2022年北京市高考数学试题(含答案解析)

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2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅰ卷) 数学真题第22题题目及答案

设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，而，，有来自个不同的零点即的解的个数为2.
因此若存在直线与曲线、有三个不同交点，
故，
此时有两个不同的零点，
此时有两个不同的零点，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即 .
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学真题
第22题题目及答案
22．（12分）
已知函数和有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
22.（1）
（2）由（1）可得和的最小值为 .
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
当，由（1）讨论可得、仅有一个零点，
当时，由（1）讨论可得、均无零点，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则 .
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故在上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，

2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答

2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ；（2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值．（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =．（1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ．（1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间；（3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误；对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误；对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时,63k a -≤-成立则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立；设当n k =时,67k a <≤成立则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立；设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析（2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析（3）3个【小问1详解】因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点；当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点；当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =；当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =；当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =；综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；（①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。

2022年新高考全国Ⅰ卷数学高考真题试卷(含答案)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）数学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若集合{4},{31}M x x N x x =<=≥∣∣，则M N =（） A. {}02x x ≤< B. 123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ C. {}316x x ≤< D. 1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2．若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA CD ==，m n ，则CB =（） A ．32-m n B ．23-+m n C ．32+m n D ．23+m n4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为7 2.65≈）（）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A ．16B ．13C ．12 D ．23 6．记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若2ππ3T <<，且()y f x =的图像关于点3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．1 B ．32 C ．52D ．3 7．设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<8．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且333l ≤≤锥体积的取值范围是（）A ．8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[18,27] 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年北京市高考数学试卷

2024年北京市高考数学试卷A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+iA．B．2C．3D．3（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（）z i答案：C解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．z i（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（）→→→→→→→→→→答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（）π2A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）S -1lnNN 22N 13N 23N 12答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（）√2A．1B．2C．D．A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ===．故选：D．√31212PE •PF EF 2×2√34√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：BA．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x 12x 2√2+x 1x 2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S △ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为（4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，]，，-]，故当α=，β=2kπ+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π6π312√32212π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x24y2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k2）x2+24k2x-36k2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k2=0，或Δ=（24k2）2+4（1-4k2）（36k2+4）=0，解得k=±或k无解，{-=1y=k（x-3）x24y2x24y212当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（）32522110（）32522110（）32522（）6522（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n （2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，714a sinAb sinB22π32π31314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√3即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．2π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，1212则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足，解得k＞或k＜-，综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜kx 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t +=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 2√22√2222（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x S △ACO 1211+tt t +1A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．t t +1t 1+t15t 1+t 131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（）z i答案：CA．B．2C．3D．3A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i ，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．zi（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（）→→→→→→→→→→C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（）π2答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）S -1lnNN 22N 13N 23N 12A．1B．2C．D．答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（）√2√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，√3A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+A．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ==．故选：D．1212PE •PF EF 4√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：B解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x12x2√2+x 1x2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S△ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为（4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y 2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，，-]，π6π3122212故当α=，β=2k π+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x 24y 2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k 2）x 2+24k 2x-36k 2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k 2=0，或Δ=（24k 2）2+4（1-4k 2）（36k 2+4）=0，解得k=±或k无解，当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．{-=1y =k （x -3）x 24y 2x 24y 212121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,（）32522110（）32522110（）32522（）6522解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B =bcosB ．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．√37131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，714a sinAb sinB22π32π3此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．1314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√32π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，1212所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜-或k ＞}．x 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t+=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 222√22√22（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．S △ACO 1211+tt t +1t t +1t 1+t15t 1+t131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={（i,j,k,w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a 1，a 2，…，a 8和序列Ω：T 1，T 2，…，T s ，其中T t =（i t ，j t ，k t ，w t ）∈M（t=1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i 1，j 1，k 1，w 1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1（A）；将T 1（A）的第i 2，j 2，k 2，w 2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 2T 1（A）；……；以此类推，得到数列T s ⋯T 2T 1（A），简记为Ω（A）．（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a 1+2，a 2+6，a 3+4，a 4+2，a 5+8，a 6+2，a 7+4，a 8+4？若存在，写出一个Ω，若不存在，请说明理由；。

2024年北京市高考数学真题试卷及解析

2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{|41}M x x =-<≤,{|13}N x x =-<<,则M N = ()A.{|43}x x -<<B.{|11}x x -<≤ C.{0,1,2}D.{|14}x x -<<2.已知1,izi =-则z =().A.1i- B.i- C.1i-- D.l3.求圆22260x y x y +-+=的圆心到20x y -+=的距离()A.B.24.(4x -的二项展开式中3x 的系数为()A.15B.6C.-4D.-135.已知向量,a b ,则“()()0a b a b +-= ”是“a b = 或a b =- ”的()条件.A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知()()()()1212rin sin 0,1,1,,2f x x f x f x x x πωω=>=-=-=∣∣则ω=()A.1B.2C.3D.47.记水的质量为1ln S d n-=,并且d 越大,水质量越好.若S 不变,且122.1, 2.2,d d ==,则1n与2n 的关系为()A.12n n <B.12n n >C.若1S <,则12;n n <若1S >,则12;n n >D 若1S <,则12n n >;若1S >,则12n n <;8.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,则该四棱锥的高为()A.2B.2C.9.已知()()1122,,,x y x y 是函数2x y =图象上不同的两点,则下列正确的是()A.12122log 22y y x x ++> B.12122log 22y y x x ++<C.12212log 2y y x x +>+ D.12212log 2y y x x +<+10.若集合(){}2,(),01,12x y y x t x x t x =+-≤≤≤≤∣表示的图形中,两点间最大距离为d ,面积为S ,则()A.3d =,1S < B.3d =,1S > C.d =1S < D.d =1S >第二部分(非选择题共110分)二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知抛物线216y x =,则焦点坐标为_______.12.已知,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且α与β的终边关于原点对称,则cos β的最大值为_______.13.已知双曲线2214x y -=,则过()3,0且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为_______.14.已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为_______.15.已知{}k k M ka b ==∣,n a ,n b 不为常数列且各项均不相同,下列正确的是___________.①,n n a b 均为等差数列,则M 中最多一个元素；②,n n a b 均为等比数列,则M 中最多三个元素；③n a 为等差数列,n b 为等比数列,则M 中最多三个元素.④n a 单调递增,n b 单调递减,则M 中最多一个元素三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.在ABC ∆中,7,a A =为钝角,sin 2cos 7B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①,条件②和条件③中选择一个作为已知,求ABC ∆的面积.①7b =,②13cos 14B =;③sin c A =注：如果选择条件①,条件②和条件③分别解答,按第一个解答计分.17.已知四棱锥,//P ABCD AD BC -,1AB BC ==,3AD =,2DE PE ==,E $是AD 上一点PE AD⊥.BF平面PCD.(1)若F是PE中点,证明：//(2)若AB⊥平面PED,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.18.已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元赔偿次数01234单数800100603010在总体中抽样100单,以频率估计概率：(1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率.(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望.(ü)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望.19.已知椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>,焦点和短轴端点构成边长为2的正方形,过((0,)t t >的直线l 与椭圆交于,,(0,1)A B C ,连接AC 交椭圆于D .(1)求椭圆的离心率和方程.(2)若直线BD 的斜率为0,求t .20.已知()()ln 1f x x k x =++在(,())(0)t f t t >处切线为l .(1)若l 的斜率1k =-,求()f x 单调区间.(2)证明：切线l 不经过()0,0O .(3)已知()1,,()k A t f t =,()0,()C f t ,()0,0O ,其中0t >,切线l 与y 轴交于点B 时.当215ACO ABO S S ∆= ,符合条件的A 的个数为？(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)21.设集合{}(,,,)|{1,2},{3,4},{5,6},{7,8},2|().M i j s t i j s t i j s t =∈∈∈∈+++对于给定有穷数列:{}(18)n A a n ≤≤,及序列12:,,....,x ωωωΩ,(),,,k k k k k i j s t M ω=∈,定义变换:T 将数列A 的第1111,,,i j s t 项加1,得到数列1()T A ;将数列1()T A 的第2222,,,i j s t 列加1,得到数列21()T T A ⋯;重复上述操作,得到数列21..()s T T T A ,记为()A Ω,若1357a a a a +++为偶数,证明：“存在序列Ω,使得()A Ω为常数列”的充要条件为“12345673a a a a a a a a +=+=+=+”.2024年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学答案解析第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.【答案】A【解析】由题意得()4,3M N =- 故选：A.2.【答案】C【解析】由题意得()11, z i i i =-=--故选：C.3.【答案】C【解析】由题意得22260x y x y +-+=,即()()221310x y -++=则其圆心坐标为(1,3)-,则圆心到直线20x y -+==故选：C.4.【答案】B【解析】(4x的二项展开式为(()()442144C C 1,0,1,2,3,4r rrr rr r Txxr --+==-=令432r -=,解得2r =,故所求即为()2241 6.-= 故选：B.5.【答案】A【解析】因为()()220a b a b a b +⋅-=-= ,可得22a b = ,即a b= 可知()()0a b a b +⋅-= 等价于a b=若a b = 或a b =- ,可得a b = ,即()()0a b a b +⋅-=,可知必要性成立.若()()0a b a b +⋅-= ,即a b = ,无法得出a b = 或$a b=- 综上所述,“()()0a b a b +⋅-= ”是“a b ≠ 且a b ≠-”的必要不充分条件故选：A.6.【答案】B【解析】由题意可知：1x 为()f x 的最小值点,2x 为()f x 的最大值点则12min22T x x π-==,即T π=且0ω>,所以$22Tπω==.故选：B.7.【答案】C【解析】由题意可得11221 2.1ln 1 2.2ln S d n S d n -⎧==⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩解得12111222e eS S n n -⋅-⋅⎧=⎪⎪⎨⎪⎪=⎩若1S >,则112.1 2.2S S -->,可得112.1 2.2e e S S -->,即12n n >;若1S =,则1102.1 2.2S S --==,可得121;n n ==若1S <,则112.1 2.2S S --<,可得112.1 2.2e e S S --<,即12;n n <故选：C.8.【答案】D【解析】如图,底面PEF 为正方形当相邻的棱长相等时,不妨设4,PA PB AB PC PD =====分别取,AB CD 的中点,E F ,连接,,PE PF EF则,PE AB EF AB ⊥⊥,且PE EF E = ,,PE EF ⊂平面PEF 可知AB ⊥平面PEF ,且AB ⊂平面ABCD 所以平面PEF ⊥平面ABCD过P 作EF 的垂线,垂足为O ,即PO EF ⊥由平面PEF 平面,ABCD EF PO =⊂平面PEF 所以PO ⊥平面PEF由题意可得：2222,4,PE PF EF PE PF EF ===+=∴,即PE PF⊥则1122PE PF PO EF ⋅=⋅,可得PO =当相对的棱长相等时,不妨设4,PA PC PB PD ====因为BD PB PD ==+,此时不能形成三角形PBD ,与题意不符,这样情况不存在故选：D.9.【答案】A【解析】对于选项AB:可得121222222x x x x ++>=,即1212222x x y y++>>根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y yx x +++>=,故A 正确,B 错误.对于选项C:例如120,1x x ==,则121,2y y ==可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故C 错误对于选项D:例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故D 错误故选：A.10.【答案】C【解析】对任意给定] [1,2x ∈则2(1)0x x x x -=-≥,且][0,1t ∈可知222()x x t x x x x x x ≤+-≤+-=,即2x y x ≤≤再结合x 的任意性,所以所求集合表示的图形即为平面区域212y x y xx ⎧≤⎪≥⎨⎪≤≤⎩如图阴影部分所示,其中()1,1A ,()2,2B ,)(2,4C 可知任意两点间距离最大值10d AC ==阴影部分面积11212ABC S S <=⨯⨯= .故选:C二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.11.【答案】 (4,0)【解析】由题意抛物线的标准方程为216y x =,所以其焦点坐标为()4,0.12.【答案】12-【解析】由题意2,k k βαππ=++∈ ,从而()cos cos 2cos k βαππα=++=-因为,63ππα⎡⎤∈⎢⎣⎦,所以cos α的取值范围是13,,cos 22β⎡⎢⎣⎦的取值范围是31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当且仅当3πα=,即423k πβπ=+,k Z ∈时,cos β取得最大值,且最大值为12-故答案为：1.2-13.【答案】12±【解析】联立3x =与2214x y -=,解得52y =±,这表明满足题意的直线斜率一定存在设所求直线斜率为k ,则过点(3,0)且斜率为k 的直线方程为()3y k x =-,联立()22143x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,化简并整理得：()222214243640k x k x k -+--=,由题意得2140k -=或()()()2222244364140k k k ∆=++-=解得12k =±或无解,即12k =±,经检验,符合题意.故答案为：1.2±14.【答案】1152mm,23mm 【解析】设第一个圆柱的高为1h ,第二个圆柱的高为2h ,则222221232532523022106532522h h h ππππ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故223h =mm 1115,2h =mm,故答案为：1152mm,23mm.15.【答案】①③④【解析】对于①{},{}n n a b 均为等差数列,故它们的散点图分布在直线上而两条直线至多有一个公共点,故M 中至多一个元素,故①正确对于②,取()112,2n n n n a b --==--,则{}{},n n a b 均为等比数列,但当n 为偶数时,有()1122n n n n b α--===--,此时M 中有无穷多个元素,故②错误.对于③设()0,1nn b Aq Aq q =≠≠±,()0n a kn b k =+≠若M 中至少四个元素,则关于n 的方程n Aq kn b =+至少有4个不同的正数解若0,1q q >≠,则由n y Aq =和y kn b =+的散点图可得关于n 的方程n Aq kn b =+至多有两个不同的解,矛盾.若0,1q q <≠±,考虑关于n 的方程n Aq kn b =+奇数解的个数和偶数解的个数当n Aq kn b =+有偶数解,此方程即为nA q kn b =+方程至多有两个偶数解,且有两个偶数解时ln ||0Ak q >否则ln ||0Ak q <,因||,n y A q y kn b ==+单调性相反方程nA q kn b =+至多一个偶数解当n Aq kn b =+有奇数解,此方程即为||n A q kn b-=+方程至多有两个奇数解,且有两个奇数解时ln ||0Ak q ->即ln ||0Ak q <否则ln ||0Ak q >,因||,n y A q y kn b =-=+单调性相反方程n A q kn b =+至多一个奇数解因为ln ||0,ln ||0Ak q Ak q ><不可能同时成立故n Aq kn b =+不可能有4个不同的正数解,故③正确对于(4),因为{}n a 为单调递增,{}n b 为递减数列,前者散点图呈上升趋势后者的散点图呈下降趋势,两者至多一个交点,故④正确.故答案为：①③④三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.【答案】(1)2;3A π=(2)选择①无解；选择②和③ABC ∆面积均为153.4【小问1解析】由题意得2sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=由题意得32sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=【小问2解析】由题意得2sin cos cos 7B B B =,因为A 为钝角则cos 0B ≠,则32sin 7B =,则7sin sin sin 37b a BA A ===,解得3sin 2A =因为A 为钝角,则23A π=.选择①7b =,则333sin 714142B ===,因为23A π=,则B 为锐角,则3B π=此时A B π+=,不合题意,舍弃.选择②13cos 14B =,因为B 为三角形内角,则33sin 14B ==则代入32sin 7B =得3332147b ⨯=,解得3b =()222sin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B Bπππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭则11sin 73.22144ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=选择③sin c A =则有2c ⨯=,解得5c =则由正弦定理得,sin sin a c A C=5,sin sin 1432C C ==⇒因为C 为三角形内角,则11cos 14C ==则()222sin sin sin sin cos sin 333B A C C C C πππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭3111533321421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭则1133153sin 7522144ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯=17.【答案】(1)见解析(2)3030【小问1解析】取PD 的中点为S ,连接,SF SC ,则1//,12SF ED SF ED ==而//,2ED BC ED BC =,故//,SF BC SF BC =,故四边形SFBC 为平行四边形故//BF SC ,而BF ⊄平面,PCD SC ⊂平面PCD 所以//BF 平面PCD 【小问2解析】因为2ED =,故1AE =,故//,AE BC AE BC=故四边形2ED =$AECB$为平行四边形,故//CE AB ,所以CE ⊥平面PAD而,PE ED ⊂平面PAD ,故,CE PE CE ED ⊥⊥,而PE ED ⊥故建立如图所示的空间直角坐标系则()()()()()0,1,0,1,1,0,1,0,0,0,2,0,0,0,2A B C D P --()()()()0,1,2,1,1,2,1,0,2,0,2,2,PA PB PC PD ∴=--=--=-=-设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =则由()0200,2,1,200m PA y z m x y z m PB ⎧⋅=--=⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩ 取()0,2,1m =- 设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =则由00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得20220a b b c -=⎧⎨-=⎩,取(2,1,1)n =30cos <,>30m n ==-故平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值为303018.【答案】(1)110(2)(i)0.122万元(ii)0.1252万元【小问1解析】设A 为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”由题设中的统计数据可得()6030101.80010060301010P A ++==++++【小问2解析】(i)设ξ为赔付金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3由题设中的统计数据可得()()800410010,0.810005100010P P ξξ======603( 1.6)100050P ξ===,303( 2.4)1000100P ξ===101(3)1000100P ξ===()4133100.8 1.6 2.430.27851050100100E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故()0.40.2780.122E X =-=(万元)(ii)由题设保费的变化为410.496%0.4 1.20.403255⨯⨯+⨯⨯=故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=(万元)19.【答案】(1)2221,422x y e +==(2)2t =【小问1解析】由题意b c ===,从而2a ==,所以椭圆方程为22142x y +=,离心率为2;2e =【小问2解析】显然直线AB 斜率存在,否则BD 重合,直线BD 斜率不存在与题意不符.同样直线AB 斜率不为0,否则直线AB 与椭圆无交点,矛盾.从而设(:,AB y kx t t =+>,()()1122,,,A x y B x y 联立()222221,12424042x y k x ktx t kx t ν⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩由题意()()()2222221682128420k t k t k t ∆=-+-=+->,即,k t 应满足22420k t +->所以2121222424,1221kt t x x x x k k --+==++若直线BD 斜率为0,由椭圆的对称性可设()22,D x y -所以()121113:y y AD y x x y x x -=-++,在直线方程AD 中令0x =,得()()()()2122112121221121212422214C k t x kx t x kx t kx x t x x x y x y y t x x x x x x ktt-++++++===+==+++-所以2t =此时k 应满足222424200k t k k ⎧+-=->⎨≠⎩,即k 应满足22k <-或22k >综上所述,2t =满足题意,此时22k <-或2.2k >20.【答案】(1)单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,)+∞(2)证明见解析(3)2【小间1解析】1()ln(1),()11)11x f x x x f x x x x'=-+=-=>-++当(1,0)x ∈-时,()0;f x '<当(0,),()0x f x '∈+∞>()f x ∴在(-1,0)上单调递减,在(0,)+∞上单调递增则()f x 的单调递减区间为(-1,0),单调递增区间为(0,).+∞【小问2解析】.()11k f x x '=++,切线l 的斜率为11k t++则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t ⎛⎫-=+-> ⎪+⎝⎭将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即ln(1)t k t t t++=+1k t +,则ln(1)1t t t +=+,ln(1)01t t t +-=+令()ln(1)1tF t t t=+-+假设l 过(0,0),则()F t 在(0,)t ∈+∞存在零点.()()2211()0,()111t t t F t F t t t t +-'=-=>∴+++在()0,+∞上单调递增,()(0)0F t F >=()F t ∴在(0,)+∞无零点,∴与假设矛盾,故直线l 不过(0,0)【小问3解析】1k =时,12()ln(1),()10.11x f x x x f x x x'+=++=+=>++1()2ACO S tf t ∆=,设l 与y 轴交点B 为(0,)q 0t >时,若0q <,则此时l 与()f x 必有交点,与切线定义矛盾由(2)知0q ≠.所以0q >则切线l 的方程为()()1ln 111y t t x t t ⎛⎫--+=+- ⎪+⎝⎭令0x =,$则$ln(1).1t y q y t t ===+-+215ACO ABO S S ∆= ,则2()15ln(1)1t tf t t t t ⎡⎤=+-⎢+⎣⎦13ln(1)21501t t t t ∴+--=+,记15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t =+-->+∴满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.()()()()()2222221313221151315294(21)(4)()211111t t t t t t t h t t t t t t '+-++-+--+-=--===+++++当10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '<\,此时()h t 单调递减当1,42t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h t '>,此时()h t 单调递增;当()4,t ∈+∞时,()0h t '<,此时()h t 单调递减;因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802(h h h ==-⨯-=>〈〉15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.540,2555h ⨯=--=--<⨯--=-<所以由零点存在性定理及()h t 的单调性,()h t 在1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭上必有一个零点,在()4,24上必有一个零点.综上所述,()h t 有两个零点,即满足215ACO ABO S S =的A 有两个.21.【解析】我们设序列21...()k T T T A 为,{}(18)k n a n ≤≤,特别规定()0,18.n n a a n =≤≤若存在序列12:,,...,s ωωωΩ,使得()A Ω为常数列.则,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a =======所以,2,3,4,5,6,7,8,1.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+根据21...()k T T T A 的定义,显然有,21,21,2,11,2k j k j k j k ja a a a ----+=+这里1,2,3,4,1,2,....j k ==所以不断使用该式就得到,12345678a a a a a a a a +=+=+=+,必要性得证.若12345678.a a a a a a a a +=+=+=+由已知,1357a a a a +++为偶数,而12345678a a a a a a a a +=+=+=+,所以()()24681213574a a a a a a a a a a +++=+-+++也是偶数我们设21...()s T T T A 是通过合法的序列Ω的变换能得到的所有可能的数列()A Ω中,使得,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-最小的一个.上面已经证明,21,21,211,2k j k j k j k j a a a a ----+=+,这里1,2,3,4,1,2,....j k ==从而由12345678a a a a a a a a +=+=+=+可得,1,2,3,4,5,6,7,8.s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+同时,由于k k k k i j s t +++总是偶数,所以,1,3,5,7k k k k a a a a +++和,4,6,8,2k k k k a a a a +++的奇偶性保持不变从而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数.下面证明不存在1,2,3,4j =使得,21,22s j s j a a --≥.假设存在,根据对称性,不妨设1j =,,21,22s j s j a a --≥,即,1,22s s a a -≥情况1:若,3,4,5,6,7,80s s s s s s a a a a a a -+-+-=,则由,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,4,6,8,2s s s s a a a a +++都是偶数,知,1,2 4.s s a a -≥对该数列连续作四次变换(2,3,5,8),(2,4,6,8),(2,3,6,7),(2,4,5,7)后,新的4,14,24,34,44,54,64,74,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-减少4,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2:若,4,5,6,7,8,30s s s s s s a a a a a a -+-+->,不妨设,4,30s s a a ->情况2-1:如果,3,41s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,4,5,7),(2,4,6,8)后,新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.情况2-2:如果,4,31s s a a -≥,则对该数列连续作两次变换(2,3,5,8),(2,3,6,7)后,新的2,12,22,32,42,52,62,72,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-相比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-至少减少2,这与,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾这就说明无论如何都会导致矛盾,所以对任意的1,2,3,4j =都有,21,2 1.s j s j a a --≤假设存在1,2,3,4j =使得,21,21s j s j a a --=,则,21,2s j s j a a -+是奇数,所以,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+都是奇数,设为2 1.N +则此时对任意1,2,3,4j =,由,21,2,1s j s j a a --≤可知必有{}{},21,2,,1.s j s j a a N N -=+而,1,3,5,7s s s s a a a a +++和,2,4,6,8s s s s a a a a +++都是偶数,故集合{},|s m m N α=中的四个元素,,,i j s t 之和为偶数,对该数列进行一次变换(),,,i j s t ,则该数列成为常数列,新的1,11,21,31,41,51,61,71,8s s s s s s s s a a a a a a a a ++++++++-+-+-+-等于零,比原来的,1,2,3,4,5,6,7,8s s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-更小这与,2,3,4,5,6,7,1s s s s s s s a a a a a a a a -+-+-+-的最小性矛盾.综上,只可能(),21,201,2,3,4s j s j j αα--==而,2,3,4,5,6,7,8,1s s s s s s s s a a a a a a a a +=+=+=+,故{}(),s n a A =Ω是常数列.充分性得证.。

2022年全国新高考I卷数学试题(选择题部分答案及解析)

3
3 时，V
81 ， 4
所以正四棱锥的体积V 的最小值为 27 ， 4
所以该正四棱锥体积的取值范围是
27 4
，64 3
.
故选：C．
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
（
）
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A．1
【答案】A 【解析】
B． 3 2
C． 5 2
D． 3
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期 T 满足 2 T ，得 2 2 ，解得 2 3 ，
3
3
又因为函数图象关于点
3 2
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量约为（ 7 2.65 ）（）。
A.1.0109 m3 B． 1.2109 m3
C． 1.4109 m3
D． 1.6109 m3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．
【详解】依题意可知棱台的高为 MN 157.5 148.5 9（m），所以增加的水量即为棱台的体积
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【详解】将点 A 的代入抛物线方程得1 2 p ，所以抛物线方程为 x2 y ，故准线方程为 y 1 ， 4
A 错误；
k AB
1 (1) 1 0
2
，所以直线
AB
的方程为
y
2x
1，
y 2x 1
联立
x2
y
，可得 x2 2x 1 0 ，解得 x 1 ，故 B 正确；

2022年全国新高考II卷数学试题(解析版)

B. 128π
C. 144π
D. 192π
【答案】A 【解析】
【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径 r1, r2 ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，
即可解出球的半径，从而得出球的表面积．
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径
r1,
r2
，所以
2r1
3 sin
3 60
2π 3
,
3π 2
，由正弦函数
y
sin u
图象知
y
f
(x)
在
0,
5π 12
上是单调递减；
对
B，当
x
π 12
, 11π 12
时，2x
2π 3
π 2
,
5π 2
，由正弦函数
y

(x)
只有
1
个极值点，由 2x
2π 3
3π 2
，
解得 x 5π ，即 x 5π 为函数的唯一极值点；
【详解】设 OD1 DC1 CB1 BA1 1，则 CC1 k1, BB1 k2, AA1 k3 ，
依题意，有 k3
0.2
k1, k3
0.1
k2
，且
DD1 OD1
CC1 DC1
BB1 CB1
AA1 BA1
0.725 ，
所以
0.5
3k3 4
0.3
0.725
，故
k3
0.9
，
故选：D
DD1 OD1
0.5,
CC1 DC1
k1,
BB1 CB1
k2 ,
AA1 BA1
k3 ．已知 k1, k2, k3 成公差为 0.1 的等差数列，且直线 OA 的斜率为 0.725，则 k3

2022年全国统一高考数学试卷和答案解析(新高考ⅱ)

2022年全国统一高考数学试卷和答案解析（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，4}D．{﹣1，4} 2．（5分）（2+2i）（1﹣2i）＝（）A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i 3．（5分）图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．（5分）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（）A．﹣6B．﹣5C．5D．65．（5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6．（5分）若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（）A．tan（α﹣β）＝1B．tan（α+β）＝1C．tan（α﹣β）＝﹣1D．tan（α+β）＝﹣17．（5分）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π8．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（）A．﹣3B．﹣2C．0D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年全国统一高考新高考数学一卷试题和答案解析

2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）若集合{|4}M x =<，{|31}N x x =，则(M N = )A ．{|02}x x <B ．1{|2}3x x <C ．{|316}x x <D ．1{|16}3x x <2．（5分）若(1)1i z -=，则(z z +=)A ．2-B ．1-C ．1D ．23．（5分）在ABC ∆中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m = ，CD n = ，则(CB = )A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 4．（5分）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为2.65)(≈)A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为()A ．16B ．13C ．12D ．236．（5分）记函数()sin()(0)4f x x b πωω=++>的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图像关于点3(2π，2)中心对称，则()(2f π=)A ．1B ．32C ．52D ．37．（5分）设0.10.1a e =，19b =，0.9c ln =-，则()A ．a b c<<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b<<8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3l ，则该正四棱锥体积的取值范围是()A ．[18，81]4B ．27[4，81]4C ．27[4，64]3D ．[18，27]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022年新高考全国II卷数学真题含答案解析

a,c
cos b,
c
,即
9
3t16 5c
3
c
t
,解得
t
5
,
故选：C
5. 有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方
式共有（）
A. 12 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
【答案】B
【解析】
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设 β=0 则 sinα +cosα =0，取 = ，排除 A, B； 2
再取 α=0 则 sinβ +cosβ= 2sinβ，取 β = ，排除 D；选 C.
4
[方法三]：三角恒等变换
sin( ) cos( ) 2 sin（）= 2 sin（[ ） ]
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求出集合 B 后可求 A B .
【详解】[方法一]：直接法
因为 B x | 0 x 2 ，故 A B 1, 2 ，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
x 1 代入集合 B x x 1 1 ，可得 2 1，不满足，排除 A、D； x 4 代入集合 B x x 1 1 ，可得 3 1 ，不满足，排除 C.
2π 3
,
3π 2
，由正弦函数
y
sin
u
图象知
y
f
(x)
在
0,
5π 12
上是单
调递减；
对
B，当
x
π 12
,
11π 12
时，

2022年北京高考数学试卷解析

2022年北京高考数学试卷解析2022年高考数学北京卷坚持"以德为先，能力为重，全面发展"的命题理念，稳妥推进新高考的改革，形成了"一个中心，两个着力点，三个突出，四条路径"的评价体系。

即以立德树人为中心，以数学素养和创新能力为两个着力点;突出对主干知识、思想、问题解决能力的考查;通过优化试卷结构、创新呈现方式、精选试题素材，突出学科本质，达到落实高考育人的目的。

一个中心立德树人北京卷命题坚持以立德树人为根本任务，构建了引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系。

第7题以国家速滑馆"冰丝带"绿色环保场馆为背景，设置二氧化碳所处的状态与温度和压强的关系图，渗透德育。

第18题以学生熟悉的校运动会体育比赛为背景，重点考查统计学中关于数据的收集、估计、预测的基本方法和原理，渗透体育教育。

两个着力点数学素养、创新能力一、数学素养北京卷通过设计现实性和综合性问题，实现对逻辑推理、直观想象、数学运算、数学抽象、数学建模、数据分析六大素养的综合考查。

针对逻辑推理，北京卷设计了至少5道题进行考查。

如第15题，是以一个无穷正数数列来设置，考查数列的基本概念、研究数列的增减性、估计数列项的范围、判断数列是否为等比数列等。

四个选项既考查合情推理，也考查演绎推理。

针对直观想象，北京卷设计了至少4道题进行考查。

如第9题，以正三棱锥为载体、以区域面积为出口，考查空间想象能力。

问题的本质是研究球面和平交所得圆的性质。

针对数学运算，北京卷设计了至少12道题进行考查。

第16题，借助解三角形在考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识的同时，考查学生运算过程的严谨性以及运算的灵活性。

针对数学抽象，北京卷设计了至少2道题进行考查。

如第20题(Ⅲ)，考查不等式恒成立问题，它的背景是二阶导数大于0，即具有下凸性质的抽象函数在一定条件下都具有的结论。

此外，数学建模和数据分析也分别设置了不同的问题进行考查。

2022年北京市高考数学试卷和答案解析

2022年北京市高考数学试卷和答案解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则∁U A＝（）A．（﹣2，1]B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）C．[﹣2，1）D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）2．（4分）若复数z满足i•z＝3﹣4i，则|z|＝（）A．1B．5C．7D．253．（4分）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（）A．B．C．1D．﹣14．（4分）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（）A．f（﹣x）+f（x）＝0B．f（﹣x）﹣f（x）＝0C．f（﹣x）+f（x）＝1D．f（﹣x）﹣f（x）＝5．（4分）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（）A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减B．f（x）在（﹣，）上单调递增C．f（x）在（0，）上单调递减D．f（x）在（，）上单调递增6．（4分）设{a n}是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，a n＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态8．（4分）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（）A．40B．41C．﹣40D．﹣41 9．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（）A．B．πC．2πD．3π10．（4分）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC 所在平面内的动点，且PC＝1，则•的取值范围是（）A．[﹣5，3]B．[﹣3，5]C．[﹣6，4]D．[﹣4，6]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三四总分得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( ) A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( ) A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB1CB 1=k 2，AA 1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( )A. −6B. −5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( ) A. tan(α+β)=−1 B. tan(α+β)=1 C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。

2022年新高考全国Ⅱ卷数学试题(含答案解析)

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}{1,1,2,4},|1|1A B x x =-=-≤，则A B =A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-2．(22i)(12i)+-=A ．24i -+B ．24i --C ．62i +D ．62i -3．图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则3k =A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.94．已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a c b c ，则实数t =A ．6-B ．5-C ．5D ．65．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则A ．tan()1αβ+=-B ．tan()1αβ+=C ．tan()1αβ-=-D ．tan()1αβ-=7．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为则该球的表面积为 A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π8．若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑A ．3-B ．2-C ．0D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年北京市高考数学试卷[含答案]

2024年北京市高考数学试卷一、选择题。

共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合，，则 {|31}M x x =-<<{|14}N x x =-< (M N = )A ．B ．C ．D ．{|11}x x -< {|3}x x >-{|34}x x -<<{|4}x x <2．若复数满足，则 z 1zi i=--(z =)A ．B ．C ．D ．1i --1i -+1i -1i +3．圆的圆心到的距离为 22260x y x y +-+=20x y -+=()A B ．2C ．3D ．4．在的展开式中，的系数为 4(x 3x ()A ．6B ．C ．12D ．6-12-5．设，是向量，则“”是“或”的 ab ()()0a b a b +⋅-= a b =- a b = ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数．已知，，且的最小值为，则 ()sin (0)f x x ωω=>1()1f x =-2()1f x =12||x x -2π(ω=)A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生1S d lnN-=S N 物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个d S 体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则 1N 2N ()A ．B ．C ．D ．2132N N =2123N N =2321N N =3221N N =8．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该P ABCD -ABCD 4PA PB ==PC PD ==棱锥的高为 ()A ．1B ．2C D9．已知，，，是函数的图象上两个不同的点，则 1(x 1)y 2(x 2)y 2x y =()A ．B ．12122log 22y y x x ++<12122log 22y y x x ++>C ．D ．12212log 2y y x x +<+12212log 2y y x x +>+10．已知，，，是平面直角坐标系中的点集．设是中两点{(M x =2)|()y y x t x x =+-12x 01}t d M 间的距离的最大值，是表示的图形的面积，则 S M ()A ．，B ．，C ．D ．3d =1S <3d =1S >1d S =<1d S =>二、填空题。

2023年北京市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2023年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x−1<0}.则M∩N=( )A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2<x≤1}C. {x|x≥−2}D. {x|x<1}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√ 3)，则z的共轭复数z−=( )A. 1+√ 3iB. 1−√ 3iC. −1+√ 3iD. −1−√ 3i3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足a⃗⃗+b⃗⃗=(2,3)，a⃗⃗−b⃗⃗=(−2,1)，则|a⃗⃗|2−|b⃗⃗|2=( )A. −2B. −1C. 0D. 14.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−lnxB. f(x)=12x C. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|5.(2x−1x)5的展开式中，x的系数是( )A. −40B. 40C. −80D. 806.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 47.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π68.若xy≠0，则“x+y=0”是“xy +yx=−2”的( )第1页，共19页A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√ 14.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )5A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m(a n−6)3+6，下列说法正确的是( )10.数列{a n}满足a n+1=14A. 若a1=3，则{a n}是递减数列，∃M∈R，使得n>m时，a n>MB. 若a1=5，则{a n}是递增数列，∃M≤6，使得n>m时，a n<MC. 若a1=7，则{a n}是递减数列，∃M>6，使得n>m时，a n>MD. 若a1=9，则{a n}是递增数列，∃M∈R，使得n>m时，a n<M第II卷（非选择题）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2024年北京市高考数学试卷含答案解析

绝密★启用前2024年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M={x|−4<x≤1}，N={x|−1<x<3}，则M∪N=( )A. {x|−4<x<3}B. {x|−1<x≤1}C. {0,1,2}D. {x|−1<x<4}=i−1，则z=( )2.已知ziA. 1−iB. −1C. −1−iD. 13.求圆x2+y2−2x+6y=0的圆心到x−y+2=0的距离( )A. 2√ 3B. 2C. 3√ 2D. √ 64.(x−√ x)4的二项展开式中x3的系数为( )A. 15B. 6C. −4D. −135.已知向量a⃗，b⃗⃗，则“(a⃗⃗+b⃗⃗)⋅(a⃗⃗−b⃗⃗)=0”是“a⃗=b⃗⃗或a⃗⃗=−b⃗⃗”的()条件．A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充分且必要条件D. 既不充分也不必要条件，则ω=( )6.已知f(x)=sinωx，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π2A. 1B. 2C. 3D. 4，并且d越大，水质量越好.若S不变，且d1=2.1，d2=2.2，则n1与n2的关系为( ) 7.记水的质量为d=S−1lnnA. n1<n2B. n1>n2C. 若S<1，则n1<n2；若S>1，则n1>n2D. 若S<1，则n1>n2；若S>1，则n1<n28.已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4,4,2√ 2,2√ 2，求该四棱锥的高为( )A. √ 22B. √ 32C. 2√ 3D. √ 39.已知(x1,y1)，(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点，则下列正确的是( )A. log2y1+y22>x1+x22B. log2y1+y22<x1+x22C. log2y1+y22>x1+x2 D. log2y1+y22<x1+x210.若集合{(x,y)|y=x+t(x2−x)，0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形中，两点间最大距离为d，面积为S，则( )A. d=3，S<1B. d=3，S>1C. d=√ 10,S<1D. d=√ 10,S>1第II卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。