2019年北京市高考数学试卷

2019年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则(z z =g )A ．3B ．5C ．3D ．52．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t=+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( ) A ．15 B ．25 C ．45 D ．654．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则( ) A ．222a b = B ．2234a b = C ．2a b = D ．34a b =5．若x ，y 满足||1x y -„，且1y -…，则3x y +的最大值为( )A ．7-B ．1C ．5D ．76．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252E m m lg E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．10.110B ．10.1C ．10.1lgD ．10.110- 7．设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 2③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③二、填空题 共6小题，每小题5分，共30分。

9．函数2()sin 2f x x =的最小正周期是 ．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ．11．某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l ，那么该几何体的体积为 ．12．已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l m ⊥；②//m α；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．13．设函数()(x x f x e ae a -=+为常数）．若()f x 为奇函数，则a = ；若()f x 是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ．14．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．三、解答题 共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15．（13分）在ABC ∆中，3a =，2b c -=，1cos 2B =-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin()B C -的值．16．（14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，//AD BC ，2PA AD CD ===，3BC =．E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）求二面角F AE P --的余弦值；（Ⅲ）设点G 在PB 上，且23PG PB =．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由． 17．（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元) 支付方式(0，1000] (1000，2000]大于2000 仅使用A 18人 9人 3人仅使用B 10人 14人 1人 （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化说明理由．18．（14分）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．19．（13分）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为l 的切线方程；（Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．20．（13分）已知数列{}n a ，从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<，若12m i i i a a a <<⋯<，则称新数列1i a ，2i a ，⋯，m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列．规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列．（Ⅰ）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p q <，求证：00m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -，且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =，2，)⋯，求数列{}n a 的通项公式．2019年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题 共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知复数2z i =+，则(z z =g )A ．3B ．5C ．3D ．5【思路分析】直接由2||z z z =g 求解． 【解析】：2z i =+Q ，2222||(21)5z z z ∴==+=g ．故选：D ．【归纳与总结】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题．2．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解析】：模拟程序的运行，可得1k =，1s =2s =不满足条件3k …，执行循环体，2k =，2s =不满足条件3k …，执行循环体，3k =，2s =此时，满足条件3k …，退出循环，输出s 的值为2．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3．已知直线l 的参数方程为13,(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），则点(1,0)到直线l 的距离是( ) A ．15 B ．25 C ．45 D ．65【思路分析】消参数t 化参数方程为普通方程，再由点到直线的距离公式求解．【解析】：由13(24x t t y t =+⎧⎨=+⎩为参数），消去t ，可得4320x y -+=． 则点(1,0)到直线l 的距离是22654(3)d ==+-． 故选：D ．【归纳与总结】本题考查参数方程化普通方程，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．4．已知椭圆22221(0) x ya ba b+=>>的离心率为12，则()A．222a b=B．2234a b=C．2a b=D．34a b=【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件222a b c=+得答案．【解析】：由题意，12ca=，得2214ca=，则22214a ba-=，22244a b a∴-=，即2234a b=．故选：B．【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质，熟记隐含条件是关键，是基础题．5．若x，y满足||1x y-„，且1y-…，则3x y+的最大值为()A．7-B．1 C．5 D．7【思路分析】由约束条件作出可行域，令3z x y=+，化为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：由||11x yy-⎧⎨-⎩„…作出可行域如图，联立110yx y=-⎧⎨+-=⎩，解得(2,1)A-，令3z x y=+，化为3y x z=-+，由图可知，当直线3y x z=-+过点A时，z有最大值为3215⨯-=．故选：C．【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足121252Em m lgE-=，其中星等为km的星的亮度为(1,2)kE k=．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A．10.110B．10.1 C．10.1lg D．10.110-【思路分析】把已知熟记代入121252Em m lgE-=，化简后利用对数的运算性质求解．【解析】：设太阳的星等是126.7m=-，天狼星的星等是21.45m=-，由题意可得：1251.45(26.7)2ElgE---=，∴1250.510.15ElgE==，则10.11210EE=．故选：A．【归纳与总结】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．7．设点A，B，C不共线，则“ABu u u r与ACu u u r的夹角为锐角”是“||||AB AC BC+>u u u r u u u r u u u r”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【思路分析】“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”，“ ||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ” ⇒ “AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解析】：点A ，B ，C 不共线， “AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角” ⇒ “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”， “||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ” ⇒ “AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”， ∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的充分必要条件．故选：C ．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．8．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是( )A ．①B ．②C ．①②D ．①②③【思路分析】将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，根据对称性讨论y 轴右边的图形可得．【解析】：将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，当0x =时，代入得21y =，1y ∴=±，即曲线经过(0,1)，(0,1)-；当0x >时，方程变为2210y xy x -+-=，所以△224(1)0x x =--…，解得(0x ∈23， 所以x 只能取整数1，当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0)，(1,1)， 根据对称性可得曲线还经过(1,0)-，(1,1)-，故曲线一共经过6个整点，故①正确．当0x >时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=„，（当x y =时取等）， 222x y ∴+„，∴222x y +„C 上y 2，根据对称性可得：曲线C 2在x 轴上图形面积大于矩形面积122=⨯=，x 轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积12112=⨯⨯=，因此曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故③错误． 故选：C ．【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。