角平分线的判定定理-教学课件(一)
冀教版初中八年级数学上册16-3角的平分线第一课时角平分线的性质定理课件
∴∠ABD=∠DBC,即BD平分∠ABC, 如图,过点D作DE⊥BC于E,
∴DE=AD=2,
∴S△BCD=
1 2
1
BC×DE=2
×4×2=4.
图①
图②
(1)如图①,当PC⊥OA,PD⊥OB时,PC与PD的数量关系是 PC=PD ;
(2)如图②,点C、D在射线OA、OB上滑动,且∠AOB=90°,当 PC⊥PD时,PC与PD在(1)中的数量关系还成立吗?说明理由.
解析 (1)PC=PD. 理由:∵OM是∠AOB的平分线, ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等). (2)成立,理由如下:
△ADF的面积为14,则 1 AF·DF=14,即1 ×7×DF=14,解得DF=4,
2
2
∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF=4,∵△ADC
的面积为22,∴ 1 AC×4=22,解得AC=11.
2
5.(新独家原创)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°, ∠DBC=45°,AD=2,BC=4,求△BCD的面积.
DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF=1,∵AC=2,∴S△ACD= 1 AC·DF=
2
1 ×2×1=1.
2
4.(2024吉林舒兰期末)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB, 垂足为F,若AF=7,△ADF和△ADC的面积分别为14,22,则AC的 长为 11 .
解析 如图,过点D作DE⊥AC于点E,在直角△ADF中,AF=7,
∴PF=PG,PE=PG,∴PE=PF= 1 EF=2,∴PG=2,即点P到AB的距
北师大版八年级下册 第一章 1.4.1 角平分线 课件(共30张PPT)
PDO＝PEO(已证) ∵ １＝２（已证） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS)
∴ PD=PE（ 三角形全等对应边相等）
一个命题被证明是正确之后，怎么直接使用？
角平分线性质定理 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA , PE⊥OB ∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A．PA＝PB
B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
随堂检测
４.如图，AD，AE分别是△ABC中∠A的内角平
分线和外角平分线，它们有什么关系？
分析：
AD是线段 AF是射线
AD，AF存在数量关系？
拓展提升
１.如图,在△ABC中，AD是它的角平分线，BD＝CD,
DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
求证 ：EB＝FC （1）还有哪些新的发现？ （2）连接 EF 后又有那些新发现？ 请说出成立的理由
拓展提升
２.如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，
AD＝10，DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，
DE＝DF，求DE的长.
分析：DE 丄 AB， DF 丄 AC ，
DE＝DF，
PDO＝PEO=90 ( 已证) PD＝PE（已知） OP＝OP (公共边 )
∴ △OPD≌△OPE (AAS) ∴ ∠1= ∠2（ 三角形全等对应边相等）
∴OP平分∠AOB
随堂检测
１.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点， PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA 的距离是( A ) A．2 B．3 C.
教学课件：第1课时-角平分线的性质
在三角形ABC中，AD是角平分线，且$angle BAD = 30^circ$，$angle BAC = 80^circ$， 求$angle CAD$的大小。
基础练习题3
已知角平分线将一个角分为两个相等的角，其中 一个角为$60^circ$，求另一个角的大小。
进阶思考题
进阶思考题1
在三角形ABC中，AD是角平分线， 且$angle BAD = 25^circ$， $angle BAC = 100^circ$，求 $angle CAD$的大小。
应用场景二
在解决实际问题时，如土地划分 、建筑结构设计等，可以利用角 平分线的判定定理来确定某条线 的位置或性质。
04 角平分线的性质定理的推 论
推论的表述
推论1
角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。
推论2
角的内部到角的两边距离相等的点在 角的平分线上。
推论的证明
证明推论1
根据角平分线的性质，角平分线上的 每一点到这个角的两边的距离都等于 该点到角的顶点的距离。因此，角平 分线上的所有点到角的两边的距离都 相等。
03 角平分线的判定定理
判定定理的表述
角平分线的判定定理
如果一条射线将一个角平分，则这条射线上的每一点到这个角的两边的距离相 等。
定理的符号表示
假设∠AOC被射线OD平分，则有OA=OC。
判定定理的证明
证明思路
利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角的两边的距离相等，来证明判定定 理。
证明过程
教学课件：第1课时-角平分线的 性质
目录
• 引言 • 角平分线的定义与性质 • 角平分线的判定定理 • 角平分线的性质定理的推论 • 课堂练习与思考题
《角平分线的判定》PPT课件 人教版数学
随堂演练
证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC 于N，PQ⊥AB于Q. ∵CE为∠MCN的平分线， ∴PM = PN， 同理PN = PQ， ∴点P到三边 AB，BC，CA的距离相等.
M Q
综合运用
4.如图，在△ABC中，∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E、F，BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴∠BED=∠CFD=90° 在△BED和△CFD中， ∠B=∠C，
A. 140° C. 120°
B. 130° D. 110°
AE F
O
B
D
C
随堂演练
2.如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是 5、7、9，其三条角平分线将△ABC分成三个三 角形，则S△OAB: S△OAC: S△OBC =__5_:_7_:9___.
随堂演练
3 如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与 ∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
12.3 角的平分线的性质
角平分线的判定
人 R教 · 版数 高学 八中 年 数级 学（ 上必 册 修） 二
学习目标
理解角平分线 判定定理
掌握角平分线判定 定理的证明方法 并解决相关问题
会判断一个点是否 在一个角的平分线上
复习回顾
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
【几何语言】 ∵OC是∠AOB的平分线，P是OC 上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE．
∴AB=AF.同理DC=DF，
∴AB+CD=AF+FD=AD，
角平分线的性质和判定(共张)课件
作法应用
01
在几何证明题中，常常需要用到 角平分线的作法来构造辅助线， 从而证明某些结论。
02
作法应用可以帮助我们更好地理 解几何图形的性质和判定定理。
作法证明
第一步
根据等腰三角形的性质， 等腰三角形的两个底角相 等。
第二步
由于所作的线段是等腰三 角形的底边，所以这条线 段将角平分。
第三步
证明所作的线段与角的两 边垂直，从而证明这条线 段是角的平分线。
证明方法二
利用相似三角形的性质，通过相似三角形的边长比例关系证明角平分线的性质 。
02
角平分线的判定
判定定理
判定定理
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理证明
在角的平分线上任取一点，过这点作角的两边的垂线，垂足分别为A、B。根据角 平分线的定义，角平分线上的点到角的两边距离相等，即$PA=PB$。因此，角 平分线上的点满足到角的两边距离相等的性质。
03
角平分线定理的逆定理
逆定理内容
逆定理
如果一条射线将一个角分成两个相等的部分，那么这条射线 就是这个角的角平分线。
证明过程
首先，我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 。反之，如果一条射线上的点到这个角的两边的距离相等， 那么这条射线将这个角平分。因此，我们可以得出上述逆定 理。
逆定理应用
通过角平分线的定义和性质，结合三角形全 等的判定定理，证明推论1的正确性。
证明2
通过反证法和角的平分线的性质，证明推论 2的正确性。
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角平分线的性质和判定(共 张)课件
目录
• 角平分线的性质 • 角平分线的判定 • 角平分线定理的逆定理 • 角平分线的作法 • 角平分线定理的推论
角平分线判定定理课件1
证明： ∵PB⊥AB，PC⊥AC，
A
∴ΔABPΔACP是直角三角形,
在Rt△ABP和Rt△ACP中 ∵PB=PC，
PA=PA，
D
B
C
∴ Rt△ABP≌Rt△ACP,∴∠ BPD=∠CPD P
在ΔDBP和ΔDCP 中,
∵ PB=PC，
∠BPD=∠CPD
PD=PD
∴ △DBP≌△DCP ∴∠BDP= ∠CDP
定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距 离相等.
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD⊥OA,PE⊥OB垂足分别是D、E
B
求证: PD＝PE
E C
证明：在ΔPOD和ΔPOE中
∠DOP=∠EOP
O
∠PDO=∠PEO
P
D
A
OP=OP
∴ ΔPOD≌ΔPOE
∴PD=PE
问题：你能说出以下定理的逆命题吗？ 角平分线性质定理： 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
•上述两条定理互为逆定理，根据上述这两条 定理，我们可以用集合叙述：角的平分线是到 角的两边距离相等的所有点的集合
拓展：
我们很容易证明：
三角形三条角平分线交于一点．
图 19.4.6
提示：从图中可以看出，要证明三条角平分线
交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点 一定在第三条角平分线上就可以了．
请你口述完成证明．
• 此定理的逆命题是
• “到一个角的两边的距离相等的点 在这个角的平分线上”，
• 这个命题是否是真命题呢？即到一 个角的两边的距离相等的点是否一 定在这个角的平分线上呢？我们可 以通过“证明”来解答这个问题．
图 19.4.5
人教版八年级数学上册《12-3 角的平分线的性质(第1课时)》课堂教学课件PPT初中公开课
人教版 数学 八年级 上册ABDCE下图是一个平分角的仪器，其中AB = AD ，BC =DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是这个角的平分线，你能说明它的道理吗？导入新知3. 熟练地运用角平分线的性质解决实际问题.1. 学会角平分线的画法.2. 探究并认知角平分线的性质.素养目标在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？ 用量角器度量，也可用折纸的方法． 如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？探究新知知识点 1角平分线的画法问题1：问题2：提炼图形如图，是一个角平分仪，其中AB=AD ，BC=DC .将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是角平分线，你能说明它的道理吗?AB C(E )D其依据是SSS ，两全等三角形的对应角相等.问题3：【思考】如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ABO请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?(3)在平分角的仪器中，BC=DC ，怎样在作图中体现这个过程呢？(4)你能说明为什么OC 是∠AOB 的平分线吗？做一做ABMNCO 已知: ∠AOB.求作：∠AOB 的平分线.仔细观察步骤作角平分线是最基本的尺规作图，大家一定要掌握噢!作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N .（2）分别以点M ，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C .（3）画射线OC .射线OC 即为所求.12半径小于MN 或等于MN ，可以吗？1212已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB 的角平分线.结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.ABOC1. 操作测量：取点P 的三个不同的位置，分别过点P 作PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D,E 为垂足，测量PD,PE 的长.将三次数据填入下表：2. 观察测量结果，猜想线段PD 与PE 的大小关系，写出结果：__________PD PE第一次第二次 第三次COBAPD=PE pDEOC 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OC 上的任意一点.猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质知识点 2已知：如图， ∠AOC= ∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E .求证：PD=PE .PA OB CDE证明：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.在△PDO 和△PEO 中，∠PDO= ∠PEO ，∠AOC = ∠BOC ，OP= OP ，∴ △PDO ≌△PEO (AAS).∴PD=PE .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.验证猜想一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.归纳总结u性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. u应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.u定理的作用：证明线段相等.u应用格式：∵OP 是∠AOB的平分线，∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.PD⊥OA，PE⊥OB，BADO PEC判一判：（1）∵ 如下左图，AD 平分∠BAC （已知），∴ =，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC(2)∵ 如上右图， DC ⊥AC ，DB ⊥AB （已知）. ∴ = ，( )在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等BD CD ×B ADC缺少“垂直距离”这一条件缺少“角平分线”这一条件如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，OD⊥AB 于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( ) A. OD>OE B．OD＝OEC. OD<OE D．不能确定B 巩固练习例1已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC .垂足分别为E ，F .求证：EB=FC.ABCDEF 证明： ∵AD 是∠BAC 的角平分线， DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ DE=DF ， ∠DEB=∠DFC =90 °.在Rt △BDE 和 Rt △CDF 中，DE=DF ，BD=CD ，∴ Rt △BDE ≌ Rt △CDF (HL).∴ EB=FC .探究新知角平分线的性质的应用素养考点 1如图，已知：OD 平分∠AOB ，在OA ，OB 边上取OA ＝OB ，PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，垂足分别为M ，N.求证：PM ＝PN.证明：∵OD 平分∠AOB ，∠1＝∠2，又∵OA ＝OB ，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△BOD ，∴∠3＝∠4，又∵PM ⊥DB ，PN ⊥DA ，∴PM ＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)巩固练习例2 如图，A M 是∠B A C 的平分线，点P 在A M 上，P D ⊥A B ，PE ⊥AC ，垂足分别是D,E ，PD=4cm ，则PE =______cm.BACP MDE4提示：存在两条垂线段——直接 应用.探究新知利用角平分线的性质求线段的长度素养考点 2AB CP 如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC 交BC 于点P ，若PC ＝4， AB =14.（1）则点P 到AB 的距离为_______.D4提示：存在一条垂线段——构造应用.巩固练习1.应用角平分线性质：存在角平分线涉及距离问题2.联系角平分线性质：面积周长条件利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解探究新知归纳总结如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）A．30°B．35°C．45°D．60°B解析：作MN⊥AD于N，∵∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∴∠DAB=180°–∠ADC=70°.∵DM平分∠ADC，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC，∵M是BC的中点，∴MC=MB，∴MN=MB，又MN⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB=12∠DAB=35°.N连接中考2.△ABC 中， ∠C=90°，AD 平分∠CAB ，且BC =8，BD =5，则点D 到AB 的距离是 .ABC D3E1. 如图，DE ⊥AB ，DF ⊥BG ，垂足分别是E ，F ， DE =DF ， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF =度，BE = .60BF EBDFACG 基础巩固题3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是（）A.SSS B.ASA C.AASD.角平分线上的点到角两边的距离相等AB MCOA4.如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，下列结论中错误的是( )A.PC ＝PD B. OC ＝OD C. ∠CPO ＝∠DPO D. OC ＝PCD 5. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )A ．6 B ．5 C ．4 D ．3D BC EADFEA68101. 在Rt △ABC 中，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，则：(1)哪条线段与DE 相等？为什么？(2)若AB ＝10，BC ＝8，AC ＝6，求BE ，AE 的长和△AED 的周长.解：(1)DC=DE .理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）在Rt △CDB 和Rt △EDB 中，DC=DE ，DB=DB ，∴Rt △CDB ≌Rt △EDB (HL)，∴BE ＝BC =8.∴ AE ＝AB–BE =2.∴△AED 的周长=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升题CD2.如图所示，D 是∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F . 求证：CE ＝CF .证明：∵CD 是∠ACG 的平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴DE ＝DF .在Rt △CDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △CDE ≌Rt △CDF (HL)，∴CE ＝CF .,,=⎧⎨=⎩CD CD DE DF如图，已知AD ∥BC ，P 是∠BAD 与∠ABC 的平分线的交点，PE ⊥AB 于E ，且PE=3，求AD 与BC之间的距离.解：过点P 作MN ⊥AD 于点M ，交BC 于点N.∵ AD ∥BC ，∴ MN ⊥BC ，MN 的长即为AD 与BC 之间的距离.∵ AP 平分∠BAD ， PM ⊥AD ， PE ⊥AB ，∴ PM= PE .同理， PN= PE .∴ PM= PN= PE=3.∴ MN=6.即AD 与BC 之间的距离为6.拓广探索题角平分线尺规作图属于基本作图，必须熟练掌握性质定理一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等辅助线添加过角平分线上一点向两边作垂线段课堂小结为证明线段相等提供了又一途径课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习谢谢观看 Thank You。
角平分线的判定定理ppt课件
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
4、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的
平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
G
P
H
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
课内拓展延伸
如图，△ABC中，点O是∠BAC与∠ABC的平分线的 交点，过O作与BC平行的直线分别交AB、AC于D、E．已 知△ABC的周长为15，BC的长为6，求△ADE的周长.
A
D OE
B
C
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
的判定 到角的两边的距离相等的点
的平分线上。
在角
D
已知：如图，PD^OA ，PE^OB，
垂足分别是 D、E，PD=PE，
O
求证：点P在 AOB的角平分线上。
证明： 作射线OP
∵ PD^OA PE^OB
E
\ PD P OE 9O 0
在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，
OP = OP （公共边）
B
(1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴_∠__1_=_∠__2___
(_到__一__个__角__的__两__边__的__距__离__相__等__的__点__，__在__这__个__角__平__分__线__上__。)
1 角平分线(一) 课件 大赛获奖精美课件 公开课一等奖课件
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
角平分线的判定-八年级数学上册课件(沪科版)
E
13、如图，在 △ABC 中，∠BAC 和 ∠ABC 的平分线相交于
点 O，过点 O 作 EF∥ AB交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O
作OD⊥BC 于 D. (1) 求证：∠AOB=90°+ 1 ∠C；
2 (2) 求证：AE+BF=EF；
(3) 若 OD=a，CE+CF=2b，请用含 a，b 的代数式表示
OP平分∠AOB
(角的内部的)点到角两 边的距离相等
建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可选择的 地址有几处? 画出它的位置.
P2
l1
P1 P4
P3
l
l2
比 一
角的平分线的性质 角的平分线的判定
比
图形
C
C
P
P
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
结论
PD=PE
点在角平分线上
性质 判定
PD=PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
∴ ∠BED＝∠CFD＝90° (垂直的定义) 在△BED和△CFD中
∠BDE=∠CDF (对顶角相等) ∵ ∠BED＝∠CFD (已证)
BE=CF (已知) ∴ △BED≌△CFD (AAS) ∴ DE＝DF (全等三角形的对应边相等) 又∵ DF⊥AC，DE⊥AB ∴ AD平分∠BAC
(角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上)
15.4.2 角平分线的判定
知识回顾
角平分线的性质：
定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等.
特别提醒： ① 点一定要在角平分线上 ② 点到角两边的距离 是指 点到角两
A C
P
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
八年级数学上册第十二章角平分线的判定教学课件新版新人教版ppt
D
D
C
┌
F E
∵E是BC的中点， ∴EC=EB. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB，
┌
A
B
∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
BE=CF，DB=DC.
E
D
B
┐
A
F
C
新课讲解
练一练
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求
证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
∴∠BED=∠CFD=90°.
E
∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC，
B
E PC
┐
D
A
新课讲解
知识点1 角平分线的判定定理
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，
且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PEO=∠PDO=90°.
∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD，
PO=PO，
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点
在角的平分线上.
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部； （2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
几何表示：
如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足 O
分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
第十二章 全等三角形
12.3 角平分线的性质 课时二 角平分线的判定
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
《角平分线》PPT教学课件
知识讲解
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角
的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就
是角平分线，你能说明它的道理吗?
两个三角形三边对应相等，两个三角形全
A C
等，两全等三角形的对应角相等.所以AE就
是角平分线 想一想：能够运用这种方法作出任意角的 角平分线吗？
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
× ∴ BD = CD ，
A
D C
( 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
理由： 没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.
知识讲解
★ 练一练
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
× ∴ BD = CD ,
(角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 )
B
A
D
C
理由：无法确定点D在∠BAC的平分线上.
知识讲解
线段的垂直平分线的性质定理有逆定理，角的平分 线的性质定理是否也有逆定理呢？
如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在 角的平分线上.
知识讲解
角平分线性质定理的逆定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
A
D C
P
O
E
B
用途： 证明点在角平分线上，即可以判定角平分线.
知识讲解
典例讲解 例题 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
A N PM
B
C
知识讲解
证明：
A
D
N
P
F M
B
C
E
知识讲解
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角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
A
N
M
O
B
C
GD
拓展与延伸
1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距
离相等,则可供选择的地址有:( )
A.一处
B. 两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
2、 如图，在四边形ABCD中，
∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平
课堂练习 如图，已知△ABC的外角
∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD
于H，FM⊥BC于M，
∵点F在∠BCE的平分线上，
G
FG⊥AE， FM⊥BC，
∴FG=FM.
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
A
证明：过点P作PD⊥AB于D，
D NP
F M
结PE⊥论B：C于三E，角PF形⊥A的C于三F，条角平分线交于
一∵B点M是，△并ABC且的这角平点分到线，三B点边P在的BM距上，离E 相等C.
∴PD=P想E.一同想理，，P点E=PPF在. ∠A的平分线上
∴吗PD？＝这PE说=PF明. 三角形的三条角平分线 即有点什P到么三关边系AB？、BC、CA的距离相等.
OP平分∠AOB
思考
如图，要在S区建一个
贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市
场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
SD
C
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°
C
在Rt△PDO和Rt△PEO中
P
PO＝PO
PD=PE
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上
分∠ ADC。
求证：AM平分∠DAB D
C
M
A
B
1、角平分线的判定： 在一个角的内部，且到角的两边距 离相等的点，在这个角的平分线上。
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
再见
BD＝CD, ∠1= ∠2.
求证：AD平分∠BAC
A
E
F
1 D2
B
C
课堂练习
已知:BD⊥AC于点D,CE⊥AB于 点E,BD,CE交点F,CF=BF,
求证:点F在∠A的平分线上.
C D
F
A
EB
达标测试
1、如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F
，
BE、CF相交于D， BD=CD 。
B
求证： AD平分∠BAC
是E、F，且BE＝CF。
A
求证：AD是△ABC的角平分线
E
F
B
C D
课堂练习 在△ABC中，AB=AC，
AD平分∠BAC ，DE⊥AB， DF⊥AC， 下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF; (2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的 距离相等，其中正确的结论有( )
A
E
F
B
C D
课堂练习 已知：如图,在△ABC中，
M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
课堂练习 如图，△ABC中，D是BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
F
A
D
E C
达标测试
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
求证: AD平分∠BAC. AF NhomakorabeaE
H
G
B
D
C
达标测试
如图，O是三条角平分线的交点，
OD⊥BC于D，OD=3， △ABC的
周长为15，求S△ABC
角平分线性质的逆定理 （角平分线的判定）
角的内部到角的两边的距离
相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE．
C
∴OP平分∠AOB．
P
角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C
P
C P
OP平分∠AOB
已知
条件 PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E