【考研题库】2020年四川大学量子力学考研复试核心题库[简答题+证明题+计算题]

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一、简答题

1．有人设计了如下实验，用以否定互补原理：板A可在同一平面内在垂直于Oz方向上移动(用以测定通过板上的小缝的光子的动量)。用一无限远光源垂直照射板A，当光子通过板到达屏上M 点，其动量的改变应等于板所吸收的动量。另一方面由于通过板后的动量的大小与光子的路径有关，与它是通过小缝或是通过有关。事实上由光子的能量动量关系易知

当我们让光子一个接一个地逐渐到达屏来形成干涉图像时，用测定板A获得的动量来判断光子到底通过的是哪个孔，这样就否定了互补原理(下图)。

图

这实验错在什么地方？用不确定原理定性说明互补原理的正确性。

【答案】实验思想的错误在于仅仅假设了光子的量子特性，而忽略了宏观物体(板)也要受量子力学的支配！这样，若我们要知道光子是通过哪个孔，那么板A的垂直动量的不准确度应远小于测量与之间的差值，即。由不确定关系知，对板的位置仅仅在范围内才知道。

若设双缝间的距离为a板与屏间距离为d，且设与很小(即)，则

故

所以，但正是屏上条纹的间距。这样双缝之间的距离的不准确度超过条纹的

间距，故干涉图像不可能观察到。

互补原理与不确定原理有密切联系，当用实验来测察(经典意义上的)粒子性时，由定义知，一个“粒子”在一个特定时刻是可以以无限的精确度定位的，故在这个实验中和为零。这样，由不确定关系知，它的能量和动量，从而表征其波动性的那些量：将是完全不确定的，即观察对象在表现其(经典意义上的)粒子性时，其波动性就必然会被抑制，反过来在表现出波动性时,其粒子性也会被抑制。经典意义上的波动性和粒子性不可能同时被观测到，只有在正确意义上才能理解统一的波粒二象性。

2．若在某一给定实验中,无法测定粒子的电荷的符号。那么此时能将正电子和电子视为全同粒子吗？是否在任何情形下都必须将两个电子视为全同粒子而应用对称化假设呢？

【答案】全同粒子是所有内禀性质(固有性质)都相同的粒子，是与实验条件无关的。故尽管在某个特定实验上无法测定电荷的符号，也不能将正电子和电子视为全同粒子。

尽管两个电子是全同粒子，但在一些特殊情形也可按非全同粒子处理而不必对它们应用对称化假设，如当两个电子具有不同的自旋方向且它们之间的相互作用又不会改变各自的自旋方向时；又如，对于始终位于空间不同区域且又无相互作用的两个电子也可以这样做，只要这两个电子的波函数不互相重叠。

3．坐标分量算符与动量分量算符的对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。

【答案】对易关系为，不确定关系为。

4．什么是量子化？如何实现量子化？

【答案】量子化有两个含义。

量子化的一个含义是，在经典力学中取连续值的力学量,到量子力学中变成取分立值的现象，其原因是在经典力学中的力学量，到量子力学中变成了厄米算符，并且其中坐标与动量满足对易关系

正是这样的对易关系使得一些由与组成的力学量算符(如一维谐振子能量算符，轨道角动量算符等)的本征值取分立值。上述对易关系叫做量子化条件,其中起关键作用的是不对易式

。

量子化的另一含义是指由经典力学过渡到量子力学的步驟，这个步骤是，首先将经典力学中的哈密顿正则运动方程

中的正则坐标与正则动量变成厄米算符与，

其中作为与的函数的哈密顿量，自然也就成为厄米算符，然后让与满足如下对易关系：

正是这种对易关系，使得这些算符在坐标表象中有如下性质：

根据对易关系(5)，方程(2)变为

这两个方程正是量子力学海森伯绘景中的运动方程，以上步骤完成了从经典力学到量子力学的过渡，对易关系(3)叫做正则量子化条件，其中起关键作用的是不对易式。

5．若物理量算符满足如下关系：，且的矩阵为20×20的对角矩阵，对角元为

各出现一次，各出现两次，各出现四次，0出现六次，问：

(1)对应什么物理量？

(2)能取什么值？这些值在表象中各自重复出现的次数是多少？如何理解这些重复出现的情况？

【答案】(1)满足角动量的一般定义，故它是角动量算符。

(2)由于在表象中，最大值为，故角量子数j可取3，又因对角元为±3h各出现一次，故j=3的子对角块矩阵是一个

又在j=3的子块中，必定出现一次，而题中告诉各出现两次，故一定有j=2的子块一个，又j=3和j=2的子块中都各出现一次，故可知j=1的子块应该是4-1-1=2个，同理可推知j=0的子块应是6-1-1-2=2个。

由于取值为，而相应简并度为(2j+1)g(j)，这里g(j)为有同一j的子块数，它也是和的一对本征值和的简并度，故知取值为

相应重复次数为7，5，6，2，重复次数之和刚好是20，重复的原因反映了不构成

C.S.C.O.，体系还存在别的自由度。

6．考虑在一给定势场中粒子的散射，如果总哈密顿算符具有旋转不变性：(1)试讨论散射振幅不依赖于。(2)说明为什么一般不能推广为也不依赖于.(3)当入射波能量趋于0时，

可否不依赖于。

【答案】(1)因入射波是角动量的第三分量的本征态,本征值m=0零。当总的哈密顿量旋转不变时，角动量守恒，所以出射波仍应为的本征值为m=0的本征态，即应有