控制工程第二章线性系统的数学描述1

3. 控制系统中常见的三类数学模型 ➢ 输入输出描述，或外部描述 • 用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程、传递函数、频率特性和差分方程 。
➢ 状态空间描述或内部描述 不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且 还可以描述系统的内部特性。 它特别适用于多输入、多输出系统， 也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统
解 设回路电流为i(t)，由基尔霍夫电压定律可写出回路方程为 di(t) 1
L dt C i(t)dt Ri(t) ui (t)
1
C i(t)dt uo (t)
消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关 系的微分方程
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t )
ui
(t )
也可以写为
T1T2
d 2uo (t) dt 2
T2
duo (t) dt
uo (t)
ui (t)
其中：T1 L R ， T2 RC 。 这是一个典型的二阶线性常系数微分方程，对应的
系统称为二阶线性定常系统。
➢ 例: 下图表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机 械位移装置。外力 f(t) 是系统的输入量，位移 y(t) 是 系统的输出量。试确定系统的微分方程。
转动惯量J 粘滞摩擦系数f
扭转系数k
角位移
角速度
RLC串联网络 电压u 电感L 电阻R
电容的倒数1/C 电荷q 电流i
*非线性微分方程的线性化
➢ 为什么要研究非线性方程的线性化问题？ 系统、元件非线性特性的普遍存在性； 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方 程； 高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般 形式的解，这给研究系统带来理论上的困难； 线性微分方程理论比较成熟。
f
f
z
x
y
x x0 , y0
y x0 , y0
➢ 经上述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系
表示，简化问题研究。
2.2 传递函数
一、为什么要研究LTI系统的传函表示？
微分方程是系统的时域数学模型，给定外部作用 和初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输 出响应。
方法直观，借助计算机可快速、准确求出方程的 解。
拉氏变换的定义
若将实变量 t 的函数 f(t) 乘上指数函数e-st（其中
s j 是一个复数），并且在 [0, ] 上对 t 积分， 就可以得到一个新的函数F(s)，称F(s)为 f(t) 的拉 氏变换，并用符号L[f(t)]表示。
F (s) L[ f (t)] f (t)estdt 0
传递函数的概念适用于线性定常系统 传递函数是在零初始条件下定义的 传递函数概念主要适用于单输入、单输出的情况
传递函数是复变量s的有理真分式函数
传递函数与线性常微分方程一一对应 传递函数的特征方程、零点和极点 传递函数的三种形式 传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理
性质（物理性质和学科类别截然不同的系统可能 具有完全相同的传递函数 ）。
通常将F(s)称作的 f(t) 象函数，将 f(t) 称作F(s)的 原函数。
三、传递函数的定义
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件 下，系统输出拉氏变换与输入拉氏变换之比 。
2、从微分方程角度建立TF模型
设线性定常系统由下面的n阶线性常微分方程描述：
a0c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t) b0r(m) (t) b1r(m1) (t) b2r(m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
➢ 对于多个输入、一个输出的LTI系统
在求传递函数时，除了指定的输入量以外，其它 输入量（包括常值输入量）一概视为零。
➢ 对于多输入、多输出LTI系统
求取不同输入和输出之间的传递函数将得到系统 的传递函数矩阵。
➢ 具有复变函数的所有性质；
➢ 理论分析和实验都指出：对于实际的物理系统和元 件而言，输入量和它所引起的响应（输出量）之间 的传递函数，分子多项式M(s)的阶次m总是小于分母 多项式N(s)的阶次n。
解 根据牛顿运动定律，系统的运动方程为
m
d
2 y(t) dt 2
dy (t ) dt
ky (t )
f (t)
或写成
m d 2 y(t) dy(t) y(t) 1 f (t)
k dt 2 k dt
k
比较以上两个例子：
弹簧阻尼系统 力F
质量m 粘滞摩擦系数f
弹簧系数k 线位移y 速度v
机械旋转系统 转矩T
c(n) (t) a1c(n1) (t) a2c(n2) (t) an1c(t) anc(t)
b0r (m) (t) b1r (m1) (t) b2r (m2) (t) bm1r(t) bmr(t)
式中 r(t)：系统的输入信号； c(t)：输出信号； ai(i=1,2,…n)和bj(j=0,1,…m)是由 系统的 结 构
实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，机械弹 簧阻尼系统的传递函数。
6. 纯时间延时环节
延时环节的动态方程和传递函数分别为
c(t) r(t )
G(s) C(s) e s R(s)
式中τ称为该环节的延迟时间。
特点：输出量能准确复现输入量，但要延迟一固定的
时间间隔τ 。

实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型 就包含有延迟环节。
输出
输出
O
输入
(a) 饱和 输出
O
输入
(b) 死区 输出
O
输入
(c) 间隙
非线性特性
O
输入
(d) 继电
平衡位置的小偏差线性化
考虑输入、输出变量之间的非线性关系y=f(x),系统经
常工作在平衡点A(x0,y0)处，则A点附近的输入、输出 关系可用Talor级数展开的方法得到，即
y
f (x)
f
( x0 )
第二章 线性系统的数学描述
引言
1. 数学模型的含义 数学模型：用数学的方法和形式表示和描 述系统中各变量间的关系。 分析和设计控制系统，首先要建立它的数 学模型。
2. 静态模型和动态模型 静态关系或静态特性：系统中各变量随时间变化 缓慢，其对时间的变化率（导数）可忽略不计时。 静态模型中不含有变量对时间的导数。 动态关系或动态特性：系统中变量对时间的变化 率不可忽略，这时各变量之间的关系称为动态关 系或动态特性。 控制系统中的数学模型绝大部分都指的是动态系 统的数学模型。
参数决定的系数。
2. 列写系统微分方程的步骤
① 划分不同环节，确定系统输入量和输出量； ② 写出各环节（元件）的运动方程； ③ 消去中间变量，求取只含有系统输入和输出变
量及其各阶导数的方程； ④ 化为标准形式。
➢ 例：下图是由电阻R、电感L和电容C组成的无源网络，试列 写以ui (t)为输入量，以 uo (t)为输出量的网络微分方程。
但是如果系统的结构改变或某个参数变化时，就 要重新列写并求解微分方程，不便于对系统进行 分析和设计。
拉普拉斯（Laplace）变换（简称拉氏变换）是求 解线性常微分方程的有力工具，它可以将时域的 微分方程转化为复频域中的代数方程，并且可以 得到控制系统在复数域的数学模型——传递函数。
二、Laplace变换的回顾
变
换
传递函数
估算 估算
S=jω 频率特性 计算
频率响应
2.1 线性系统的时域数学模型
➢ 目的：从时间域角度，建立系统输入量 （给定值）和系统输出量（被控变量）之 间的关系。
➢ 描述：微分方程描述。
一． 线性系统的微分方程描述（机理建模法）
1. SISO线性定常系统的输入输出关系微分方程描 述的标准形式
df dx
x0
x
1 d2 f 2! dx2
x2
x0
当Δx很小时，可得
df y f (x) f (x0 ) dx x0 x kx
上式是A点处的切线方程。
( y kx)
➢ 采用平衡点A处的切线方程代替非线性方程y=f(x),这 就是小偏差线性化的几何意义。
➢ 若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平 衡点展成Talor级数后的线性方程为
实例：直流伺服电动机的励磁回路、RC电路。
3. 纯微分环节
纯微分环节常简称为微分环节，其运动方程和传递 函数为
c(t) T dr(t) dt
G(s) Ts
特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入 信号的变化趋势。
实例：实际中没有纯粹的微分环节，它总是与其他 环节并存的。
实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传
➢ 传递函数的结构和各项系数（包括常数项） 完全取决于系统本身结构；
➢ 与输入信号的具体形式和大小无关； ➢ 只反映了输入和输出之间的因果关系； ➢ 不反映系统的任何内部信息。
➢ 控制系统的零初始条件有两层含义：
一是指输入量在 t 0 时才起作用；在t 0 时 输入量及其各阶导数均为0。
二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定 的工作状态，输出及其各阶导数均为零。
递函数如下
G(s) C(s) Ts R(s) Ts 1
4. 积分环节
积分环节的动态方程和传递函数分别为
c(t) K r(t)dt
G(s) K s
特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入
消失，输出具有记忆功能；具有明显的滞后作用；
可以改善稳态性能。
实例：电容充电、模拟计算机中的积分器等。
延迟环节与惯性环节的区别
➢惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由 于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输 出值。
➢延迟环节从输入开始之初，在0 ~τ时间内没有输 出，但 t =τ之后，输出完全等于输入。
➢超越函数的近似处理
e s
1 es
1
s
2
s
1
2
3s
3
1
.... 1s
2! 3!
Any Question
[b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s) 由传递函数的定义可得
G(s)
C(s) R(s)
b0 s m a0sn
b1sm1 a1sn1
bm1s bm M (s) an1s an N (s)
M(s)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分 母多项式。
五、传递函数的特点和有关概念
➢ 图形化表示：用比较直观的结构图（方块图）和信 号流图进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要 根据不同的情况对这些模型进行取舍。
4. 建立数学模型的两种基本方法
机理分析法 实验辨识法
➢ 由数学模型确定系统性能的主要途径
求解
观察
线性微分方程
时间响应
性能指标
傅
氏
拉氏变换
拉氏反变换
特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。
实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应 式变送器等。
2. 惯性环节 惯性环节又称非周期环节，该环节的运动方程和相 对应的传递函数分别为
T dc(t) c(t) Kr(t) dt
G(s) C(s) K R(s) Ts 1
式中为T 时间常数，K为比例系数。 特点：含一个独立的储能元件，对突变的输入，其 输出不能立即复现，输出无振荡。
如果系统满足如下零初始条件 c(0) c(0) c(0) c(n1) (0) 0;
r(0) r(0) r(0) r(m1) (0) 0
则根据拉氏变换的定义和性质，对微分方程进行拉 氏变换，并令 C(s) L[c(t)]、 R(s) L[r(t)] ，从而可得
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s)
5. 二阶振荡环节
振荡环节的运动方程和传递函数分别为
T
2
d 2c(t) dt 2
2
T
dc(t) dt
c(t)
r(t)
(0 1)
G(s)
C(s) R(s)
T
2s2
1
2
Ts
1
s2
n2 2ns
n2
(0 1)
式中ζ称为振荡环节的阻尼比，T为时间常数，ωn为系统的 自然振荡角频率（无阻尼自振角频率），并且有 T 1/。n 特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换， 其输出出现振荡。
六、 典型环节（基本环节、基本单元）的数 学模型
➢ 为什么要研究典型环节的数学模型？ 任何一个复杂系统都是由有限个典型环 节组合而成的。 从数学角度讲，一切有理分式传递函数 都是由这些基本单元组成的。
一般形式传递函数的典型化分解
比例环节 一阶微分环节 二阶微分环节 纯微分环节
b
c
K
(is 1)
(
2 l
s
2
2
l
l
s
1)
s
G(s)
i1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
e s
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
1. 比例环节/放大环节
比例环节又称放大环节，该环节的运动方程和相对 应的传递函数分别为
c(t) Kr(t)
式中K为增益。
G(s) C(s) K R(s)