四轴飞行器动力学分析_quadcopter

2.6
动力学方程
在惯性系（地面坐标系）中，飞行器的加速是由于推力、重力和线性摩擦产生的。
我们可以通过 R 矩阵将体坐标的推力转换到惯性系下。因此，直线运动可以写作： 0 mx ¨= 0 + RTB + FD −mg 其中 ⃗ x 是位矢，g 是重力加速度，FD 是的摩擦力，TB 是体坐标的推力矢量。在惯性系 下，线性方程是很方便的，但是在体坐标系的旋转运动方程对我们更有用（对于旋转， 我们跟多考虑是机身自身的旋转，而不是相对于惯性系的旋转） 。因此我们使用体坐标 系来表达旋转方程。根据刚体动力学的欧拉方程，我们可以得到旋转运动方程。 ，欧拉 方程以向量形式表示为： Iω ˙ + ω × (Iω ) = τ 其中 ω 是角速度向量，I 是惯性矩阵，和 τ 是一个外力矩向量。也可以改写为 ω ˙x −1 ω ˙ = ω ˙ y = I (τ − ω × (Iω )) ω ˙z 6
1.1
四轴飞行器、四旋翼直升机（quadcopter）
四轴飞行器是一种具有四个等间距的转子（螺的转子，旋转斜盘的机制就比较容易实现，并且为四轴 飞行器提供更多的自由度，也可以通过添加更多的两个转子变为六轴飞行器获得相同级 别的控制度。直到前几年，四轴飞行器发展一直停滞不前，因为在没有得到电子技术的 基础下，要控制四个独立转子以获得合适的状态是很困难的或者说是不可能的。得益于 这几年微电子技术的发展，廉价的单片机出现使得四轴飞行器得以实现，并大量出现 在商业，爱好者甚至军事使用上。四轴飞行器的控制是一个从根本上很难和有趣的问 1
2.1
运动学
在研究四轴飞行器的物理学之前, 我们先规范坐标系和地面坐标系的物理量标记。 ˙ = (x, 飞行器在地面系的位置和速度分别为 ⃗ x = (x, y, z )T 和 ⃗ x ˙ y, ˙ z ˙ )T 。同样地，我们定 义在体坐标下的滚转角、俯仰角、偏航角（一般称为欧拉角或姿态角）为 θ = (φ, θ, ψ )T ˙ = (φ, ˙ ψ ˙ )T 。但是，注意到角速度矢量 ω ̸= θ ˙，角速度是一个以 与相应的角速度等于 θ ˙ θ, 2
2.6 动力学方程
2 四轴飞行器动力学
我们可以根据力学知识推导滚转和俯仰扭矩。不失一般性地，我们任意选择 i = 1 和 i = 3 的电机，使其在滚转轴上，因此： τφ = 相应地，俯仰扭矩为 τθ = Lk (ω2 2 − ω4 2 ) 其中 L 是飞行器中心到螺旋桨的距离。联立我们有体坐标下的力矩 Lk (ω1 2 − ω3 2 ) 2 2 τB = ( Lk (ω2 − ω4 ) ) 2 2 2 2 b ω1 − ω2 + ω3 − ω4 我们推导的模型是被高度简化的。我们忽略了很多飞行器非线性力学的贡献，忽略转动 摩擦力（旋转速度是相对较低） 、螺旋桨的形状（由于高速和弹性材料导致的螺旋桨的 形变） 、周围流体速度 (风) 等。但是现在我们得出了写出飞行器动力学方程的所有的条 件。 ∑ r × T = L(kω1 2 − kω3 2 ) = Lk (ω1 2 − ω3 2 )
2.2
物理
为了建立系统动力学模型，我们需要知道飞行器的物理属性。我们先从飞行器的电
机（马达）开始，接着考虑电源和电机的推力。由于所有电机是一致的（假设） ，所以， 在不失一般性下我们考虑其中的一个。为了使电机产生的扭矩平衡，所有电机都是在同 速旋转，且相邻两个螺旋桨的转向是不一致的，即一个是顺时针则另一个为逆时针。
3
2.4 受力分析
2 四轴飞行器动力学
为了简化模型，我们忽略电机电阻 (实际上是可以的)。于是功率和角速度成正比： P ≃ (τ + Kt I0 )Kv ω Kt
我们进一步简化模型，假定 Kt I0 ≪ τ 。这不是完全不合理的，因为 I0 是无负载的电 流，是相当小的。在实践中，这种近似是不够好。因此，最后的简化方程： P ≃ Kv τω Kt
2.2 物理
2 四轴飞行器动力学
˙ 是只是欧拉角对时间的导数。为了将这些角速度转换成的角 旋转轴为方向的向量，而 θ 速度向量，我们可以使用下面的关系： 1 0 − sin θ ˙ ω= 0 cos φ cos θ sin φ θ 0 − sin φ cos θ cos φ 其中 ω 是体坐标的角速度向量。我们通过矩阵 R 将体坐标和地面坐标相互变换。 这个矩阵是有 ZY Z 型欧拉角的转换公式。 cos φ cos ψ − cos θ sin φ sin ψ − cos ψ sin φ − cos φ cos θ sin ψ sin θ sin ψ R= cos θ cos ψ sin φ + cos φ sin ψ cos φ cos θ cos ψ − sin ϕ sin ψ − cos ψ sin θ sin φ sin θ cos φ sin θ cos θ 对于一个给定的在体坐标的向量 ⃗ v ，对应的在地面坐标的向量则是 R⃗ v。
2.4
受力分析
电源是用于是飞行器保持高度（悬停） 。在一段给定的时间内，由能量守恒，我们知
道电机消耗的能量是等于螺旋桨对空气做的工（我们忽略了电机内阻）(P · dt = F · dx)。 换句话说，功率等于空气速度乘以推力 (P = F dx/dt)，记 T 为推力的范数（大小） ，vh 为空气速率： P = T · vh 假设飞行器速度较低，所以 vh 是悬停时空气流速。我们还假设，空气自由流动的速度， v∞ 是的 0，即飞行器周围环境中的空气是静止的。由动量守恒，我们有，悬停速度是 关于推力的函数 vh = √ T 2ρA
1
介绍
直升机是使用快速旋转的螺旋桨来向下推动空气，从而创造保持直升机高度推力。
常规直升机有两个转子，这两个转子共面且均提供下上推力，但是旋转方向相反（这是 为了平衡转子对机身产生的扭矩） 。两个转子，也可与一个主旋翼提供推力和侧向地面 向小侧转子安排和扭矩产生的主旋翼。然而，这些配置需要复杂的机械来控制运动的方 向；斜盘用来改变对主旋翼角度。在每个冲程和每个转子调节主旋翼角度的位置来产生 扭矩，这样飞机的一侧产生比其他面更多的推力。转子和斜盘复杂的机制的设计会产生 一系列的问题，增加了施工成本和设计复杂性。
2 四轴飞行器动力学
Figure 1: 左为体坐标系，右为地面坐标系（惯性系） 题。四轴飞行器具有六个自由度（三平移和三个旋转） ，但是只有四个独立输入（转子 转速） ，是严重欠驱动。为了实现六个自由度，旋转和平移运动的耦合，四个转子所产 生的力学非线性程度很高，尤其是考虑复杂的气动效应后。最后，与地面车辆不同，直 升机的摩擦很小，无法使他们完全停下来，因此，他们必须借助自己的转子停止移动， 而保持稳定。这些因素耦合在一起形成一个非常有趣的控制问题。我们将提出一个非常 简化的四轴飞行器动力学模型和动力学的设计控制器，使飞行器按照指定的轨迹飞行。 然后，我们将进行控制器与四轴飞行器的数值模拟仿真。
2
四轴飞行器动力学
在开始研究四轴飞行器（quadcopter）的动力学之前，我们引入两种坐标系。第一
为地面坐标系（实验室系） ，它是一个惯性系，如图【1】 ，其 z 轴与重力加速度相反。 另一个为体坐标系（质心系） ，是由飞行器的方向定义的。如图，其 z 轴与转子正方向 同向，x 和 y 轴分别是两个骨架的指向。
其中 ρ 是周围空气的密度，A 转子旋转的面积（即转子扫过的面积） 。联立简化的功率 方程，我们有 P = Kv Kτ T2 Kv τω = Tω = √ Kt Kt 2ρA
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⃗ ; 在我们的模型中，扭矩是与推力 T 成正比的，比 注意到，在一般情况下，τ = ⃗ r×F 例系数是某个常数记为 Kτ ，是由螺旋桨配置和其他参数确定。求解 T 有，推力和电机 的角速度的平方成正比： √ Kv Kτ 2ρA 2 ω ) = kω 2 T =( Kt
2.6 动力学方程
2 四轴飞行器动力学
我们认为飞行器是：由两根轻杆在原点交叉，并在末端拥有两个个质点（电机） 。基于 这个简化，惯性矩阵显然是一个对角阵 Ixx 0 0 I= 0 Iyy 0 0 0 Izz 因此，最终的相对于体坐标的旋转方程 Iyy −Izz τϕ Ixx −1 Ixx ωy ωz −1 − Izz −Ixx ω ˙ = ω ω τ I x z yy θ Iyy Ixx −Iyy τψ Izz −1 ω ω x y Izz
四轴飞行器 (Quadcopter) 动力学与仿真
Andrew Gibiansky、Neo(翻译) 2014 年 9 月 21 日
摘要 本文将讨论四轴飞行器的动力学原理以及仿真并提出一个 PID 控制方案。在运 动学方面，我们主要是从推力、摩擦力、扭矩三个方面讨论，其中做了大量的假设 来简化模型，例如流体力学的扰动并没有在本文提出。我们将四轴飞行器的高非线 性度模型简化为线性模型，尽管如此，在实际的使用过程中，我们依然能拥有良好 的结果。仿真部分和 PID 部分还未翻译。
2.3
电机
几乎所有四轴飞行器都是使用无刷电机的。对于我们使用的电机，其产生的扭矩为 τ = Kt (I −I0 )
其中 τ 是电机的转矩，I 是的输入的电流，I0 是没有负载时的电流，Kt 是扭矩比例常 数。电机的电压是反电动势和一些电阻损失的总和： V = IRm + Kv ω 其中 V 电机的压降， Rm 是电机的电阻， ω 是电机的角速度， Kv 是比例常数（指每 RPM 产生的反电动势） 。电机消耗的功率可以写成： P = IV = (τ + Kt I0 )(Kt I0 Rm + τ Rm + Kt Kv ω ) 2 Kt
其中 k 是常数。考虑四个电极，我们有飞行器总推力为： 0 4 ∑ . TB = Ti = k 0 ∑ i=1 ωi 2
4
2.5 扭矩
2 四轴飞行器动力学