反比例函数增减性

先看位置，再看渐近性 由形到数的数学 思想
2、在反比例函数 的图像上有两点 提示： 利用图像比较大小简单明了 A(x B(x2, y2), 当x1< 0 <x2 时,有 。 y 1 < y 2, 1, y 1) 、 则 m的取值范围是（ C ） A. m < 0 B. m >0 C. m < 1 D. m > 1 2 2 y y
A（1，4）
o
x
(6)求经过点A、B的一次函数的解析式; （7）连OA、OB，设点C是直线AB与y轴的交点, 求三角形AOB的面积; （8）当x为何值时反比例函数的值大于一次函数的值;
（9）在x轴上找一点P，使PA＋PC最短，求点P 的坐标.
y
4 C
A(1,4)
（-4,-1） B
o1
x
• 1、如图是三个反比例函数在x轴上 k k1 k 1 2 33 2 y , y , y 方的图像，11 x 22 x , y33 x 由此观 x 察得到( ) • A k1>k2>k3 B k3>k2>k1 • C k2>k1>k3 D k3>k1>k2
y1 y2
1 - 2m y x
x1
y2
0
x2
x
x1
0
y1Байду номын сангаас
x2
x
上关于原点O对称的任意两点，过 与正比例函数直线 MN的两个交点 C 向x 轴引垂线，垂足分别为B，则三 角形ABC的面积为 。
2 • 4．如图，A、C是函数y x 的图象
考察面积不变性和 中心对称性。
k y 如图 双曲线 • 例：换一个角度： x 上任一点分别作x轴、y轴的垂线段， 与x轴y轴围成矩形面积为12，求函 先由数（式）到形再由形 数解析式。 到数（式）的数学思想 ∵︳K︱ ＝12 ∴k=±12
复习题：
k ( k 0 )的图象经过点（－1，2），那 1．反比例函数 x 2 y 么这个反比例函数的解析式为 x ，图象在第 二、四 y
象限，它的图象关于 原点
成中心对称．
k 2．反比例函数 y x ( k 0 ) 的图象与正比例函数
y 2x
的图象交于点A（1，m），则m＝ 2 式为
．
4．已知反比例函数 y （1）当x＞5时，0
5 ． x
< y < 1； （2）当x≤5时，则y ≥ 1,或y＜ 0 ．
（3）当y＞5时，x？ 0＜ x ＜1
m 10、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数 y 2 x
的图象，观察图象写出y1﹥y2时，
x 的取值范围
y
X>3或-2<x<0
减
性
当k>0时,在每一象 限内，函数值y随 自变量x的增大而 减小。
y
0
x
（ k < 0）
两个分 在第二、 支关于原 四象限内 点成中心 对称
当k＜0时,在每 一象限内，函 数值y随自变量x 的增大而增大。
1、用“>”或“<”填空：
做一做：
⑴已知(x1，y1)和(x2，y2)是双曲线 y = x 的两对自变量与 函数的对应值。若x1 < x2 <0。则0 > y1 > y2； -π y = ⑵已知x1，y1和x2，y2是反比例函数 x 的两对自变量 与函数的对应值。若x1 > x2 > 0。则0
下列函数中y随x的增大而减小的是（
9 y （x 0) A、 x
B、 D、
C
）
3 C、 y （x 0) x
11 y x y 2x
3．已知（ 1 ，y1 ），（ 3，y2），（ 2，y3）是反比例函数
2 y 的图象上的三个点，则 y1，y2，y3 的大小关系是 x
y3 y2 y1
X>0
综合应用2/2
k y 18.已知点A（3，4），B（－2，m）在反比例函数 x 的图象上，经过点A、B的一次函数的图象分别与x轴、y 轴交于点C、D。 ⑴ 求反比例函数的解析式； ⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式； ⑶ 求S△ABO；
综合应用2/2
k y 18.已知点A（3，4），B（－2，m）在反比例函数 x 的图象上，经过点A、B的一次函数的图象分别与x轴、y 轴交于点C、D。 ⑴ 求反比例函数的解析式； ⑵ 求经过点A、B的一次函数的解析式； ⑸ 在y轴上找一点P，使PA＋PC最短， 求点P的坐标；
O P
x
（5）若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上 的三个点，过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别 为M，N、K，连接OD、OE、OF，设△ ODM、 △OEN、 △OFK 的面积分别为S1、S2、S3，则下列 结论成立的是 ( ) A S1﹤S2 ﹤ S3 C S1 ﹤ S3 ﹤ S3 B S1﹥S2 ﹥ S3 D S1=S2=S3 M N D E F K y
若y ﹥ 1, 则x的取值范围
若x ﹤ 1，则y的取值范围
（3）若点（x1，y1), （x2，y2), （x3，y3),
A(1,4) x
o1
均在此函数图像上，且x1 ﹤0﹤ x2 ﹤ x3请比较y1、y2、 y3的大小.
（ 4 ）若过A点作AP⊥x轴于点P，求三角形AOP的面积。
y
4
A(1,4)
B
2 y x
，反比例函数的解析
，这两个图象的另一个交点坐标
是 (－1,－2) ．
反比例函数
k 0
y
k y (k 0) x
的图象：
k 0
y
( x1，y1 ) A ( x2，y2 ) B
O
A ( x1，y1 ) B ( x2，y2 )
O
C ( x3，y3 ) D ( x4，y4 )
x
x
D ( x4，y4 )
y 0 x
两个分 第二、 支关于原 四象 点成中心 限内 对称
在每一象限内， 函数值y随自 变量x的增大 而增大。
k 例1、已知反比例函数 y = x 的图象经过点A（1，4） （1 ）①求此反比例函数 的解析式；
②画出图像；
③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。 （2）根据图像得，
y 4 B
-2
0
3
x
提示： 利用图像比较大小简单明了。
提高练习1
若图1是正比例函数y＝-kx的图像，则反比 k 例函数 y 的图像最有可能是 （ D ）
y
x
y O B y O
y
y
O A
x
x
O C
x
O D
x
图1
x
k 8、已知反比例函数 y x
(k≠0) ，则
当x＜0时，y随x的增大而减小，k＞0
C ( x3，y3 )
当 k 0时，在 每个象限 内，当 k 0时，在 每个象限 内，
y 随 x 的增大而 减少 ．
y 随 x 的增大而 增大 ．
反比例 函数
k y= x （ k > 0） k y= x
图 象
y 0
图象的 图 象 的 增 位置 对 称 性
在第一、 x 三象限内 两个分 支关于原 点成中心 对称
y
一次函数y=kx+k的图象不经过第 四 象限.
o
x
课堂小结
反比例 函数
k y= x
（ k > 0）
反比例函数的图象与性质：
图 象 图象的 位置 图象的 对称性 增减性
y
0
x
第一、 两个分 三象 支关于原 限内 点成中心 对称
在每一象限内， 函数值y随自 变量x的增大 而减小。
k y= x
（ k < 0）
π
>
y1
> y2 ；
(3)若点A（-2，a）、B（-6，b）、C（4，c）在函数 y 5 x ＞ b，b__ 的图像上，则a__ ＞c。
2、已知（x1，y1）， （x2，y2） （x3，y3）是反比例
x1 ，x2 ，x3 的大小关系是（ A ） A、x1<x2<x3 B、x3> x1>x2 C、x1>x2>x3 D、x1>x3>x2 函数 y = 2 的图象上的三点，且y1 > y2 > y3 > 0。则 x
义务教育课程标准实验教科书北师大版（九年级上）
反比例函数的图象及性质
（2）
反比例函数的性质
1.当k>0时,图象的两个分支分别在第 一、三象限内； 2.当k<0时,图象的两个分支分别在第 二、四象限内。 3.图象的两个分支关于直角坐标系的 原点成中心对称。
双曲线的两个分支无限接近x轴和y 轴，但永远不会与x轴和y轴相交.