MATLAB在高等数学中的应用

MATLAB 在高等数学中的应用

１ 引言

在科学技术不断发展的今天，计算机得到迅速发展．计算机的出现归功于数学家的奠基性工作，计算机的发展又为数学的发展提供了威力无比的武器和工具，从而彻底改变了长期以来数学仅仅靠一支笔，一张纸的传统，使数学的应用在广度及深度两方面都达到了前所未有的程度，深刻地影响了数学的发展进程和思维模式，同时也使数学技术成为现今高科技的一个重要组成部分和突出标志． 中国科学院院士王梓坤在《今日数学及其应用》一文中指出“精确定量思维是对21世纪科技人员共同的素质要求。所谓定量思维就是指人们从实际问题中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解决问题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用”。

在当前众多数学应用软件中，MATLAB 是一个应用广泛、功能强大的软件．在７０年代后期，Cleve Morler 博士编写了MATLAB ．１９８４年， Cleve Morler 和John Little 成立Math Works 公司，正式把MA TLAB 推向市场，并对MA TLAB 进行不断的开发．MATLAB 已经发展成为适合多学科的功能强大的大型软件．在欧美等高校，MA TLAB 已经成为线性代数，自动控制理论，数理统计，数字信号处理，动态仿真等高级课程的基本教学工具，同时被研究单位和工业部门广泛应用，使科学研究和解决各种具体问题的效率大大提高．MA TLAB 提供了专业水平的数值计算，符号计算和图形可视化等功能，它几乎可以解决实际应用中出现的绝大多数的数值计算问题，如数据分析，曲线拟合，数值分析等．MA TLAB 软件不仅能够进行简单的数值计算，还能进行求导，积分，解方程，求特征值和特征向量等符号计算，并且MA TLAB 的图形功能强大，既包括对二维和三维数据可视化，图像处理，动画制作等高层次的绘图命令，也包括可以完全修改图形局部及编制完整图形界面的低层次的绘图命令．

MATLAB 作为数学软件用于解决高等数学中一些计算问题和绘图问题，给学生一种全新的感觉，激发起学习的兴趣，加深对所学知识的理解，使学生对数学发展现状及应用有切实的体会． 如在高等代数中，矩阵的幂方和除法是两个计算量比较大而且容易出错的运算，尤其是幂方，而这些在MATLAB 中都会很快又准确的得出结果．

例１ 已知A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛01410141061062，求A 3．

应用MATLAB 命令：

A=[2 6 10;6 10 14;10 14 0]^3

ans=

2592 4416 4368

4416 7392 6768

4368 6768 3840

上面的例题已经体现出MATLAB 的优势．同样在令很多人头疼的绘图上MA TLAB 也能很快给出符合要求而精确的图形．

例２ 作出螺旋线t z t y t x ===,cos ,sin 的图形．

应用MATLAB 命令：

>> t=0:pi/50:10*pi; >>plot3(sin(t),cos(t),t)

通过上面的例题使学生在心理上对高等数学的学习不再感到枯燥，将书本上学习的高等数学知识变成计算机语言很快就能得出结果，即使是需要费时的计算和绘图，这些都有助于学生自觉的将MATLAB 应用在高等数学的学习中．以下介绍MA TLAB 在高等数学中的应用．

２ 微积分方面

数值分析主要讨论有关函数的极值问题，零点问题以及微积分问题等，MATLAB 提供了大量的解决上述数值分析任务的函数．

２.１ 极值函数

MATLAB 的主要极值函数是fminbnd ，该函数的常用调用格式为：

X=fimnbnd(FUN,Ｘ１,Ｘ２)

其中输入参数FUN 为欲求极值的函数，Ｘ１，Ｘ２为求极值的范围．

例３求函数x

cot在［１，２］上的极值．

应用MATLAB命令：

>>y=fminbnd('cot',1,2)

>>y=

1.9999

如何求函数的极大值？思考一下．

２.２求根函数

函数fzero为求根函数，其调用格式为：

X=fzero(FUN,X0)

其中输入参数FUN为欲求根的函数，当X0为一个数值时，将得到X０最近的方程的根，当X0为两个数值时，将求出两个元素之间的方程的根．

例４求函数x

cot在１附近的零点，在区间［１，２］中的零点．

应用MATLAB命令：

＞＞x=fzero('cot',1)

＞＞x=

1.5708

＞＞x=fzero('cot',[1,2])

＞＞x=

1.5708

２.３数值积分函数

MATLAB中的数值积分函数是quad,其调用格式为：

Q=quad(FUN,A,B)将求出函数FUN在A和B之间的积分结果．

例５求

2

1

sin xdx

．

应用MATLAB命令：

>> q=quad('sin',1,2)

q =

0.9564

２.４微分函数

Diff(s)对符号表达式s对自变量的积分．

Diff(s,'v')对以v为自变量的符号表达式s求微分．

Diff(s,'v',n) 其中n 为正整数，对函数表达式s 求n 阶微分．

例６ 求sint 2的一阶微分，t 7的七阶微分．

应用MATLAB 命令：

>> t=sym('t');

>> u=sym('u');

>>diff(sin(t^2))

ans =

2*cos(t^2)*t

>> diff(t^7,7)

ans =

5040

在高等数学中函数列的一致收敛性概念比较抽象难理解，而借助MATLAB 强大的绘图功能就能形象直观的理解一致收敛性并对函数列的一致收敛性进行判别．

例７ 已知如下三个函数序列：

];5,0[},{)}({2∈=-x e nx x f nx n

];1,0[},{)}({2

22∈=-x xe n x g x n n

).,0[},)

1(1{)}({2222

2+∞∈+-=x x n x n x h n 通过作出它们的图象，根据一致收敛的几何意义来观察它们的一致收敛性 .

(1) 作出)}({x f n 的一族曲线如下：

应用MATLAB 命令：

hold on; x=0:0.02:5; for n=1:8

y=n*x.^2.*exp(-n.*x); plot(x,y); end;

图1