比例谐振控制算法分析

设电网电压频率允许波动范围为±
= 1.6Hz , 即 ωC = 5Hz
4 准 PR 控制器的离散化
模拟控制器的离散化有两种方式， 冲响应不变法对其进行离散化 PR控制器的数字实现方法主要有两种， Gs = =
s-
分别为脉冲响应不变法与双线性变换法，
此处采用脉
分别是采用 Z 算符和采用 δ 算符对其进行离散化。
+
B
2 s+ ωc + ω 2 c- ω 0
,
其中 A = K R ωC
1-
ωC
2 ω2 c - ω0
; B = K RωC
1+
ωC
2 ω2 c-ω0
将上式通过脉冲响应不变法转成 AZ Gz = Z- e =
1- z - 1 e - ωc - ω c - ω 0 T A
- ω c2 ω2 c- ω 0 T 2 2
2 准 PR 控制器
如上所述，与 PI 控制器相比， PR控制器可以达到零稳态误差，提高有选择地抗电网电 PR控制器的实现存在两个主要问题： PR 控制器不易实现
压干扰的能力。但是在实际系统应用中，
由于模拟系统元器件参数精度和数字系统精度的限制，
PR 控制器在非基频处增益非常小，当电网频率产生偏移时，就无法有效抑制电网 产生的谐波。 因此，在 PR 的基础上，提出了一种易于实现的准 PR控制器，既可以保持 PR控制器的
jω
A.1 脉冲响应不变法
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器， 这种模仿可从不同角度出发。 的单位脉冲响应序列 即： h n = h a (nT) T 为采样周期。如以 Ha (s) 和 H(z) 分别表示 h a (t) 的拉氏变换及 h n 的 z 变换，即： 也就是使得数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性， 使数字滤波器
K R ?M 2 cos φ 2
? tsin( ωt) +
sin φ 2
? tcos( ωt) +
1 ω
sin ? ( ωt)
?
tcos φ+
sin φ ω
sin ωt + tsin φ ? cos( ωt)
由上式可知，当 φ = 0 时，输出信号为
K R ?M 2
?
t sin ωt
与输入信号相位相同，幅值呈时间线性上升。
然后再按照一定的转换关系将设计好的模拟滤波器的传输函数
H a s 转换成为数字滤波器
的系统函数 H(z) 。转换方法有两种：脉冲响应不变法和双线性映射法。 利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数 H a (s) 设计数字滤
波器传递函数 H(z) ，这是一个由 s 平面到 z 平面的映射变换， 这种映射变换应遵循两个基本 原则： 1. H(z) 的频响要能模仿 H a s 的频响， 即 S 平面的虚轴应能映射到 上 2. H a s 的因果稳定性映射到 z 平面的单位圆内 z < 1 H(z) 后保持不变，即 S 平面从左半平面 Re s < 0映射到 z 平面的单位圆 e
2K R ωc s s2 + 2 ωc s + ω0
2K R ωc s
2 - 2 ωc + 4ω2 c - 4 ω0 2 - 2 ωc 2 4ω2 c - 4 ω0 2
2
s-
=
2
2K R ωc s s+ ωc - ω c - ω 0
2 2 2 s+ ωc + ω c - ω 0
=
A
2 s+ ωc - ω 2 c - ω0
2
te j ωt - te 2j
- j ωt
j ωt
)
L te
j ωt
- L te -
1 s - jω 2
1 s + jω
2 2
4j ωs s - j ω 2 s + jω
再观察 tcos ωt 的拉普拉斯变换 L tcos ωt = L( = = = = 1 2 1 2 te
j ωt
+ te 2
j ωt
1-
; B = K R ωC
1+
ωC
2 ω2 c-ω0
C=
e
2 - ωc - ω 2 c - ω0 T
； D=
2 - ωc + ω 2 c - ω0 T
e
附录 A 数字滤波器设计
通常利用模拟滤波器的理论和设计方法来设计 据技术指标要求设计出一个相应的模拟低通滤波器， IIR 数字滤波器。 其设计的过程是： 先根 得到模拟低通滤波器的传递函数 Ha s ,
ω
s
后的表达式为：
ω s K Rs
Mcos φ ? s 2 + ω2 + Msin φ ? s 2 + ω2 ? =K R ? M ? cosφ ?
ωs s 2 + ω2
2 +
s2 + ω2 0
=K R ? Leabharlann ? cosφ ?2 +
ωs s 2 + ω2 2
+ sin φ ?
s2 s2 + ω2 2
z 变换，得： BZ
+
Z- e
2 2 - ωc + ω c - ω0 T
+
B 1- z - 1 e
2 - ω c + ω2 c-ω0 T
，
设 C= e
2 - ω c- ω 2 c - ω0 T
； D= e
2 - ω c + ω2 c- ω 0 T
，则：
Gz =
A 1- z - 1C
+
B 1- z - 1D
- j ωt
)
L te j ωt + L te 1 s - jω
2
+
1 s + jω
2 2
s2 - ω2 s - j ω 2 s + jω
2 s2 - ω
s2 + ω2
2
如下图所示， PR 控制器中的积分部分
KR s s 2 + ω2 0
，在谐振频率点达到无穷大的增益，在这个
频率点之外几乎没有衰减。因此，为了有选择地补偿谐波，它可以作为一个直角滤波器。
高增益，同时还可以有效减小电网频率偏移对逆变器输出电感电流的影响。 准 PR控制器传递函数为： G s = Kp +
2K R ωc s s +2 ωc s+ ω0
2 2
控制器波特图如下图所示，从图中所示，控制器在基波频率处的幅频特性为 A( ω0 ) = 60dB . 同时相角裕度为无穷大，因此基本可以实现零稳态误差，同时具有很好的稳 态裕度和暂态性能。
比例谐振控制算法分析
目 录
2 2 5 6 6 6 7 9 9 10 13 13 13 14 14
0 前言 ................................................................... 1 PR 控制器 .............................................................. 2 准 PR控制器 . ........................................................... 3 准 PR控制器的参数设置 . ................................................. 3.1 ωc = ?? , KR变化 .................................................. 3.2 ωc 变化 , KR = 1 .................................................. 4 准 PR控制器的离散化 . ................................................... 附录 A 数字滤波器设计 .................................................... A.1 脉冲响应不变法 . .................................................. A.2 双线性变换法 . ................................................... 附录 B 双线性变换法原理 B.1 连续时间系统 ................................................. ................................... . ................................... . ..................................... . ..................................... H(s) 的最基本环节
=
A+B - (AD - BC)z - 1 1 - C+D z - 1 +CD z - 2
设 Y=GX ，则转成差分函数后，该式可表达成： y n = C + D y n - 1 - CDy n - 2 + A + B x n ωC
2 ω2 c - ω0
AD - BC x(n - 1)
其中： A = K R ω C
d 、 q 轴分量之间 PR控制器，易于实现低
1 PR 控制器
PR 控制器，即比例谐振控制器，由比例环节和谐振环节组成，可对正弦量实现无静差 控制。理想 PR 控制器的传递函数如下式所示： G s = Kp +
KR s s 2 + ω2 0
式中 K p 为比例项系数， K R 为谐振项系数， ω0 为谐振频率。 PR控制器中的积分环节又称 广义积分器，可以对谐振频率的正弦量进行幅值积分。
当 φ = 90 时，输出信号为：
K R ?M 2
?
1 ω
sin ωt + t ? cos( ωt) cos( ωt) ，从整体看，该谐振器（或称之为广义积分器）是
当时间稍大时，该值贴近于 对误差信号的按时间递增。
观察 tsin ωt 的拉普拉斯变换： L tsin ωt = L( = = = = 1 2j 1 2j 1 2j 2 ωs s2 + ω2
B.2 积分的数值计算与离散一阶系统 B.3 连续时间一阶环节的离散实现 B.4 高阶连续时间系统的离散实现
0 前言
在整流器和双馈发电机的矢量控制系统中广泛地采用了坐标变换技术， 系下的电流电压等正弦量转化为同步旋转坐标系下的直流量， 型，实现有功功率和和无功功率的解耦，另一方面是因为 差控制。坐标变换简化了控制系统外环的设计， 设计困难。 PR控制器可以实现对交流输入的无静差控制。 中，可在两相静止坐标系下对电流进行调节。 将 PR控制器用于网侧变换器的控制系统 消除两相静 将三相静止坐标
这一方面是为了简化系统的模 PI 控制器无法对正弦量实现无静
却使电流分量互相耦合， 造成内环结构复杂，
可以简化控制过程中的坐标变换，
止坐标系下对电流进行调节。可以简化控制过程中的坐标变换，消除电流 的耦合关系，且可以忽略电网电压对系统的扰动作用。此外，应用 次谐波补偿，这些都有助于简化控制系统的结构。
K R 参数和控制器的峰值增益成正比。
3.2 ?? 变化 , ?? ?? ??=
由下图可知，参数 则有： G jω =
2K R ωc j ω - ω +2 ωc j ω+
2
1
ωc 不仅影响控制器的增益，同时还影响控制器截止频率的带宽。随 （基频增益为 K R 不变）。 将 s = j ω代入传递函数，
3 准 PR 控制器的参数设置
由此可见，除了比例系数外，准 PR控制器主要有 K R、 ωc 两个参数。为了分析每个参数
对控制器的影响，可先假设其余参数不变，然后观察这个参数变化时间对系统性能的影响。
变化 3.1 ?? , ?? ??= ?? ?? 控制器传递函数的波特图如下图所示，从图中可以看出， 值增益也增大，而控制器的带宽却没有变化。因此 KR 参数增大时，控制器的峰
KR 1+j ω - ω 0 /2 ωc ω
2 2
着ωc 的增加，控制器的增益和带宽都会增加
2 ω0
=
根据对带宽的定义，
ω2 - ω 2 0 2 ωc ω
G jω
= K R/
2 时，此时计算得到的两个频率之差即为带宽。令 ωc / π Hz。
ωC π
= 1, 经过计算得到准谐振控制器的带宽为： 0.8Hz, 则有
sin φ 2
?
s 2- ω2 s 2 + ω2
1 s2 + ω2
分别推导 tcos ωt 、 tsin ωt 的拉普拉斯变换为（推导见下一页） L(tcos ωt) =
s2 - ω 2 s 2 + ω2
：
t = 2 ， L tsin ω
2ωs s 2+ ω2 2
求上式的拉普拉斯反变换为： KR ? M ? 整理后得：
对于同频的输入信号
M sin( ωt + φ) ，该环节的时域响应分析如下：
输入信号的拉普拉斯变换为： L M sin ωt + φ 经过
K Rs 2 s + ω2 0
= L(M sin ωt cos φ+ Mcos ωt sin φ)= Mcos φ ? s 2 + ω2 + Msin φ ? s 2 + ω2