图论中的概念及重要算法

图论中的概念及重要算法

常州一中林厚从

chi、图论中的基本概念

一、图的概念

简单讲，一个图是由一些点和这些点之间的连线组成的。严格意义讲，图是一种数据结构，定义为：graph= （V，E）, V是点（称为"顶点”）的非空有限集合，E是线（称为"边”）的集合，边一般用（V x，V y）表示，其中V x，V y属于V。

图（A）共有 4 个顶点、5 条边，表示为：V={v i, V2, V3, V4}，E={（V i，V2），（V i，V3），

（V i，V4），（V2，V3），（V2，V4）}

二、无向图和有向图

如果边是没有方向的，称此图为“无向图” ，如图（A）和图（C）,用一对圆括号表示无向边，如图（A）中的边（V i，V2），显然（V x，▼『）和（V y，V x）是两条等价的边，所以在上面E 的集合中没有再出现边（V2，V i）。

如果边是有方向（带箭头）的，则称此图为“有向图”，如图（B），用一对尖括号表示有向边，如图（B）中的边＜V i，V2＞。把边＜v x，v y＞中V称为起点，v y称为终点。显然此时边w，V y＞与边＜V y，V x＞是不同的两条边。有向图中的边又称为弧，起点称为弧头，终点称为弧尾。

图（B）表示为：V={V i，V2，V3}，E={＜V i，V2＞，＜V i，V3＞，＜

V2，V3＞，＜V3，V2＞}

如果两个顶点U V之间有一条边相连，则称U V这两个顶点是关联的。

三、带权图

一个图中的两顶点间不仅是关联的，而且在边上还标明了数量关系，如图（C），这种数量关系可能是距离、费用、时间、电阻等等，这些数值称为相应边的权。边上带有权的图称为带权图，也称为网（络）。

四、阶

图中顶点的个数称为图的阶。图（A）、图（B）、图（C）的阶分别为4、3、5。

五、度

图中与某个顶点相关联的边的数目，称为该顶点的度。度为奇数的顶点称为奇点，度为偶数的顶点称为偶点。图（A）中顶点V i，V2是奇点，V3，V4是偶点。

在有向图中，把以顶点V为终点的边的数目称为顶点V的入度，把以顶点U为起点的边

的数目称为顶点U的出度，出度为0的顶点称为终端顶点。如图（B）中顶点V i的入度是0、出度是2, V2的入度是2、出度是1, V3的入度是2、出度是1,没有终端顶点。

定理1:无向图中所有顶点的度之和等于边数的2倍，有向图中的所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和。

定理2:任意一个无向图一定有偶数个（或0个）奇点。

六、完全图

若无向图中的任意两个顶点之间都存在着一条边，有向图中的任意两个顶点之间都存在

着方向相反的两条边，则称此图为完全图。n阶完全有向图含有n*（n-1）条边，n阶完全无向

图含有n*（n-1）/2 条边，当一个图接近完全图时，称为稠密图；相反，当一个图的边很少时，称为稀疏图。

七、子图

设有两个图G = （V, E）和G' =（V, E'），若V是V的子集，E'是E的子集，则称G为G 的子图。

八、路（径）

在一个G =（V，E）的图中，从顶点v到顶点v '的一条路径是一个顶点序列V io，V i1 , V i2 , ....... , V im,其中V io = V , V im = v '，若此图是无向图，贝U （V j-1 , V j ）€ E, 1< j w m 若

此图是有向图，贝y € E, 1W j w 路径长度是指路径上的边或弧的数目。序列中

顶点不重复出现的路径称为简单路径，顶点V和顶点V’相同的路径称为回路（或环）。除了

第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路（或简单环）。

九、连通图

在无向图G中，如果从顶点U到顶点V有路径，则称U和V是连通的。如果对于图G中的任意两个顶点U和V都是连通的，则称图G是连通图，否则称为非连通图。

在有向图G中，如果对于任意两个顶点U和V,从U到V和从V到U都存在路径，则称

图G是强连通图。

Ch2、图的存储结构

邻接矩阵表示法

邻接矩阵是表示顶点之间相邻关系的矩阵，设G={V, E}是一个度为n的图（顶点序号分

别用1, 2, n表示），则G的邻接矩阵是一个n阶方阵，G[i,j]的值定义如下：

1或权值当V i与V j之间有边或弧时，取值为1或权值G[ i , j ]= Y

0当V i与V j之间无边或弧时，取值为0或无穷大）上面3个图对应的邻接矩阵分别如下:

0 1 1 10 1 1g 5 8 m3

G (A)= 1 0 1 1G ( B)=0 0 1G (C)= 5 8 2 g 6

1 10 00 1 08

2 g 10 4

1 10 0g g 10 g 11

3 6

4 11 g

米用邻接矩阵表示图，直观方便，很容易查找图中任两个顶点i和j之间有无边（或弧）, 以及边上的权值，只要看A[i,j]的值即可，因为可以根据i,j的值随机查找存取，所以时间

复杂性为0( 1 )。也很容易计算一个顶点的度(或入度、出度)和邻接点，其时间复杂性均

为0(n)。但是，邻接矩阵表示法的空间复杂性为0(n*n)，如果用来表示稀疏图，则会造成

很大的空间浪费。

二、边集数组表示法

边集数组是利用一维数组存储图中所有边的一种图的表示方法。每个数组元素存储一条边的起点、终点和权值(如果有的话)。在边集数组中查找一条边或一个顶点的度都需要扫描整个数组，所以其时间复杂性为0( e),e为边数。这种表示方法适合那些对边依次进行处理的运算，而不适合对顶点的运算和对任意一条边的运算。从空间复杂性上讲，边集数组适合于存储稀疏图。

三、邻接表表示法(链式存储法)

邻接表表示法是指对图中的每个顶点V i (1 < i w n)建立一个邻接关系的单链表，并把

它们的表头指针用一维向量数组存储起来的一种图的表示方法。为每个顶点V (1w i w n)

建立的单链表，是表示以该顶点为起点的所有边的信息(包括一个终点(邻接点)序号、一个权值和一个链接域)。一维向量数组除了存储每个顶点的表头指针外，还要存储该顶点的编号i。图(C的邻接表表示为:

-I屮|・| [纠技|』一〉| 5丨3】nil

5引2[■i^n 丨「I 皿1丨

引1皿牛2 !，日~4丨训斗—>1 5 I 4 I nil| 今| 3|10 扌| 11 [ nil]

刿 1 丨 3 2 6 3 丨 4 ]国_R 5 I 11 I 圧亍|

图的邻接表表示法便于查找任一顶点的关联边及邻接点，只要从表头向量中取出对应的

表头指针，然后进行查找即可。由于无向图的每个顶点的单链表平均长度为2e/n，所以查找运算的时间复杂性为0(e/n)。对于有向图来说，想要查找一个顶点的后继顶点和以该顶点为起点的边、包括求该顶点的出度都很容易；但要查找一个顶点的前驱顶点和以此顶点为终点的边、以及该顶点的入度就不方便了，需要扫描整个表，时间复杂度为0(n+e)。所以，对

于经常查找顶点入度或以该顶点为终点的关联边的运算时，可以建立一个逆邻接表，该表中每个顶点的单链表存储的是所有以该点为终点的关联边信息。甚至还可以把邻接表和逆邻接表结合起来，构造出“十字邻接表”，此时，每个边结点的数据信息包含五个域：起点、终点、权、以该顶点为终点的关联边的链接、以该顶点为起点的关联边的链接。表头向量的结点也包括三个域：顶点编号、以该点为终点的表头指针域、以该点为起点的表头指针域。

Ch3图的遍历

一、概念

从图中某一顶点出发系统地访问图中所有顶点，使每个顶点恰好被访问一次，这种运算

操作被称为图的遍历。为了避免重复访问某个顶点，可以设一个标志数组visited[i]，未访

问时值为false，访问一次后就改为true。