过焦点弦最短问题

圆锥曲线过焦点弦最短问题
武安一中：郅武强
直线与圆锥曲线位置关系是高考近几年解析几何命题的热点。

弦长问题是我们常见问题，这里往往涉及到弦长最值。

直线过圆锥曲线的焦点与圆锥曲线的相交弦何时最短，是学生比较困惑的地方。

现对抛物线、椭圆、双曲线过焦点的弦何时最短证明如下： 1.抛物线： 已知抛物线的标准方程为22y px =，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值.
①若直线AB 的斜率不存在，则
2AB p =
②若直线AB 的斜率存在不妨设为k ，则直线AB 的方
程为()2p
y k x =- 与抛物线联立方程组22()2
y px
p y k x ==-⎧⎨⎩ 消去y 得22
2
2
2
(2)04
k p k x k p p x -++= 设A 、B 的坐标分别是 11(,)x y ，22(,)x y 由焦点弦公式得：
1222212(1)2p AB x x p p p p p k k
=++=+
+=+> 故当直线AB 和x 轴垂直的时候AB 最小，即最小值为2p 。

2.椭圆
已知椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=，过椭圆右焦点F 的弦交椭圆于A 、B 两点，
求AB 的最小值。

解：如图所示： 设A 、B 点的坐标分别是11(,)A x y ,22(,)B x y
若直线AB 的斜率不存在则2
2b AB a
=
设直线AB 的斜率存在为k 则直线AB 的方程为
()y k x c =- 与椭圆联立方程组得：
22
22
()1y k x c x y a b =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 消去y 得
2
2
2
2
2
2
22
22
()20b a k x a ck x a c a b +-+-= 22
12222
2a ck x x b a k +=+ 由焦半径公式可得： 2222
122222
22
222()22c a ck ac k AB AF BF a e x x a a a b a k b a k =+=-+=-⋅=-++
222
222
2
22222ac ac b a a b a a a k =->-=+
故当斜率k 不存在时侯AB 最短2min 2b AB a
= 3.双曲线
已知双曲线的方程为22
221x y a b
-=，过双曲线的右焦点F 的直线与双曲线的右支交
与A 、B 两点，求AB 的弦长最小值。

解： ①若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为 x c =
2
2b a
AB 的斜率存在，不妨设斜率为k,则直线AB
()y k x c =-与双曲线联立方程可得
22
221
()x y a b y k x c -==-⎧⎪⎨⎪⎩
消去y 得22222222222
()20b a k x a ck x a k c a b -+--= 1212
0x x x x ∆>+>>⎧⎨⎩ b k a ⇒>
或b
k a
<- 由焦半径公式可得： 12()2AB e x x a =+-
22222222222222
22
222222222c a ck ac k ac c b a a a a b a a k b a k b a a a k
=⋅-=-=->-=--- 所以当直线AB 与x 轴垂直时AB 的长最小，即最小值为2
2b a。

综上所述，过焦点的直线与圆锥曲线的相交弦，只有当斜率不存在时，即直线AB 与x 轴垂直时，AB 最短，即圆锥曲线通径。