2011年北京市高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合2

{|1}P x x =≤，{}M a =.若P M P =U ,则a 的取值范围是

（A ）(,1]-∞- （B ）[1,)+∞ （C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞U （2）复数

2

12i i

-=+ （A ）i （B ）i - （C ）4355i -

- （D ）4355

i -+ （3）在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是

（A ）(1,)2π （B ）(1,)2

π

- （C ）(1,0) （D ）(1,)π

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为

（A ）3-

（B ）1

2

- （C ）

13

（D ）2

（5）如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F ，延长AF 与圆O 交于另一点G 。

给出下列三个结论：

① AD AE AB BC CA +=++；

② AF AG AD AE ?=?；

③ AFB ADG ??:

其中，正确结论的序号是

（A ）① ② （B ）② ③

（C ）① ③ （D ）① ② ③

（6）根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）

为()x A f x x A <=≥

（,A c 为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟， 那么c 和A 的值分别是

（A ）75,25 （B ）75,16 （C ）60,25 （D ）60,16 （7

最大的是 （A ） 8

（B ）

（C ） 10

（D ）

（8）设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,4)C t +，(,4)D t （t R ∈），记()N t 为平行四边形内

部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的 值域为

（A ）{9,10,11} （B ）{9,10,12} （C ）{9,11,12} （D ）{10,11,12}

A G

俯视图

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在ABC ?中，若5,4

b B π

=∠=

，tan 2A =，则sin A = ；a = 。

（10

）已知向量a =，(0,1)b =-

，(c k =，若2a b -与c 共线，则k = 。 （11）在等比数列{}n a 中，若11

2

a =

，44a =-，则公比q = ； 12||||||n a a a +++=L 。

（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。 （用数字作答）

（13）已知函数32

,

2()(1),2

x f x x x x ?≥?=??-

数k 的取值范围是 。

（14）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2

(1)a a >的点

的轨迹，给出下列三个结论：

① 曲线C 过坐标原点；

② 曲线C 关于坐标原点对称；

③ 若点P 在曲线C 上，则12F PF ?的面积不大于2

12

a ； 其中，所有正确结论的序号是 。

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数()4cos sin()16

f x x x π

=+-，

（I ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]64

ππ

-上的最大值和最小值；

如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=?。 （I ）求证：BD ⊥平面PAC

（Ⅱ）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长；

（17）（本小题共13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以X 表示。

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

（I ）如果8X =，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数Y 的分布列和数学期望；

注：方差2222121

[()()()]n s x x x x x x n

=-+-++-K ，其中x 为12,,,n x x x L 的平均数

A B C

D

P

甲 组 乙 组

已知函数2

()()x

k

f x x k e =-。 （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1

()f x e

≤，求k 的取值范围；

（19）（本小题共14分）

已知椭圆2

2:14

x G y +=，过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点， （Ⅰ）求椭圆G 的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）将||AB 表示为m 的函数，并求||AB 的最大值；

（20）（本小题共13分）

若数列12:,,,n n A a a a L （2n ≥）满足11(1,2,,1)k k a a k n +-==-L ，则称n A 为E 数列，记12()n n S A a a a =+++L 。

（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()0S A >的E 数列5A ；

（Ⅱ）若112,2000a n ==，证明E 数列n A 是递增数列的充要条件是2011n a =； （Ⅲ）对任意给定的整数(2)n n ≥，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()0n S A =，如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

2011年北京市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．C 2．A 3．B 4．D 5．A 6．D 7．C 8．C

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．；2．10．1 11．﹣2，

12．1413．（0，1）14．②③

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．解：（Ⅰ）∵

=4cosx（）﹣1

=sin2x+2cos2x﹣1

=sin2x+cos2x

=2sin（2x+）

所以函数的最小正周期为π

（Ⅱ）∵﹣≤x≤，

∴﹣≤2x+≤

∴当2x+=，即x=时，f（x）取最大值2

当2x+=﹣时，即x=﹣时，f（x）取得最小值﹣1

16．解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A

所以BD⊥平面PAC

（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，

所以BO=1，AO=OC=，

以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则

P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）

所以，

设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|

（III）由（II）知，设，

则

设平面PBC的法向量=（x，y，z）

则=0，

所以令，

平面PBC的法向量所以，

同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，

所以=0，即﹣6+=0，解得t=，

所以PA=．

17．解：（I）当X=8，乙组同学植树棵树是8，8，9，10

平均数是=

方差为+=

（II）当X=9时，甲同学的指数棵树是9，9，11，11；

乙组同学的植树棵树是9，8，9，10，

分别从甲和乙两组中随机取一名同学，共有4×4=16种结果，

这两名同学植树的总棵树Y可能是17，18，19，20，21，

事件Y=17，表示甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵，

∴P（Y=17）=P（Y=18）=P（Y=19）=P（Y=20）=，P（Y=21）=

∴随机变量的期望是EY==19

18．解：（Ⅰ）=，

令f′（x）=0，得x=±k

当k＞0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

所以，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣k），和（k，+∞），单调递减区间是（﹣k，k）；当k＜0时，f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

所以，f（x）的单调递减区间是（﹣∞，k），和（﹣k，+∞），单调递增区间是（k，﹣k）；

（Ⅱ）当k＞0时，，∵f（k+1）=，

∴不会有任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，

当k＜0时，由（I）知f（x）在（0，+∞）上的最大值是f（﹣k）=，

∴任意的x∈（0，+∞），f（x）≤，?f（﹣k）=≤，

解得﹣，

故对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，k的取值范围是﹣．

19．解：（I）由题意得a=2，b=1，所以c=∴椭圆G的焦点坐标

离心率e=．

（II）由题意知：|m|≥1，

当m=1时，切线l的方程为x=1，点A（1，）点B（1，﹣）此时|AB|=；

当m=﹣1时，同理可得|AB|=；

当m≠±1时，设切线l的方程为：y=k（x﹣m），由?（1+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣4=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=

又由l与圆圆x2+y2=1相切∴圆心到直线l的距离等于圆的半径即=1?m=，

所以

|AB|=

==，由于当m=±1时，|AB|=，当m≠±1时，|AB|=，此时m∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）

又|AB|=≤2（当且仅当m=±时，|AB|=2），

所以，|AB|的最大值为2．

故|AB|的最大值为2．

20．解：（Ⅰ）0，1，0，1，0是一个满足条件的E数列A5

（Ⅱ）必要性：因为E数列A n是递增数列

所以a k+1﹣a k=1（k=1，2， (1999)

所以A n是首项为12，公差为1的等差数列．

所以a2000=12+（2000﹣1）×1=2011

充分性：由于a2000﹣a1999≤1

a1999﹣a1998≤1

…

a2﹣a1≤1，

所以a2000﹣a1≤1999，即a2000≤a1+1999

又因为a1=12，a2000=2011

所以a2000=a1+1999

故a k+1﹣a k=1＞0（k=1，2，…，1999），即A n是递增数列．

综上所述，结论成立．

（Ⅲ）设c k=a k+1﹣a k（k=1，2，…，n﹣1），则c k=±1

因为a2=a1+c1

a3=a1+c1+c2

…

a n=a1+c1+c2+…+c n﹣1

所以S（A n）=na1+（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+（n﹣3）c3+…+c n﹣1

=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1﹣[（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣c n﹣1）]

=

因为c k=±1，所以1﹣c k为偶数（k=1，2，…，n﹣1））

所以（1﹣c1）（n﹣1）+（1﹣c2）（n﹣2）+…+（1﹣c n﹣1）为偶数

所以要使S（A n）=0，必须=使为偶数

即4整除n（n﹣1），亦即n=4m或n=4m+1（m∈N*）

当n=4m（m∈N*）时，E数列A n的项满足a4k+1=a4k﹣1=0，a4k﹣2=﹣1，a4k=1（k=1，2，…，n ﹣1））

此时，有a1=0且S（A n）=0成立

当n=4m+1（m∈N*）时，E数列A n的项满足a4k+1=a4k﹣1=0a4k﹣2=﹣1a4k=1（k=1，2，…，n ﹣1））

a4k+1=0时，亦有a1=0且S（A n）=0成立

当n=4m+2或n=4m+3（m∈N*）（m∈N*）时，n（n﹣1）不能被4整除，此时不存在数列数列A n，使得a1=0且S（A n）=0成立