空间直线及其方程 PPT

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三、两直线的夹角
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
xx1yy1zz1,
m1
n1
p1
xx2yy2zz2,
m2
n2
p2
^ cL o 1 ,L 2 s ) (m 1 2 |m n 1 1 2 m 2 p 1 2 n 1 n 2 m 2 2 p 1 p n 2 2 |2 p 2 2
6 9
36
arcsi7n 为所求夹角．
36
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例6 求 过 点 (3,2,5)且 与 两 平 面 x4z3和 2xy5z1的 交 线 平 行 的 直 线 方 程 .
解 设所求直线的方向向量为 sr(m ,n,p),
根据题意知 sn1, sn2, 取 s n 1n 2(4,3,1),
所求直线的方程 x3y2z5. 4 31
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例3. 求以下两直线的夹角
L1:
x1yz3 1 4 1
L2:2 xy22z1
解:直线 L 1的方向向量为 s1(1,4,1)
直线
L 2 的方向向量为
r s2(2,2,1)
二直线夹角 的余弦为
cos 1 2 ( 4 ) ( 2 ) 1 ( 1 ) 2
12(4)212 22(2)2(1)2 2
(2) L// A B m C n 0 .p
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例5设 直 线 L:x1yz1， 平 面 2 1 2
:xy2z3， 求 直 线 与 平 面 的 夹 角 . 解 n r(1,1,2), sr(2,1,2),
sin |A m B C n|p
A 2B 2 C 2 m 2 n 2p 2
|12(1)(1)22| 7 .
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例7. 求直线 x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
x2t
y
3 t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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例8 求 过 点 M (2,1,3)且 与 直 线 x1y1z 3 2 1
垂 直 相 交 的 直 线 方 程 .
第六节
第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
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一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 :A 1 x B 1 y C 1 z D 1 0z 1
2 : A 2 x B 2 y C 2 z D 2 0
2
A A1 2x x B B12yy C C12zz D D 1200
两直线的夹角公式
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两直线的位置关系：
(1) L 1L2 m 1 m 2 n 1 n 2 p 1 p 2 0 ,
(2)
L1//
L2 m m12
Байду номын сангаас
n1 n2
p1 p2
,
例如，直线 L1 : 直线 L2 :
s 1 (1 , 4 ,0 ), s 2(0 ,0 ,1 ),
s 1s 20 , s1s2, 即L1L2.
:A B x C y D z 0 , n r(A,B,C),
(s^,n)
(s^,n)
2
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2
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si n co 2 s co 2 s.
sin |A m B C n|p
A 2B 2 C 2 m 2 n 2p 2
直线与平面的夹角公式 直线与平面的位置关系：
(1) Lm AB nCp.
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
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例1 用对称式方程及参数方程表示直线
2xxyyz3z1400.
解 在直线上任取一点 (x0,y0,z0)
取
x0
1
yy00
z020 , 3z060
解得 y00 , z0 2
点坐标(1,0,2),
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因所求直线与两平面的法向量都垂直
取 s n 1n 2(4,1,3),
对称式方程 x1y0z2, 4 1 3
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3 t
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例 2一 直 线 过 点 A (2 , 3 ,4 )， 且 和 y轴 垂 直 相
交 ， 求 其 方 程 .
解 因 为 直 线 和 y 轴 垂 直 相 交 , 所以交点为 B(0,3,0), 取 sBA (2,0,4), 所求直线方程 x2y3z4. 2 04
解 先作一过点M且与已知直线垂直的平面 3 ( x 2 ) 2 ( y 1 ) ( z 3 ) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
x 3t 1
令 x1y1z t 3 2 1
y
2t
1.
z t
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代入平面方程得 t 3 , 交点 N(2,13,3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN(7 22,173 1,7 33)(172,76,274),
所求直线方程为 x2y1z3. 2 1 4
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五、平面束方程
设直线
L由方程组
A1 x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 所确定 0
A 1， B 1， C 1与 A 2， B 2， C2不成比例. 则
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3
xx0yy0zz0 mn p
直线的对称式方程
注意：
1.两个等号连等表示直线， 一个等号表示平面
2.若
m0,直线的方程为
y
x n
y0
x0
0 z z0
p
3.若m n 0 ,p 0 ,直线的方程为
x
y
x0 y0
0 0
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4
令 xx0yy0zz0t mn p
x x0 mt
从而
4
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例4 求直线53xx32yy3zz1900与直线 23xx28yyzz128300的夹角余弦.
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四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角称为直线与平面的夹角．
0 .
2
当直线与平面垂直时,规定其夹角 2
L: xx0yy0zz0, sr(m ,n,p), mn p
A 1 x B 1 y C 1 z D 1 （ A 2 x B 2 y C 2 z D 2 ） ＝ 0
L
o
y
空间直线的一般方程 x
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
方向向量的定义：
如果一非零向量平行于 一条已知直线，这个向量称
z s L M
为这条直线的方向向量．
M0
M 0(x0,y0,z0),s (m ,n ,p ), o
y
ML, M(x,y,z), x
M 0M // s M 0 M ( x x 0 ,y y 0 , z z 0 )