自动控制原理第7章1

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7.3 Z变换理论
Z变换的思想来源于连续系统。在分析连续时 间线性系统的动态和稳态特性时，采用拉普拉斯变 换，将系统时域的微分方程转换成s域的代数方程， 并得到系统的传递函数，从而便于分析系统的性能。 与此相似，在分析离散时间系统的性能时，可使用 Z变换建立离散时间线性系统的脉冲传递函数，进
k 1
X ( j)
k 1
k 0
2s
k 2
s s 2
k 1
o 2max s
X ( j) k 0
s
s
2
k 1
k 2
2s
o
2s
s
s
s
2max
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2s
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要从离散信号x*(t)中完全复现出采样前的连续信x(t)，必 须使采样频率ωs足够高，以使相邻两频谱不相互重叠。
Shannon采样定理：如果对一个具有有限频谱(-
|ωXm频(ajxω谱的)|是:频信率号分的量X频,离*(谱散j，信) 其号T1最xk*高(t)频的X[率傅j(为氏ω变km换axs，)为] 如xX(t*)(不jω包) 含T1 k任何X[大j(ω于 kωs )]
频谱|X*(jω)|是以采样频率ωs为周期，由无限多x(t)的频谱|X(jω)|叠加 而成。当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的 离散频谱，其中与k=0对应的是采样前原连续信号的频谱，幅值为
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小口经高炮高精度伺服系统
粗e显示
中e显示 细e显示
数字信号 发生器
i
误差角 显示器
D/A D/A D/A
A
8255
BC
控制 D/A
计算机
D/A
计算机及其接口
模拟 滤波器
精o11
粗o12
A/D及 锁存电路
精o 粗o
PWM 放大器 SM
减速器
TG
负载
无源校
o
正网络
多级双通道 旋转变压器
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零阶保持器的时域特性gh(t)如图所示。它是高度为1宽度为T
的方波。 gh (t)
gh (t)
1
1
0
T
t0
T
t
零阶保持器 gh (t) 1(t) 1(t T ) -1
零阶保持器的传递函数
Gh (s)
1 esT s
零阶保持器频率特性
Gh
(
j
)
1
e jT
j
1 e jT
Gh ( j) j
以把ωs>ωmax的高频分量全部滤除掉，使X*(jω)中仅留下X(jω)/T 部分，再经过放大器对1/T进行补偿，便可无失真地将原连续信 号x(t)完整地提取出来。 (3) 采样周期T是离散控制系统中的一个关键参数。
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7.2.3 信号的恢复
若采用理想的低通滤波器
E j G j
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采样过程可以理解为脉冲调制过程。采样开关起着理想单位脉冲发
生器的作用，通过它将连续信号x(t)调制成脉冲序列x*(t)。
et
e t x*(t) x(t) (t kT ) k 0 e0 eT
一串脉冲序列
e3T
0
Continuous signal
T
ideal sampler
2 2 cos ωT T
2 ωT
Gh(jω) arctan
ω sin ωT
ωT 2
ω
Gh ( j) T
2
x(t) xh (t)
x(t)
xh (t)
Gh ( j)
Gh ( j)
o
s 2s 3s Gh ( j)
零阶保持器的幅频与相频特性
6T 7T 8T
o T 2T 3T 4T 5T
t
零阶保持器有无穷多个截止频率，并不 是只有一个截止频率的理想低通滤波器，因 此由零阶保持器恢复的连续信号xh(t)与原连 续信号x(t)是有差异的，主要表现在xh(t)具 有阶梯形状，采样周期取得越小，上述差别 也就越小。
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T sampling period 。
采样频率：fs 1/ T 采样角频率：s 2 / T
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连续信号x(t)经过采样开关转换成离散信号x*(t)。如果采样开关
k 0
拉氏变换，得： L[ (t kT )] ekTs
L[x* (t)] X * (s) x(kT )ekTs
k 0
复变量s包含在指数函数e-kTs中不便计算，引进一个新变量：z
eTs
得以z为变量的函数X(z)： X (z) x(kT )zk k 0
X(z) 为离散时间函数X*(s)的Z变换，记为 X (z) Z[x*(t)]
普通高等教育“十一五”国家级规划教 材
自动控制原理 第7章 离散控制系统
Chapter 7 Discrete Control Systems
机械工业出版社
第7章 离散控制系统
7.1概述 Introduction 7.2采样过程与采样定理 The sampling process and the sampling theorem 7.3 Z变换理论 The Z-transform theory 7.4 离散控制系统的数学描述 The mathematical models of the discrete control systems 7.5 离散控制系统的分析与设计 The analysis and design of the discrete control systems
r(t)
e(t)
A/D
e* (t )
数字控制器
u* (t) D/A
u(t) 被控对象
c(t)
数字计算机
测量元件
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数字部分
模拟部分
计算机
r(t)
r* (t) e* (t)
u * (t )
u(t)
c(t)
A/D
D
b* (t)
数 D/A 模 G(s)
A/D b(t) H (s)
数
模
数字控制系统
而分析系统的性能。Z变换又称为离散拉普拉斯变
换，是分析离散系统的重要数学工具。
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7.3.1 Z变换定义
设连续时间函数x(t)可进行拉普拉斯变换，其拉氏变换为
X(s)。连续时间函数x(t)经采样周期为T的采样开关后，得到
离散信号x*(t) ：
x*(t) x(kT ) (t kT )
的闭合时间远小于采样周期T，可认为采样时间τ=0，x(t)在τ内
变化很小，因此x*(t)可用幅值为x(kT)，宽度为τ的脉冲序列近似
表示。
x(t)
x* (t )
x(t)
x* (t)
T
4T
o
t
采样过程
o T 2T 3T
t
脉冲序列x*(t)表达式为
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
t
et
T t
幅值调制器
e t
e5T
0 T 3T 5T
t
Sampled signal
T t
t -4T -2T 0 2T 4T
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X ( j)
7.2.2 采样定理
在设计离散控制系统中，采样周期的选择是一个关键问题。如果 采样周期T越短，采样角频m率ax 越高2o，max x*(t)中m包ax 含的x(t)信息越多。
4T
o T 2T 3T
t
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
1(t–kT)–1(t–kT–τ)表示一个发生在kT时刻，高度为1，宽度τ，即面
积为τ的矩形脉冲。由于τ<<T，该矩形脉冲可近似用理想单位脉
冲来描述:
1(t kT )1(t kT ) (t kT )
et
eh t
et
e t
Gh s
eh t
0 T 3T 5T
t
在t kT,k 1T 区间，保持器的输出一直
保持为ek T 。其变化为零，故称零阶保持器。
若把阶梯信号的中点连接起来，则可得到
与et形状一致但在时间上落后了T 2的时间响
应et T 2。可见，保持器近似为一个延迟环
节。采样周期T减小，可使近似精度提高。
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7.1 概述
离散控制系统（又称为采样控制系统）:有一处或几处信号是 时间的离散函数。
一般情况下，控制信号是离散型时间函数r*(t)，因此取系统 输出端的负反馈信号也需要采取离散型时间函数b*(t)，于是比 较后得到的偏差信号将是离散型时间函数:
e*(t) r*(t) b*(t)
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7.3.2 Z变换方法
(1)级数求和法 离散函数x*(t)的Z变换级数展开式：
X (z) x(0) x(T )z1 x(2T )z2 x(kT)zk
式中δ(t–kT)为t=kT(k=0,1,2,∙∙∙)时刻具有单位强度的理想脉冲。
采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出的离散时间信号x*(t)可
表示为
x*(t) x(kT ) (t kT ) k 0
δ(t–kT)表示发生在kT时刻脉冲的强度，其值与被采样的连续信号x(t)
在采样时刻kT时的值相等。
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数字控制系统的优点：
能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执
行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高
系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并
且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特
sin ωT j 1 cos ωT
ω
ω
1 cos ωT
1 ω
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sin ωT
2 2 cos ωT T
2 ωT
2
Gh(jω) arctan
ω sin ωT
ω
ωT 2
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1 e jT
Gh ( j) j
sin ωT j 1 cos ωT
ω
ω
1 cos ωT
1 ω
sin ωT
连续控制信号r(t)和反馈信号b(t)经A/D转换器被转换成 离散数字信号r*(t)和b*(t)，相比较后得到离散偏差信号 e*(t)=r*(t)–b*(t)。通过计算机运算，产生离散控制序列 u*(t)。u*(t)再经D/A转换器转换成模拟信号u(t)去控制被 控对象，使系统输出满足性能指标的要求。
ωmax<ω<ωmax)的连续信号采样，当s 采 样2角max频率
或采样频率 fs 2 fmax
则由采样得到的离散信号能够无失真地恢复到原来的连续信号。
几点说明： (1)采样定理给出的是由采样脉冲序列无失真地再现原连续信号所必
需的最低采样频率。工程实践中，一般取ωs>>2ωmax。 (2) 若满足采样定理，离散信号x*(t)通过一个理想低通滤波器，就可
m
0
mS
s
2
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波器在物理上是无
法实现的。实际中广泛应用的滤波器是保持器(或保持电路)。
信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续时间信号。实现保
持功能的器件称为保持器。保持器是具有外推功能的元件。
x(t)
x* (t) 保持器 xh (t)
T
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工程实践中普遍采用零阶保持器。它把前一个采样时刻kT的采样 值x(kT)不增不减地保持到下一个采样时刻(k+1)T。
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信号的采样和复现
et
0
et
t
理想脉冲
0
T
采样周期
保持器
e t
采样持续时间
T
t 0 T 3T 5T eh t
t 0 T 3T 5T
t 0 T 3T 5T
如果不经过滤波器将e t 恢复成连当续采信样号频，率足够高时，
2020/12/3 严e重t中时的会高使频机分械量部就件给加系速统磨中损加或入不e了h能t噪正很声常接，工近连 作。续信号8 。
别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
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7.2 采样过程与采样定理
离散系统的特点是：系统中一处或数处的信号 是脉冲序列或数字序列。为了将连续信号变换为离 散信号，需要使用A/D转换器(采样器)；另一方面， 为了控制连续的被控对象，又需使用D/A转换器(保 持器)将离散信号转换为连续信号。因此，为了定量 地研究离散系统，有必要对信号的采样和恢复过程 进行数学描述。
原来的1/T。
k 1
X ( j)
k 1
k 0
2s
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o
s s
2max
s
s
2
s
2
2s
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当ωs≥2ωmax时，离散信号的频谱为无限多个孤立频谱组成的离 散频谱。
若ωs<2ωmax，离散信号x*(t)的频谱不再由孤立频谱构成，而 是一种与原来连续信号x(t)的频谱毫不相似的连续频谱。
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
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x* (t )
x*(t) x(0)[1(t) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )]
x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]