数的开方和二次根式

2.化简二次根式的题目，形式多样，应先化简后求值，应力 求把根号去掉．在求算术平方根时，要先用含绝对值的式 子表示含字母的式子，保证求原式的算术平方根有意义， 然后再根据题目条件，判断求绝对值的式子的符号．
3．一般情况下，我们解题时，总会习惯地把重点放在探求 思路和计算结果上，而忽视了一些不太重要、不直接影响 求解过程的附加条件．要特别注意，问题中的条件没有主 次之分，都必须认真对待．
(3)已知x＝ 的值；
2－1 2＋1
，y＝
2＋1 2－1
x － y ，求 2 2 x ＋y
2
2
12 2 17
(4)已知 6 3m ( n 5) 2 3m 6 ( m 3) n 2 , 则 m-n=
-2
答题规范
2．注意二次根式运算中隐含条件
考题再现
学生作答
2 2 1 a －1 a 2a＋1 的值． 已知：a＝ ，求 － － 2 a＋1 2＋ 3 a －a
(2)计算： 24 － 解：原式＝2
3 2
27÷3＝ 9
2 3
＝3，选C.
1 . 6
＋
－2
1 1 3 1 6 － 2 6 ＋3 6 － 3 6＝ 2
6.
4 1 （3）计算： （- ） 45 15 5 2
解： 原式＝－
4 1 15 3 5 2
4 1 5 2
45 15
对称式x＋y＝4，
xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy， 整体代入即可.
1 1 1 2.注意到(x－ x )2＝(x＋ x )2－4，可得(x－ x )2
＝5，
1 x－x ＝± 5 .
知能迁移4 (1)若y＝ 3x－6＋ 6－3x＋x3， ±6 则10x＋2y的平方根为________ ；
探究提高
1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负.
2.注意二次根式性质( a )2＝a(a≥0)，a2 ＝|a|的区别， 判断出各式的正负性，再化简．
± 2 知能迁移1 (1)(－ 2)2的平方根是________ ， 9的算术平方根 3 －4 是________ ，________ 是－64的立方根．
6 3
探究提高 1.二次根式化简，依据 ab＝ · a
a＝ b
b (a≥0，b≥0)，
a (a≥0，b＞0)，前者将被开方数变形为有m2 b
(m为正整数)因式，后者分子、分母同时乘一个适当的 数使分母变形为m2(m为正整数)的形式，即可将其移到 根号外. 2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式． 3．二次根式乘除结果要化简为最简二次根式．
(3)一个数的立方根与它同号； (4)对一个式子进行开方运算时，要先将式子化简再进 行开方运算．
题型二 二次根式的运算 【例2】 (1)下列运算正确的是( C ) A．2 3＋4 2 ＝6 5 B. 8 ＝4 2 2 27 3 － 3 C. ÷ ＝3 D. ＝－3 解析： 27 ÷ 3 ＝
2 a＋1a－1 a－ 1 解：原式＝ － a＋ 1 a a － 1
a－1 1 ＝a－1－ ＝a－1－ . a a － 1 a 1 ∴当a＝ 时， 2＋ 3
原式＝
1 －1－(2＋ 2＋ 3
3
)＝－1－2 3 .
规范解答
1 解：∵a＝ <1，∴a－1<0. 2＋ 3
2k－ 1≥0， k－ 3>0，
解析：要使等式成立，必须 ∴k>3.
有
k≥1， 2 k>3.
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，试化简： 2 2 2 2 c － a － b a＋b＋c ＋ a－b－c ＋ b－c－a ＋ . 解：原式＝|a＋b＋c|＋|a－b－c|＋|b－c－a| ＋|c－a－b| ＝(a＋b＋c)＋(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a ＋ b －c ) ＝2a＋2b＋2c.
2
解析： ∵|1－x|－ x2－ 8 x＋ 16
＝(x－1)－(4－x) ＝2x－5
∴|1－x|＝x－1≥0
且
∴x≥1
x2－ 8 x＋ 16 ＝4－x≥0
∴x≤4.
∴1≤x≤4.
(1)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)平方根等于本身的数是0，算术平方根等于本身的
数是1和0，立方根等于本身的数是1、－1和0；
数的开方和 二次根式
贺胜中小学初三数学组
考点聚焦
考点1 平方根、算术平方根与立方根
平方根
平方 一个数 x 的______等于 a，那么 x 叫做 a 的平方根，
记作± a
数 的 开 算术平 方 方根
平方 一个正数 x 的________等于 a，则 x 叫做 a 的算术平方
根，记作 a ，0 的算术平方根是 0
立方 等于a，那么x叫做a的立方根 一个数x的________
立方根
考点2 二次根式的有关概念
二 次 根 式
定义
a≥0 形如 a(________) 的式子叫做ห้องสมุดไป่ตู้次根式
防错 提醒
a中的 a 可以是数或式，但 a 一定要大于或等于 0
同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (2)被开方数不含分母。
34
xy (2 3)(2 3) 1
x xy y ( x y) xy =42-1 =15
2
1 2 1 2 （2） ( x x ) ( x x ) 4 =（-3）2-4
=5
1 x 5 x
探究提高 1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本
考点4 二次根式的运算
二次根式 的加减
先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
二次根式 的乘法 二次根式的 除法
≥0 ≥0 a· b ＝ ab(a________ ，b________)
b ＝ a
b >0 ≥0 (a________ ，b________) a
考点5 把分母中的根号化去
解析：(－ 2 )2＝2,2的平方根是± 2；
9
＝3；
3
－64
＝－4.
(2)(2011· 烟台)如果 2a－12 ＝1－2a，则( B ) 1 1 1 A．a＜ B. a≤ C．a＞ 1 D. a≥ 2 2 2 2 1 解析：由1－2a≥0，得a≤ 2.
若化简 1 x x 8 x 16的结果为2x 5, 则x的取值范围是 1≤x≤4
a － 2 a＋ 1＝
2
2 a－ 1 ＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键
之一，上题中的隐含条件
2 2 a － 2a＋ 1 ＝ a－ 1 ＝|a－1|
＝1－a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析 能力的培养，提高解题的正确性.
失误与防范 2 1.求 a2 时，一定要注意确定a的大小，应注意利用等式 a＝ |a|，当问题中已知条件不能直接判定a的大小时就要分类 讨论．
a b
32 ( 10 3)2
9 (10 6 10 9) 10 6 10
题型四 二次根式运算中的技巧 【例4】 (1)已知x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋ y2的值； 解 （1 ） x y 2 3 2
2 2
1 1 (2)已知x＋ ＝－3，求x－ x 的值． x
最简二 次根式
考点3 二次根式的性质
a a ＝ a ＝ －a
2
二 次 根 式 的 性 质
≥0 ( a ) ＝a(a________)
2

（a≥0） （a<0）
≥0 ≥0 ab＝ a· b(a________ ，b________)
b b ≥0 >0 ＝ (a________ ，b________) a a
∴ a2－ 2a＋ 1＝
2 a－ 1 ＝|a－1|＝1－a.
a＋1a－1 1－ a ∴原式＝ － ＝a－1＋ 1 . a＋ 1 a a － 1 a 1 ∴当a＝ 时， 2＋ 3
原式＝
1 －1＋(2＋ 2＋ 3
3 )＝3.
能力提高
(1)题目中的隐含条件为a＝
1 <1，所以 2＋ 3
知能迁移3
6 (1) 2－ 18－( 1 )0 2
解：原式＝3 2－3 2－1 ＝－1
(2)(－3)2－ 4 ＋( 1 )－1；
2
解：原式＝9－2＋2＝9 (3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2 －b2的值．
解：
3 10 4
2 2
10的整数部分a=3,小数部分b= 10 3
题型三
二次根式混合运算
【例3】 计算：
2 （1）（ 3 2-1) （ 1 3 2） -（2 2 1 ）
2012 2012 （2）（ 10 3） （ 10 3）
解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！
2 (2 2) 2 4 2 1 (3 2) 1 解： (1)原式＝
常 用 形 式 及 方 法
1· a a (1) ＝ ＝ ； a a· a a 1 1 a＋b (2) ＝ a＋b a＋b
题型分类 深度剖析
题型一 二次根式概念与性质
【例1】 (1)等式 围是(
D
2k－1 k－3
＝
2k－1 k－3
成立，则实数的范
)
1 2
A．k>3或k<
C．k≥
1 2
B．0<k<3
D．k>3
18 1 (8 4 2 1)
84 2
(2)原式＝ ( 10 3)( 10 3)
2 2 2012
2012
=（10-9）2012 =1 ( 10) 3
探究提高
1.二次根式混合运算，把若干个知识点综 合在一起，计算时要认真仔细. 2.可以适当改变运算顺序，使运算简便．
解析：(1)∵
3x－6≥0 6－3x≥0，
∴
x ≥ 2 ， x ≤ 2 ，
∴x＝2，y＝23＝8，
10x+2y=10×2+2×8=36
10 x 2 y的平方根为 6
已知a 3 2 5, b 3 2 5, 则a b ab
2 2
44 5