控制系统计算机辅助分析
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控制系统计算机辅助分析
例exp5_1.m 已知某系统的模型如右所示：
x
1 2 4
2 6 7
1 3 8
2 1
0
x
0
u
5 0
7 2 1
6
1
y 2 5 6 1x 7u
要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。
例exp5_2.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统 是否为最小相位系统。
ImNaoge a n d d n y a t n 1 d d n 1 y t a 1 d d a y 0 ty b m d d m u b tm d m d 1 u t b 1 d d b u 0 t u
或闭环系统传递函数为：
G (s)b am nssm n a bn m 1 1ssn m 11 ... . ..a b 11 ss a b0 0
第五章：控制系统计算机辅助 分析
➢ 控制系统的分析包括四部分： ① 系统的稳定性分析； ② 时域分析； ③ 频域分析； ④ 根轨迹分析。
控制系统计算机辅助分析
5.1 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定及最小相位系统判据
对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半 平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部闭环极点都位于Z 平面的单位圆内，则系统是稳定的。 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或 若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内， 则系统是最小相位系统。
控制系统计算机辅助分析
5.1.1特征方程根的求取
1、对n阶线性定常系统，其特征方程是一个n 次的代数方程。特征方程的根即为系统闭环 极点。Matlab提供了求取特征方程根的函数： V＝roots（P） ——P为特征多项式的系数向量，返回值V 为特征根构成的系数向量。
控制系统计算机辅助分析
例
若n阶微分方程如下：
G (s) s6 1s5 4 13 s s 1 4 3 5 1 0 s s 2 2 6 3 4 1 8 s 1 4 2 s2 9 2 84 1 s 1 11 72
控制系统计算机辅助分析
例题：exp5-1 》A=[1 2 -1 2;2 6 3 0;4 7 -8 -5;7 2 1 6]; 》B=[-1 0 0 1]'; 》C=[-2 5 6 1]; 》D=[7]; 》P=poly(A); %求特征多项式 》V=roots(P) %求特征根 可知系统不稳定，也不是最小相位系统
例题：5.1-5.2
• 参见P1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
控制系统计算机辅助分析
5.1.3利用李雅普诺夫第二法判别系 统稳定性
•
• 线性定常连续系统 x Ax
当A为非奇异矩阵，系统有唯一的平衡状态 Xe＝0。 李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给定的正定对称
矩阵Q都存在一个正定的实对称矩阵P满足下面的方 程 ATP+PA=-Q 那么系统的平常状态Xe＝0是渐进稳定的。 并且V(s)=xTPx就是系统的李亚普诺夫函数，通常取Q 为单位阵。
step和impulse 常用的典型输入信号如表5-1所示。
控制系统计算机辅助分析
2.控制系统动态性能指标 ① 最大超调量－瞬态过程输出响应的最大值超过
稳态值的百分比。 ② 峰值时间tP－输出响应第一次达到峰值所需时间。 ③ 延迟时间td－输出响应第一次到达稳态值的50%
所需时间。 ④ 上升时间tr －第一次达到稳态值时间，或由稳态
控制系统计算机辅助分析
• 例题exp5.2 • num=[3 16 41 28]; • den=[1 14 110 528 1494 2117 112]; • pzmap(num,den) • [p,z]=pzmap(num,den) %验证零极点
可知：系统稳定而且是最小相位系统
控制系统计算机辅助分析
控制系统计算机辅助分析
5.1.2利用传递函数零极点判断系统 稳定性
• 函数tf2zp可用来化传递函数模型为零极点 增益模型
• 函数pzmap()用来绘制闭环系统的零极点分 布图。调用格式如下： pzmap(num,den) ——绘制零极点图 [p,z]=pzmap(num,den)——求取系统零极点图， 但不绘制图形
控制系统计算机辅助分析
• 休息一会！
控制系统计算机辅助分析
5.2 控制系统的时域分析
5.2.1时域分析的一般方法
首先求取控制系统在典型输入信号作用下的时间响应， 然后以时间响应为依据直接分析系统的稳定和动态性能。 1、典型输入信号： 控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函 数（即冲激函数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提 供了求取这两种输入下系统响应的函数。
则其特征方程为：
a n sn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
控制系统计算机辅助分析
2、对于n维状态方程描述的系统 系统矩阵A为n×n阶方阵，那么 系统的特征多项式为：
x Ax Bu y Cx Du
f(s ) (s IA ) a 0 sn a n 1 s a n
Maltab提供了求取矩阵特征多项式的函数 P＝ploy（A）
——P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式 按降幂排列的各项系数。
然后再借助V＝roots（P）函数即可判定系统的稳 定性。
控制系统计算机辅助分析
3、直接求取矩阵的特征值，Maltab提供了求 取矩阵特征值的函数 D=eig(A) [V,D]=eig(A)
——D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵 A的特征值。V是由与特征值对应的特征向 量构成的矩阵
控制系统计算机辅助分析
李雅普诺夫方程的求解函数
• P＝lyap（A，Q） 通常正定实对称阵Q取单位阵。
例题：参见P171，例题5.3
控制系统计算机辅助分析
对于线性定常离散控制系统 x(k+1)=G*x(k), xe=0 其平衡状态在李亚普诺夫意义下渐近稳定的重要条件是：对
于任意给定的实对称矩阵Q存在正定的实对称矩阵P，使得 李亚普诺夫方程成立。 GTPG-P=-Q 而且，V[x(k)]=xT(k)*P*x(k)是系统的李亚普诺夫函数， Matlab求取离散系统的李亚普诺夫方程的函数是dlyap（） 为判别系统的稳定性，只需编程判断对任意给定的实对称矩 阵Q矩，李亚普诺夫方程的解P矩阵的正定性。
例exp5_1.m 已知某系统的模型如右所示：
x
1 2 4
2 6 7
1 3 8
2 1
0
x
0
u
5 0
7 2 1
6
1
y 2 5 6 1x 7u
要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。
例exp5_2.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统 是否为最小相位系统。
ImNaoge a n d d n y a t n 1 d d n 1 y t a 1 d d a y 0 ty b m d d m u b tm d m d 1 u t b 1 d d b u 0 t u
或闭环系统传递函数为：
G (s)b am nssm n a bn m 1 1ssn m 11 ... . ..a b 11 ss a b0 0
第五章：控制系统计算机辅助 分析
➢ 控制系统的分析包括四部分： ① 系统的稳定性分析； ② 时域分析； ③ 频域分析； ④ 根轨迹分析。
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5.1 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定及最小相位系统判据
对于连续时间系统，如果闭环极点全部在S平面左半 平面，则系统是稳定的。 对于离散时间系统，如果系统全部闭环极点都位于Z 平面的单位圆内，则系统是稳定的。 若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或 若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内， 则系统是最小相位系统。
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5.1.1特征方程根的求取
1、对n阶线性定常系统，其特征方程是一个n 次的代数方程。特征方程的根即为系统闭环 极点。Matlab提供了求取特征方程根的函数： V＝roots（P） ——P为特征多项式的系数向量，返回值V 为特征根构成的系数向量。
控制系统计算机辅助分析
例
若n阶微分方程如下：
G (s) s6 1s5 4 13 s s 1 4 3 5 1 0 s s 2 2 6 3 4 1 8 s 1 4 2 s2 9 2 84 1 s 1 11 72
控制系统计算机辅助分析
例题：exp5-1 》A=[1 2 -1 2;2 6 3 0;4 7 -8 -5;7 2 1 6]; 》B=[-1 0 0 1]'; 》C=[-2 5 6 1]; 》D=[7]; 》P=poly(A); %求特征多项式 》V=roots(P) %求特征根 可知系统不稳定，也不是最小相位系统
例题：5.1-5.2
• 参见P1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
控制系统计算机辅助分析
5.1.3利用李雅普诺夫第二法判别系 统稳定性
•
• 线性定常连续系统 x Ax
当A为非奇异矩阵，系统有唯一的平衡状态 Xe＝0。 李雅普诺夫第二法指出：如果对任意给定的正定对称
矩阵Q都存在一个正定的实对称矩阵P满足下面的方 程 ATP+PA=-Q 那么系统的平常状态Xe＝0是渐进稳定的。 并且V(s)=xTPx就是系统的李亚普诺夫函数，通常取Q 为单位阵。
step和impulse 常用的典型输入信号如表5-1所示。
控制系统计算机辅助分析
2.控制系统动态性能指标 ① 最大超调量－瞬态过程输出响应的最大值超过
稳态值的百分比。 ② 峰值时间tP－输出响应第一次达到峰值所需时间。 ③ 延迟时间td－输出响应第一次到达稳态值的50%
所需时间。 ④ 上升时间tr －第一次达到稳态值时间，或由稳态
控制系统计算机辅助分析
• 例题exp5.2 • num=[3 16 41 28]; • den=[1 14 110 528 1494 2117 112]; • pzmap(num,den) • [p,z]=pzmap(num,den) %验证零极点
可知：系统稳定而且是最小相位系统
控制系统计算机辅助分析
控制系统计算机辅助分析
5.1.2利用传递函数零极点判断系统 稳定性
• 函数tf2zp可用来化传递函数模型为零极点 增益模型
• 函数pzmap()用来绘制闭环系统的零极点分 布图。调用格式如下： pzmap(num,den) ——绘制零极点图 [p,z]=pzmap(num,den)——求取系统零极点图， 但不绘制图形
控制系统计算机辅助分析
• 休息一会！
控制系统计算机辅助分析
5.2 控制系统的时域分析
5.2.1时域分析的一般方法
首先求取控制系统在典型输入信号作用下的时间响应， 然后以时间响应为依据直接分析系统的稳定和动态性能。 1、典型输入信号： 控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函 数（即冲激函数）。在MATLAB的控制系统工具箱中提 供了求取这两种输入下系统响应的函数。
则其特征方程为：
a n sn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
控制系统计算机辅助分析
2、对于n维状态方程描述的系统 系统矩阵A为n×n阶方阵，那么 系统的特征多项式为：
x Ax Bu y Cx Du
f(s ) (s IA ) a 0 sn a n 1 s a n
Maltab提供了求取矩阵特征多项式的函数 P＝ploy（A）
——P为n+1维行向量，各分量为矩阵特征多项式 按降幂排列的各项系数。
然后再借助V＝roots（P）函数即可判定系统的稳 定性。
控制系统计算机辅助分析
3、直接求取矩阵的特征值，Maltab提供了求 取矩阵特征值的函数 D=eig(A) [V,D]=eig(A)
——D为对角矩阵，对角线上的元素即为矩阵 A的特征值。V是由与特征值对应的特征向 量构成的矩阵
控制系统计算机辅助分析
李雅普诺夫方程的求解函数
• P＝lyap（A，Q） 通常正定实对称阵Q取单位阵。
例题：参见P171，例题5.3
控制系统计算机辅助分析
对于线性定常离散控制系统 x(k+1)=G*x(k), xe=0 其平衡状态在李亚普诺夫意义下渐近稳定的重要条件是：对
于任意给定的实对称矩阵Q存在正定的实对称矩阵P，使得 李亚普诺夫方程成立。 GTPG-P=-Q 而且，V[x(k)]=xT(k)*P*x(k)是系统的李亚普诺夫函数， Matlab求取离散系统的李亚普诺夫方程的函数是dlyap（） 为判别系统的稳定性，只需编程判断对任意给定的实对称矩 阵Q矩，李亚普诺夫方程的解P矩阵的正定性。