解析几何精编讲义2018年北京

一、直线与方程基础：

1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈

2

、直线的斜率k ：

21

21

tan y y k x x α-==

-；

注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y

a b

+=； ⑤两点式：

121

121

y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件：

1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，

1l ∥2l 1221

1221

A B A B C B C B =⎧⇔⎨≠⎩；

1212120l l A A B B ⊥⇔+= .

5、相关公式：

①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，

MN =

②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1212

(

,)22

x x y y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l

的距离d =

④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l

之间的距离d =

；

⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为

θ，(0,)(,)22

ππ

θπ∈，则2112tan 1k k k k θ-=+⋅ .（两倾斜角差的正切）

二、直线与圆，圆与圆基础：

1、圆的标准方程：222

()()x a y b r -+-=；

确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ；

2、圆的一般方程：22

0x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222

:()()C x a y b r -+-=的位置关系：

点00(,)P x y 在圆内⇔ 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上⇔ 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外⇔ 22200()()x a y b r -+->；

4、直线:0l Ax By C ++=与圆222

:()()C x a y b r -+-=的位置关系：

从几何角度看：

令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离⇔d r >；

相切⇔=d r ； 相交⇔0d r ≤<；

若直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=相交于两点M ，N ，

则弦长MN = 从代数角度看：

联立:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=， 消去y （或x ）得一元二次方程，24b ac ∆=-， 相离⇔0∆<； 相切⇔0∆=； 相交⇔0∆>；

相交时的弦长1212MN x x y y =

-=- . 5、圆与圆的位置关系： 相离，外切，相交，内切，内含 .

圆2221111:()()O x x y y r -+-=；圆2222222:()()O x x y y r -+-=，

根据这三个量之间的大小关系来确定：12r r -，12O O ，1

2r r +； 相离⇔1212O O r r >+； 外切⇔1212O O r r =+； 相交⇔121212r r O O r r -<<+； 内切⇔1212O O r r =-； 内含⇔12120O O r r ≤<-；

6、两圆2221111:()()O x x y y r -+-=①；圆2222222:()()O x x y y r -+-=②若相交，则相交弦所在的直线方程的求法：

交轨法： ①式-②式，整理化简即可得到相交弦所在直线方程 .

三、椭圆：

1、（第一）定义：12122PF PF a F F +=>；

2、椭圆标准方程及离心率：

焦点在x 轴上的椭圆标准方程为：22

221(0)x y a b a b

+=>>；

:a 长半轴；b ：短半轴；:c 半焦距 .

椭圆中a ，b ，c 的关系：222

a b c =+；

椭圆的离心率(0,1)c

e a

=∈ . 3、弦长公式：

直线:l y kx b =+与椭圆22

22:1()x y C m n m n

+=≠交于两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，

则相交时的弦长1212MN x x y y =

-=- ==弦长公式是由两点距离公式与两点斜率公式推导出来，故适用性比较广。 4、中点弦结论（点差法）：

椭圆22

22:1()x y C m n m n

+=≠上的两点11(,)M x y ，22(,)N x y ，

弦MN 的中点1212

(

,)22

x x y y P ++， 则2

2MN OP n k k m

⋅=- .