计算机控制系统的理论基础

L[df (t)] sF(s) dt
L[
d
2f dt
(t)
2
]
s2
F
(s)
3
计算机控制技术课件
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2.1.常用的拉氏变换法则
3)
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f (1)(0)
s
s
L[
f (t)dt2 ]
1 s2
F(s)
1 s2
f (1) (0) 1 s
f (2) (0)
第二章 计算机控制系统的理论基础
2.1连续线性系统的扼要回顾 2.1.1拉氏变换定义
F(s) L[ f (t)] f (t)estdt (s j)
0
f (t) L1[F (s)]
1
j
F (s)estds
2 j j
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1
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2.1.2几个常用函数的拉氏变换
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10
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例2-3
求
F(s)
s 1 s(s2 s 1)
解：对F(s) 分解得
F(s)
A0 s
A1s s2 s
A2 1
F(s) 有一个实极点和一对共轭复极点，分别求其待定系数：
A0
[s
s(
s
s 1 2 s
1)
]s
0
1
s 1 [ s(s2 s 1)
(s2
s
1)]s0.5
或 Ai [F (s)(s pi )]s pi
f
(t)
L1[F (s)]
n
L1[
i 1
s
Ai pi
n
]
i 1
Aie pit
7
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例2-1
求
F(s)
s2
s2 4s 3
的拉氏反变换。
解：将F(s)分解成部分分式，则
F(s)
s2
s
2 4s
3
A1 (s 1)
f
(t)
L1[F
(s)]
L1[
s2
s
2 4s
] 3
L1[
1 2
(s
1] 1)
L1[
1 2
(s
1
] 3)
1 et 1 e3t
8
22
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例2-2
求
s2 5s 5 F(s) s2 4s 3
的拉氏反变换。
解：因为F(s)的分母和分子阶数相同，对其进行分解得：
F (s) A1s A2 (s p1)(s p2 )
式中：A1、 A2为常数，p1、p2为一对共轭复极点， p1、p2可由下式求得
[F (s)(s p1)(s p2 )]s p1 ( A1s A )2 s p1
求出A1，A2后，对F(s)进行适当变形，再求原函数。
当A(s)=0含有一对共轭复极点时， F(s)的原函数中含有正弦或余弦 函数。
A2 (s 3)
∵
Ai
lim (s
wenku.baidu.coms pi
pi )F(s)
A1
lim ( s
s1
1)
(s
s2 1)(s
3)
1 2
A2
lim ( s
s3
3)
(s
s2 1)(s
3)
1 2
将A1、A2代入原式得：
F(s) s 2 1 1 1 1 s2 4s 3 2 (s 1) 2 (s 3)
其拉氏反变换为：
f (t)
脉冲函数
(t)
阶跃函数
1(t)
斜坡函数
t
加速度函数
1 t2 2!
指数函数
e at
正弦函数
sin(t)
余弦函数
cos(t)
2
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F(s)
1
1 s
1 s2 1 s3 1 sa s2 2
s
s2 2
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2.1.常用的拉氏变换法则
设： F(s)=L[f(t)]，F1(s)=L[f1(t)]，F2(s)=L[f2(t)] 1)
A(s)的三种情况：
1）A(s)=0均为单根 2）A(s)=0有共轭复根 3）A(s)=0有重根
6
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1）A(s)=0均为单根
F(s)
A1
A2
L
An
n
Ai
s p1 s p2
s pn i1 s pi
式中：Ai为常数，可由下式求得
Ai
lim (s
s pi
pi )F(s)
L[af1 t bf2(t)] aL[ f1(t)] bL[ f2(t)] aF1(s) bF2(s)
2)
L[df (t)] sF(s) f (0)
dt
L[
d
2f dt
(t
2
)
]
s2F (s) sf
(0)
f
'(0)
式中：f(0)是函数f(t)在t=0时的值，f’(0)是函数f(t)的微分在t=0时 的值。当f(0)=f’(0)=0时
j 0.866
[ A1s
A2 ]s0.5
j 0.866
代入极点并整理得
0.5 j0.866 0.5( A1 A2 ) j0.866( A1 A2 )
4
例
L[sin(t)eat
]
(a
s)2
2
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2.1.3常用的拉氏变换法则
6)
设，F(s) L[ f (t)] 则 f (t)
lim sF(s) 和 lim f (t) 各有极限存在，
s
t0
lim f (t) lim sF(s)
t0
s
7)
若原函数f(t)和函数sF(s)在t→∞和s→0
s2 5s 5 (s2 4s 3) (s 2)
(s 2)
F(s) s2 4s 3
s2 4s 3
1 s2 4s 3
所以原函数为：
f (t) (t) 1 et 1 e3t 22
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9
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2）A(s)=0有共轭复根 当A(s)=0含有一对共轭复根时， F(s)可展开为
F(s)的一般形式为：
F(s)
B(s) A(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
L L
bm1s bm an1s an
K (s z1)(s z2 )L (s zm ) (s p1)(s p2 )L (s pn )
式中：-z1,-z2,…,-zm为F(s)的零点；-p1,-p2,…,-pn为F(s)的极点；n≥m。
式中：f (1)(0)，f (2)(0) 分别为 f (t)的一、二次重积分在t=0时的值。当
f (1) (0) f (2) (0) 0
L[
f
(t)dt]
1 s
F(s)
L[
f
(t)dt2 ]
1 s2
F(s)
4) 时滞定理(实位移定理)
L[ f (t T )] esT F (s)
5)
L[ f (t)eat ] F (s a)
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例：
F(s)
s2
2
22
原函数为： sin(2t)
当t→∞时极限不存在，不能用终值定理。
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2.1.4拉氏反变换
用部分分式法求拉氏反变换 基本思想：即将F(s)分解成若干有理分式之和的形式，然后利用拉氏变
换对照表查出对应的原函数f(t)。