变动的工作设备。
但有些设备的激振频率在一个比较宽的范围内变动，要消除其 振动，就需要用有阻尼动力减振器。 F1 sin t
m1、 k1： 主系统的质量和弹簧刚度 m1 上作用有简谐激振力 有阻尼动力吸振器： 质量 m2 弹簧 k2 阻尼 c
k1 2
k2
பைடு நூலகம்
m1
c
m2
x1
k1 2
x2
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系统的强迫振动方程：
1 c( x 1 x 2 ) (k1 k2 ) x1 k2 x2 F1 sin t m1 x 2 c( x 1 x 2 ) k2 ( x1 x2 ) 0 m2 x
令：
x1 (t ) X1ei (t ) x2 (t ) X 2ei (t )
代入（4.5-9）得： k1 k2 m1 2 ic (k2 ic ) X 1e i F1 2 i (k2 ic ) k2 m2 ic X 2e 0 系数行列式： k1 k2 m1 2 ic (k2 ic ) det[Z ( )] (k2 ic ) k2 m2 2 ic
(k1 m1 2 )(k2 m2 2 ) k2m2 2 ic(k1 m1 2 m2 2 )
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得到： X 1e i
F1 F1 2 i [k2 m2 ic ] X 2e [k2 ic ] det[Z ( )] det[Z ( )]
所以： X 1 X 1e i
(k 2 m2 2 ) 2 c 2 2 F1 [( k1 m1 2 )( k 2 m2 2 ) k 2 m2 2 ]2 c 2 2 (k1 m1 2 m2 2 ) 2
X 2 X 2 e i
2 k2 c 2 2 F1 [( k1 m1 2 )( k 2 m2 2 ) k 2 m2 2 ]2 c 2 2 (k1 m1 2 m2 2 ) 2
(k2 m2 2 ) F0 X1 2 (k1 k2 m1 2 )(k2 m2 2 ) k2
k2 F0 X2 2 (k1 k2 m1 2 )(k2 m2 2 ) k2
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[1 ( / a ) 2 ]xst X1 [1 (a / n ) 2 ( / n ) 2 ][1 ( / a ) 2 ] (a / n ) 2 xst X2 [1 (a / n ) 2 ( / n ) 2 ][1 ( / a ) 2 ] (a / n ) 2











x2:=wn^2/(m1*wn^4-2*m1*wn^2*w^2-m2*wn^2+w^4*m1)*f0;

algsubs(m2/m1=u,x1);

algsubs(m2/m1=u,x2);

algsubs(w/wn=s,x1);

algsubs(w/wn=s,x2);

u:=0.5;

B1:=abs((1-s^2)/(1-(2+u)*s^2+s^4));

B2:=abs(1/(1-(2+u)*s^2+s^4));

plot([B1,B2],s=0..2,0..5);
对于这两条曲线，在 S和T点以外响应值相差很小 。
达到了减振目的。 显然在相当宽频率范围 内X1小于允许的振幅，
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采用Maple作图的程序为：

k1:=m1*wn^2; k2:=m2*wn^2; M:=array([[m1,0],[0,m2]]); K:=array([[k1+k2,-k2],[-k2,k2]]); X:=array([[x1],[x2]]); F:=array([[f0],[0]]); A:=K-w^2*M; H:=inverse(A); Evalm(1/A); X:=evalm((1/A)&*F); x1:=(wn^2-w^2)/(m1*wn^4-2*m1*wn^2*w^2-m2*wn^2*w^2+w^4*m1)*f0;
1 1 ( / 1 ) 2 (m2 / m1 )( / 1 ) 2
1 1 2 (m1 m2 ) / k1
此时X1 / xst 为的函数，其中 是已知的。
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这样减振器各参数就都 确定了，且其响应在 S和T点达到最大， 且小于允许的振幅。
下图( 1/ 4)两条曲线，在 S点和T点分别具有水平切线。