高考数学二轮复习 专题八第二讲分类讨论思想、化归与转化思想 理

第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想

1．在正实数集上定义一种运算*：当a ≥b 时，a *b ＝b 3；当a

，则满足3*x ＝27的x 的值为( )

A ．3

B ．1或9

C ．1或 2

D ．3或3 3

2．(2013·高考福建卷)满足a ，b ∈{－1，0，1，2}，且关于x 的方程ax 2

＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为( )

A ．14

B ．13

C ．12

D ．10

3．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( ) A.8

9 3 B ．4 3 C.29 3 D ．43或83

3 4．过抛物线y ＝ax 2

(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与QF 的长分

别是p 、q ，则1p ＋1

q

等于( )

A ．2a B.

12a C ．4a

D.4a

5．设函数f (x )＝x 3

＋sin x ，若0≤θ≤π2

时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实

数m 的取值范围是( )

A ．(0，1)

B ．(－∞，0)

C ．(－∞，1)

D ．(－∞，1

2

)

6．设集合A ＝{x |12＋x －x 2

≥0}，集合B ＝{x |m －1≤x ≤3m －2}，若A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________．

7．(2013·高考北京卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧log 12x ，x ≥1，2x ， x <1，

的值域为________．

8．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2

－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，则实数a 的取值范围是________．

9．在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝9

2

，求a 1与q .

10．(2013·惠州模拟题)设a >0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2

－2(1－a )x 的单调性．

11．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2

＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

答案：

第二讲 分类讨论思想、化归与转化思想 1．【解析】选D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3x 3＝27或⎩

⎪⎨⎪⎧x >3

x 2＝27，

解得x ＝3或3 3. 2．【解析】选B.若a ＝0，则b ＝－1，0，1，2，此时(a ，b )的取值有4个；

若a ≠0，则方程ax 2

＋2x ＋b ＝0有实根，需Δ＝4－4ab ≥0，∴ab ≤1，

此时(a ，b )的取值为(－1，0)，(－1，1)，(－1，－1)，(－1，2)，(1，1)，(1，0)，(1，－1)，(2，－1)，(2，0)，共9个．

∴(a ，b )的个数为4＋9＝13. 3．【解析】选D.分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况． 4．【解析】选C.因为直线PQ 是任意的，所以，可以取最特殊的情况：直线PQ 垂直于y

轴时．此时|PF |＝|QF |＝1

2a

，

∴1p ＋1

q

＝4a ，故选C.

5．【解析】选C.易知f (x )为奇函数、增函数， f (m cos θ)＋f (1－m )>0， 即f (m cos θ)>f (m －1)， ∴m cos θ>m －1，

而0≤θ≤π

2

时，cos θ∈[0，1]，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧m >m －10>m －1，得m <1. 6．【解析】由12＋x －x 2

≥0，得－3≤x ≤4，那么A ＝{x |－3≤x ≤4}，由A ∩B ＝B ，当

B ≠∅时，结合数轴，得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥－3m －1≤3m －23m －2≤4

⇒⎩

⎪⎨⎪

⎧m ≥－2

m ≥12m ≤2

⇒1

2

≤m ≤2；

当B ＝∅时，也有A ∩B ＝B 成立；此时，m －1>3m －2，即m <1

2

；

故实数m 的取值范围为{m |m ≤2}． 【答案】{m |m ≤2} 7．【解析】当x ≥1时，log 12x ≤log 12

1＝0，

∴当x ≥1时，f (x )≤0.

当x <1时，0<2x <21

，即0

8．【解析】g (x )＝f ′(x )＝3x 2

＋4x －a ，g (x )＝f ′(x )在区间(－1，1)上存在零点，等价于3x 2＋4x ＝a 在区间(－1，1)上有解，等价于a 的取值范围是函数y ＝3x 2

＋4x 在区间(－

1，1)上的值域，不难求出这个函数的值域是[－43，7)．故所求的a 的取值范围是[－4

3

，7)．

【答案】[－4

3

，7)

9．【解】当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝9

2

，显然成立；

当q ≠1时，由题意，

得⎩⎪⎨⎪

⎧a 1q 2＝a 3＝3

2

，

a 1（1－q 3）1－q ＝S 3＝9

2，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝3

2

， ①

a 1（1＋q ＋q 2）＝9

2， ②

由①②，得1＋q ＋q

2

q

2

＝3， 即2q 2

－q －1＝0，

∴q ＝－1

2或q ＝1(舍去)．

当q ＝－12时，a 1＝a 3

q

2＝6.

综上可知，当q ＝1时，a 1＝3

2

；

当q ＝－1

2

时，a 1＝6.

10．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝1

x

＋2a (1－a )x －2(1－a )