拓扑斯理论的时空观

拓扑斯理论的时空观
生命宇宙奥秘那甜美的果实等待着你去探寻和品尝~~~
哥德尔：人永远要对电子计算机说最后一句话，但问题在于，这说最后一句话的人究竟是聪明的善人呢，还是愚昧的恶人呢？

物理定律来源于人们对简单性与和谐性的追求，而物理定律的应用却是对复杂性的追求。正像下围棋那样，只有黑白两色棋子和少数几条规则，却可以弈出千变万化的对局。大多数物理学家认为物理定律日臻完善，而人类却已进入复杂性研究的黄金时代。然而，反潮流的拓扑斯理论却出现在这样的时代，它的与观察者有关的逻辑，即“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑”，引起了对现有时空观的深刻质疑。

量子论和相对论分别走对了一步

由于牛顿的引力论和力学，促使拉普拉斯提出下述观点：“一种智慧存在，在任一给定时刻如能知道所有的自然力和构成宇宙的所有物质的瞬间位置，而且能分析所有的有关数据，则能用公式描述世上最大物体和最微小原子的运动。对其而言，没有东西是不可确定的，历史和未来在其眼前展现。”

但是，在拉普拉斯时代仍然存在着许多令人不解的问题：为什么宇宙是由原子组成的？宇宙来自何方？宇宙为什么有这样的质量和形态？原子间作用力的本质是什么？为什么时空被简单地认为是存在的，而不是物理的？

直到19世纪下半叶，当电磁理论补充了牛顿的工作后，情况才发生变化。人们开始设想所有自然力只是引力或电磁力的一些具体表现。1900年，物理学家开尔文勋爵在一次演讲中说：“物理学中已没有新的待发现的东西了，剩下的只是越来越精确的测量。”然而不久，19世纪物理学的结构就被彻底改变了。由于放射性和电子的发现、普朗克量子假说的成功，以及爱因斯坦相对论的出现，牛顿的运动定律和他关于时空的常识性假设被抛弃了，甚至德谟克里特的原子假说也被更精确而复杂的微观世界图景所替代。原子不再被看成是不可分的、具有某个确定的位置和动量的粒子，而被描述成由满足相对论的量子力学的粒子（轻子和夸克）所构成。

到了20世纪，人们相信只存在强力、弱力、电磁力和引力这四种相互作用，描述这些力的数学理论也戴上了“规范”的桂冠。规范理论的结构来自于描述某种力的自然定律在对称性上保持不变的特性，而对称性是由该力所支配的粒子性质所产生的。

20世纪物理学的主要成就来自于相对论和量子理论。这两种理论都极为有用，能解释许多事情，但每一种都不完备。量子理论解释了为何原子不会

顷刻瓦解，解释了观测到的物质和辐射的许多性质。在分子以及更小的尺度上，它的效应与牛顿理论的预言有着根本的差别。广义相对论是关于空间、时间和宇宙学的理论，它的预言与牛顿预言的主要不同点在于，在极大尺度上，证实广义相对论的绝大多数观测都来自天文学。然而，当面对原子以及更小尺度时，广义相对论看来是失败的。同样，量子理论似乎与构成广义相对论基础的时空描述相矛盾。因此，人们不能将这两种理论简单地并在一起构造一种单一的理论，用以展示从原子到太阳系甚至整个宇宙的全部世界。

问题的关键在于：量子论在根本改变牛顿物理关于观测者与被观测者之间关系的假设时，顺从地接受了牛顿的背景时空观；在广义相对论中，时空的观念彻底变更了，但是牛顿关于观测者与被观测者之间关系的观点却保留了下来。

看来，量子论与广义相对论各自保留了另一种理论与之冲突的、来自牛顿物理的旧假设。因此，相对于旧的牛顿物理体系，相对论和量子论只是各自向前走对了一步。“革命尚未成功，同志仍需努力。”

要完成对牛顿物理的彻底革命，必须追求一种新理论，以新的方式，将爱因斯坦引入的时空新观念与量子论关于观测者与被观测者之间关系的新观念融合起来。如果这种融合是不可能的，则必须将这两种理论都摈弃，另寻新的途径。走进21世纪，在基础研究上已没有别的问题比这个问题更富于挑战性了。

与观察者有关的逻辑学

何谓宇宙？简而言之，其外一无所有之谓也。许多宇宙学家将这一论断称为宇宙学第一原理。由此出发，可以推断：许多问题是无法回答的。例如，无法回答宇宙中有多少掌握语言的生灵，因为没有一位处于宇宙中的观察者可以看见宇宙中的一切。虽然尚不知宇宙的确切年龄，人们已公认自大爆炸始宇宙已历经约140亿年，地球上的人确实不能收到来自距离地球超过140亿光年的任何生灵的光线。

若有人宣称宇宙中的生灵比地球上的人类多43倍，谁也无法证明其是对是错。然而，10亿年后的观察者将能看到宇宙的更多部分，他们能看到的宇宙是150亿光年，而不是现在看到的140亿光年。他们能看见更多的掌握语言的生灵。可供他们判断正误的陈述清单，将比可供现在判断的清单长。

许多宇宙学家认为：宇宙的尺度至少有1000亿光年。因此，可以考虑一个观察者，也生活在大爆炸后的140亿年，但在距离地球500亿光年处。这个观察者看到的宇宙同地球上观察者看到的宇宙没有重叠，可供他作出正误判断的陈述清单也同地球上观察者的完

全不同。这样，如果有一个适用于宇宙学的逻辑的话，它必须建立在命题真伪取决于观察者的基础之上。与所有观察者可决定所有陈述真伪的经典逻辑不同，这个逻辑必须是与观察者有关的。

在物理研究的历史进程中，当物理学家对数学有某种新需求时，他们常常发现数学家早已发现了它。当爱因斯坦创建广义相对论，需要一种描述光线弯曲的数学工具时，黎曼早已建立了一种适当的几何；当量子论巨擘狄拉克需要一种描述点粒子的δ函数时，泛函分析学家已有了后来被称作分布的理论。

现在，当宇宙学家需改变自从亚里士多德时代以来人类就习惯使用的非真即伪的逻辑学时，数学家也已准备了一种新的逻辑学。这是一种“为工作着的宇宙学家而存在的逻辑”。这种逻辑学承认：探究世界是由世界之中的观察者进行的，他们只能通过环顾四周，从所能观测到的范围，获得这个世界的有限的或部分的信息。他们对观察结果的陈述，不仅有“正确”或“错误”之分，也可贴上 “现在无法分辨是否正确，但未来或许能够知道”之类的标签。这个宇宙学家的逻辑学在本质上是与观察者有关的，因为它承认世界上的每个观察者只能看见这个世界的不同部分。

数学家们完全独立于宇宙学研究来探讨这种逻辑学，并在不同的研究阶段赋予它不同的名称。在第一种版本中，它被称为“直观逻辑”，而在最近的更加复杂的版本中则被总括为“拓扑斯（topos）理论”。 简单地说，拓扑斯是一种特殊的范畴理论。作为一种数学表达形式，拓扑斯理论并不简单，它可能是最难学习的知识之一；作为一门数学分支，它已有了较为广泛的研究领域，它的要旨在于描述世界的真实情形，不仅仅针对宇宙学家，还针对世界上的任何事情。

在真实世界中，人们几乎总是在探究不完整的信息。人们常常会遇到真伪性无法据人们之所知来判断的陈述。在现实生活中，不同的观察者接触不同的信息，对未来所作陈述的真伪，可能受到人们对欲为之事所作选择的影响。这对整个议题有着非常深刻的涵义：为了判断人们决定的合理性，毋庸求助通晓万物的观察者，只要求不同观察者如实汇报所见就足够了。若这个法则得到遵守，当人们各自有足够的信息决定某事的正确与否时，总会做出相同的决定。拓扑斯理论试图给出关于这些法则的数学。

这样，一些哲学家试图把伦理和科学归结为一个通晓万物的先知的最终判断就错了。只须坚信观察者应该如实地交流观察所见，人们就可以理性地生活，而不必相信通晓万物的精灵的存在。尽管总存在

着人们无法回答的问题，却并不一定妨碍人们就如何了解这个拥有共同点的世界，达成某些方面的一致。

量子理论中的认识问题

量子理论中认识论问题的核心是物理量值和测量结果两者之间的关系。更确切地说，核心是命题“量A有一个值，且该值是r（其中r是实数）”与命题“假如A的测量被建立，结果将是r”之间的关系。

回想一下经典物理的情形，上述关系是不成问题的。在经典物理中，人们假定在任一时刻每个物理量A将一个实数作为它的值，并且人们能够“理想化地”测量物理量A，即A能得到一个值是在测量之前便确定的。这种方式有时称作为“认识论作本体论的模型（epistemology models ontology）”。用数学语言说，量A是态空间Γ的实值函数。对于任何属于Γ的态，任一个量A均可被指派一个“定值”。于是，在某个确定时刻，系统的每一个命题均可确定其真伪。

在量子论中，上述值与测量结果的关系是有问题的。这时，态空间是希尔伯特空间H ，物理量A需用自伴算子?魦来表示。在1967年，科切恩（S. Kochen）和斯佩克（E. Specker）证明了一条著名的nogo定理，这条定理指出，如果希尔伯特空间的维数大于2，就无法指望所有的量子理论算子能指派一个实数作为它们的值。用数学语言讲就是，希尔伯特空间的所有谱集组成一个非布尔型与非分布的格，对诸如“?魦属于Δ”这类命题作出真伪判断并不是一定可行的了。

伯克霍夫（G. Birkhoff）和冯·诺伊曼 (J. Von Neumann）早年曾对这类“量子逻辑”问题作过广泛研究。新近，利用拓扑斯作为工具的研究，在某种意义上来讲，是一种反潮流的革命。拓扑斯虽然是非布尔型的，甚至排中律这个形式逻辑的基本规律也不一定成立，但它并不是非分布型的。

在量子引力情形下，认识论问题变得更加尖锐。许多学者认为，经典广义相对论的时空观念，诸如拓扑空间、连续流形、时空几何和微观因果性等都不能应用到量子引力。英国学者艾沙姆(C. J. Isham）指出：“人们应当怀疑量子理论应用到引力的可能性问题，尽管流行的量子引力研究或多或少采用了标准的量子理论研究方式，但存在着某种先验论的危险性。时空的经典想法是不假思索地运用到量子理论中去的，这会导致范畴类型上的差错。当人们试图应用量子理论到量子引力中去时，这些概念是不适合的。”

没有点的时空

在传统的物理理论公式中，人们普遍采用实数。这是出于何种缘由呢？表面上看，可能存在三条理由：实数是物理量的值；时空是连续的；概率的值是实数。其实，这些似乎显而易见

的理由并不成立。

传统的物理大厦依赖于物理量的值的计算，而这些计算已得到高度发展（如泛函分析和微分几何等数学分支）。但是，传统物理理论的成功只不过证明了连续的“仪器效应”罢了。可用一个例子来说明。长度是一个物理量，如果先验地认为它是连续量的话，那么其他的物理量就可以用实数模型化了。因为对一个物理量的测量，总能约化到在空间中某种类型的仪器指针的值。于是，问题就转到为什么要对时空采用实数模型？或者说，是否有一种公认的理由可以将“仪器效应”分离掉？答案是否定的，并不存在一种先验的理由说明空间是连续的。将时空非连续的可能性反映到物理理论中去，是拓扑斯理论的关键之处。

至于概率为什么应该是实数的问题更值得探讨。概率由测量序列的结果的相对频率（为有理数）决定，实数是相对频率的无限序列的极限引起的。许多学者指出，概率为实数是一种生理学事实的理想化，是一种理性的规范。有时，人们可以认为某种倾向会比另一种倾向大，但是在很多情形下“倾向性”是不可比拟的，后者将导致概率函数的值域是偏序集。

连续时空观的基础是“点”的概念，在拓扑斯理论中，则以场所（locale）来取代点的概念。为此，可以先将点的概念让位于区域（region）的概念。塔斯基（Alfred Tarski）早年曾做过“保守”线路的工作，他首先提出区域概念作为第一性，点概念作为第二性的方案。塔斯基先列出了区域的公理，再由区域构造点，并使这些点具有3维欧几里得空间的一些熟知性质。例如，可以把点构造成区域序列的形式，每个区域含在前一个区域之中，并且它们的“宽度”趋于零。但是，利用区域取代点并不一定要采用这种“保守”的线路。非“保守”的线路是用公理定义区域，并彻底替代点的概念。事实上，任何拓扑空间均能构造一个场所，后者是一个推广的布尔代数，它们不必具有排中律，由此提供直觉逻辑的一个自然代数结构。由场所定义的区域理论不是“保守的”——它推广了拓扑空间的概念，允许区域簇不组成点。

拓扑斯理论是范畴的一种特别类型。范畴由对象(object）及射(arrow）组成。一个明显的例子是群范畴，其中对象是群，射f：G1→G2是从G1 到G2 的群同态。在任何拓扑斯理论中，存在着一个推广的子集簇概念，即给定对象的子对象簇概念，子对象簇是一个场所。从而可以用拓扑斯理论来替代诸如连续流形作为描述时空的数学。

一切只是过程

云岗和龙门的石窟之所以价值连城，在于它们似乎凝固了历史，为人们提供了时间

停滞的错觉。但是时间并不会真的停顿。一尊雕像看起来每天一样，其实每天都会有点不同。雕像并不是一个永不变化的物体，它是一种过程，一种变化缓慢的过程。在世界上存在的并不是物体和过程这两样东西，而只是相对快和相对慢的过程。

设想人们想要描述一个特定的粒子，比如说电子。在牛顿模式的描述中，人们可以描述在一个特定的瞬间它是什么：它位于空间的何处，它的质量和电荷是多少，等等。这称为是描述粒子的“状态”。在这种描述中是没有时间的。在牛顿世界中，时间是一个可选的部分。一旦人们已经充分地描述某些东西是怎样的，那么人们就“打开”时间开关并且描述它如何变化。为了验证一种理论，人们进行一系列的测量。每一次的测量应该揭示凝固在某一瞬间的粒子状态。一系列测量就如同一系列的相片——凝固的瞬间。

牛顿物理中状态的概念和雕像、相片一样，均有凝固瞬间的错觉。这导致世界是由物体组成的假象。假如这确实是这个世界的运行方式，那么对某事的首要描述将是它的“如何”，而它的变化将是次要的。变化只不过是某事如何的一种变更。但是，相对论和量子理论都表明：这个世界是一个过程史，运动和变化是首要的。除非是在一个非常近似和暂时的意义上，没有东西是“是”。某事是怎样的，或者它的状态是什么，是一种“停滞”的假象。对于某些目的，它可能是有用的。在新物理学中，“过程”比“停滞”更重要更优先，这就要采用新的语汇。事实上，已有一种合适的简洁的语言可用，这就是拓扑斯的语言。

从这个新的观点来看，宇宙由大量事件组成，一个基本事件可被看成是过程的最小部分，是变化的最小单位。但是，不要认为事件是发生在另外的静态物体上的变化。它只是一个变化，如此而已。

事件的宇宙是一个关联的宇宙，它的所有特征都可根据事件之间的关系来描述。两个事件之间可具有的最重要的关系就是因果关系。这与人们听故事时关注的因果关系是相同的。若一个事件A是另一事件B的产生所必需的，则A是B的部分起因。若A没有发生，B就不可能发生。对此可说，事件A是对事件B有贡献的原因。一个事件可能有超过一个有贡献的原因，一个事件也可能对超过一个的未来事件有贡献。

任何两个事件A和B，只有三种可能性：A是B的起因，或B是A的起因，或没有一个是另外一个的起因。第一种情形，A是B的因果过去；第二种情形，B是A的因果过去；第三种情形，两者都不是彼此的因果过去。这样一个宇宙从开始起就有时间的介入。时间

和变化是不可以选择的，因为宇宙是一个故事，并且它是由过程组成的。在这样一个世界中，时间和因果关系是同义的。除了引发一个事件的一系列事件之外，它的过去没有别的意义；除了一个事件将影响的一系列事件之外，它的将来也没有别的意义。

因果宇宙像台计算机

人们可以从信息传递的角度去考虑因果宇宙，每一事件就像一个晶体管，接受来自过去的信息，做简单的运算，将结果输往未来。于是，一个计算就是一种故事，信息首先输入，然后从晶体管向晶体管传递并且偶然被传递到输出端。计算机电路中的信息流动组成了一个故事，在其中事件是计算，因果过程恰好是信息从一个计算到下一个计算的流动。这导致一个很有用的隐喻——宇宙作为一种计算机。但是这种计算机的电路是不固定的，而是作为信息流经的结果，可随时间演化。

人类观测到的宇宙是这样的一个因果宇宙吗？广义相对论告诉人们，它是这样的。广义相对论给出的宇宙描述刚好是因果宇宙的描述，因为相对论的基本课程是：没有东西能够超光速传播。特别地，任何因果效应和信息不能超光速传播。牢记这一点，并考虑宇宙历史中的两个事件。第一个事件是秦始皇修建长城，发生在公元前221年的中国。第二个事件是盎格鲁撒克逊民族的形成，这是发生在公元后5世纪的大不列颠岛。第一事件因果上影响第二事件吗？人们可能会争论马上民族的政治和文化影响，但重要的仅仅是匈奴人的迁徙当然对欧洲的民族融合有影响。于是，中国人修长城与英国民族形成之间，必定有一种信息传递。

还可以问，在电话中交谈时，在从A到B的信号通路中包含了多少事件？或者提一个更复杂的问题：在某个特定时刻的过去，在宇宙的整个历史中发生了多少事件？假如知道这些问题的答案，并也知道在宇宙历史中事件之间因果关系的结构，那么就会知道关于宇宙历史所有要知道的东西。

对于在一个特定过程中有多少事件的问题，可以给出两种答案。一种答案是假设时间和空间是连续的，时间可以被任意精细地划分，而且不存在可能的最小时间单位。牛顿物理假定时间和空间是连续的。但是世界并非一定如此。另一种可能性是时间是以离散的片段而来的，是可数的。

对于通过电话线传播1比特信息需要多少事件这个问题，其答案将是一个确定的数目。它可能是一个非常大的数字，但仍将是一个有限的数字。但是，假如时空由事件组成，并且事件是可数的离散存在物，那么空间和时间本身就是不连续的。假如这是正确的，人们就不能将时间

不确定地划分。最终，人们将会到达基本事件，它不能被进一步划分，因此是可能发生的最简单的事件。正如物质是由可数的原子组成的，宇宙的历史是由大量的基本事件构成的。

已有的量子引力知识指出：时间和空间外观上的平滑性可能是假象；隐含其后的是，世界由一系列可数的分立事件组成。对于这个结论，不同的角度提供了不同的证据，但它们都表明：如果能足够精细地观察世界，时间和空间的连续性确实会消除，就如同材料的平滑性让位于分子和原子的分立世界一样。

在世界的分离结构中，时间和距离的尺度应当是普朗克尺度。它是根据在这个尺度上引力效应和量子现象同样重要而定义的。对于较大的物体，人们可以高兴地忽略量子理论和相对论。但要描述普朗克尺度上的宇宙时，则需要引力的量子理论，别无他法。

普朗克尺度可以根据已知的基本原理来建立，通过把出现在基本定律中的常数（量子理论中的普朗克常数、狭义相对论中的光速、牛顿引力定律中的引力常数）适当地结合在一起而计算得到。普朗克长度为1033厘米，比原子核的尺度小20个量级。普朗克时间是度量基本事件的时间，为1043秒。

由普朗克尺度来看，人的身高是个巨大的数字，有1035个普朗克长度；而人们日常经历的事都是令人难以置信的缓慢，最快的也要超过1040个普朗克时间。眨一下眼所需的基本瞬间数目比珠穆朗玛峰中的原子数目还要大。两个粒子之间最快碰撞所填充的基本瞬间数比现在活着的所有人大脑中的神经元细胞数还要大。可见，以普朗克尺度来观察，人们日常所见的每一件事都变得令人难以置信地复杂。

在拓扑斯理论看来，世界不能被理解为生活在一个固定的、静态的时间和空间背景下的独立实体的集合。作为替代物，它是一个关系的网络，其中每一部分的性质是由它同其他部分的关系决定的。构成世界的关系是因果关系，也就是说，世界是由发生事情的过程所组成的。粒子不是仅仅停在那里的静态物体，而是在它们相互作用的事件之间携带少量信息，并引发新过程的过程。这更像是一个基本的计算机操作，而不是传统的永恒原子的图像。

这就是没有点的时空观，基于拓扑斯理论的新时空观。把拓扑斯理论应用于物理研究的先驱是女数学家恰亚拉(Marisa Dalla Chiara)与数学物理学家马科波洛卡拉尔马拉(Fotini Markopoulou –Kalalmara)。在国际上，拓扑斯理论已成为一个非常红火的研究领域。这个研究领域的发展过程表明，不同背景、受不同教育熏陶的人走到一起，合力推进研究前沿之际，也就是

科学高速向前发展之时。

理论物理学家和数学物理学家之间的关系并不总是这么融洽的。他们的关系跟最先探索到荒野的拓荒者和紧随其后把土地围起来、进行耕种的农民之间的关系很相似。“数学农民”需要把事情全都定下来，然后再来慢慢确定某一思想或者某一结果的精确边界。“物理学拓荒者”则喜欢带有自然野性的东西。理论物理学家和数学物理学家都倾向于认为自己的那部分工作是实质性的。事实上，尽管数学家和物理学家工作和思考的方式不同，但是他们学着相互交流，相互协作对于科学研究来说是不可缺少的。就像在广义相对论中所发生的那样，量子引力需要新的观念和新的计算方法，同样它也需要像拓扑斯这样的新数学。

拓扑斯理论，或宇宙学的逻辑，也是了解人类世界的正确逻辑。它必定也是经济学、社会学和政治学的正确基础。宇宙理论和社会理论都能以一个简单事实作为自己的基础，这个事实就是所有观察者都包括在被其观察研究的系统的内部。

一些乐观的学者认为，在不久的将来，新的物理学即将替代相对论和量子论。有人说，在本世纪的下半叶，基于拓扑斯理论的量子引力理论会写进中学教科书中。生活在新时代的孩子一定很幸福，他们会念到逻辑上更简单的教科书。科学不是朝着逻辑上更简单的方向前进，又会怎样呢？

附录一：
三次数学危机发展及解决办法

数学是科学之首。一切科学，如果缺乏数学的参与，都将不成其为科学。然而一切科学，包括数学，均产生于人类大脑的思维，而人类思维的奥秘，又均经过语言，最终直达逻辑，所以，事实上，数学与逻辑，天然地具有着内在最深邃的渊源。
历史上的数学，经过近代数学史家的总结认为，至少曾发生过三次最大的危机，每一次危机都可能给数学的发展带来巨大的推进，但有时也可能带来巨大的困境。例如公元前发生的第一次数学危机，由于无理数的发现，导致了不可通约性（整数）的危机，这次危机大大推进了古典逻辑和欧几里得几何学的发生和发展；十七世纪发生的第二次数学危机是实数的危机，由于负数的开方形成了虚数的不可直观性，又由于连续与离散的矛盾性带来了无穷大和无穷小等问题的不可直观性，等等，这次危机大大推进了数学分析，例如微分方程论、函数论，乃至集合论等等的巨大发展。第三次数学危机是涉及整个数学基础的危机，发生于十九世纪末和二十世纪初，关于这次的危机，有一本著名的书专门加以论述，即M．克莱因的《数学：确定性的丧失》（

湖南科学技术出版社，第一推动丛书，2000年版）。
十九世纪末是人类近代数学思想发展最活跃的时期，种种不同的数学思想流派互相竞争，纷纷对数学的精确性、严密性的基础进行不同方面的延拓和加固。人们雄心勃勃，都想以自己的方式一统全人类数学的江山。例如，以弗雷格、罗素为代表的逻辑主义学派，以布劳威尔、魏尔为代表的直觉主义学派、以希尔伯特为代表的形式主义学派、以庞加莱为代表的约定主义学派，以及以康托的集合论为基础的集合论公理化学派，等等。然而，所有这些学派的统一全部数学系统的雄心壮志，全都在第三次数学危机的袭击中化为了泡影。
第三次的数学危机导源于数理逻辑学与集合论中一系列悖论的发生，最早引起震动的是由罗素提出的悖论。其实，这种悖论在过去早就存在，只不过人们并不把它们看得那么严重罢了，而罗素悖论的出现则不然，它使不少的数学家简直感到了数学基础的“天塌地陷”。例如著名的数理逻辑学家弗雷格，在他得知罗素悖论的消息之后，在他刚出版的《算术的基本法则》第二卷的跋中写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础却垮掉了。这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于了这种境地。”与此几乎同时，另一位著名的数学家戴德金，也把准备付印的《连续性及无理数》一书的第三版抽了回来，他同样也感到了罗素悖论对整个数学基础的冲击。第三次数学的危机发生了深远的影响，可以说直到今天，它的阴云仍旧笼罩在人类数学思维领域，甚至全部人类科学思维领域的上空。
关于悖论的产生，人们归纳出了很多方面的原因。罗素认为关键在发生了无限“恶性的循环”，庞加莱认为关键在概念的定义中运用了“非直断性的语句”，魏尔则认为，困难的根源在于无穷集合和无限程序中所用到的无穷概念，魏尔甚至因此而认为，数学本来就是关于无限的科学，等等。
我认为，所有上述关于产生悖论的原因的回答，均没有说到问题的关键，或要害，真正问题的关键，或要害在于，迄今为止，人类的数学语言，甚至人类所有的自然语言，全都是基于二元性的逻辑的语言。这种基本逻辑的二元性，才是产生一切所谓悖论的根本原因。正是因此，逻辑主义学派仅仅基于二元论逻辑就想统一全部的数学，这是显然的梦想，所以在这场危机中，逻辑主义者失败得最惨，形式主义者也好不到哪里去，惟一可以有一点自我安慰的是直觉主义者，但他们的语言，其实也同样深深地扎根于二元论逻辑的土壤之中，如

果认识不到这一点，他们也照样难有大的数学进展。真正想要摆脱这次危机阴云的笼罩，惟一的路，只能是彻底打破对二元论逻辑的依赖，尤其是必须彻底地抛弃排中律对于人类思维的禁锢。我的主张是，用三全律，或索性用老子的“三生万物”律取代排中律，这是后话，以后再论。
1931年哥德尔提出了关于几乎全部数学系统的不完全性定理的证明，可以说，他基本上对第三次数学危机作出了最好的总结。实际上，这种总结不仅可以针对全部的数学，也同样可以针对人类全部的语言。这是因为，它们全都共同基础于二元论的逻辑系统。说白了，只要我们继续坚持二元论的逻辑，我们的数学，同样也包括我们的语言，就必然会存在它们系统内在的某些不可判定性的问题。换言之，就是必然会存在某些发生悖论的问题，即：既真又假，既是又非。显然，这是对人类迄今为止一直奉为圭臬的形式逻辑中的排中律的最直接的否定，也正是因此，克莱因称其书名为：《数学，确定性的丧失》。
随着第三次数学危机的发生，人们对于数学基础的严密性的重视达到了几乎无以复加的程度，但由于二元论逻辑的依然故我，数学发展的速度大大降低，同时，数学思想深化的进度也同样大大趋缓。人类数学的发展事实上已经进入了全面停滞发展的胶着状态，甚至直到今天，也依然是如此。请问今天的世界，尚有谁，可以称之为真正伟大的数学思想家呢？这样的大思想家今天有吗？
另一方面，由于数理逻辑学的产生和发展，以及基于二元论逻辑运算的电子计算机的突飞猛进，电脑运算的非常高速化的技术，大大弥补了，同时也大大掩盖了人类大脑数学思维的学术深度发展的不足。到了21世纪的今天，电子、激光等等的数字化技术全面开花结果，这种“科学技术”大大发展和推广的异象，例如今天高度发展的网络技术、全方位广泛推行的数字化技术，等等等等，人类愈来愈依赖电脑的快速方便的计算力量，而在不知不觉中却渐渐忘记了继续挖掘人脑自身的潜能，实际上，这已经大大阻碍了人类数学思维的更深入创新和发展的可能。也正是在这个时候，1976年，美国的数学家利用电子计算机来证明了“四色猜想”的问题。可以说，这是反映了上述时代状况以及数学思维形势的一个典型的事例。它通过数百亿次的电脑的简单判断号称“证明”了“四色猜想”问题。如果按照直觉主义数学家对“证明”的理解，这种利用电子计算机的“证明”可以认为是非法的，甚至可以认为是应该加以否定的。因为它不是人类通过构造性的有限步骤的蕴涵推理来

达到的“证明”。数百亿次的判断，对于人类来说，已经远不能说是“有限的”步骤，而且在这里，电脑的活跃事实上掩盖了人脑的懒惰和无能。
怪不得有人会认为，终有一天，机器（电脑）会变得比人类更聪明。例如美国的数学家库克即曾如此认为（见《现代数学史》，内蒙古人民出版社，1982年版）。当机器全面变得比人类更聪明之日，实际上也就是人类全面自我灭绝之时。这种关于人类总危机的预言是否有点危言耸听呢？我认为，这并不是完全不可能的。
当人对人的恶发展到极点之时，同时又当机器（电脑）的聪明程度发展到远远超过人类之时，由于用进废退的原理，人类的大脑实际上已经摆脱不了对电脑的依赖，甚至人脑自身也已经丧失了自然进化的任何可能，这时，人类的自我灭绝，恐怕就是难以避免的了。
虽然哥德尔早就说过，人永远要对电子计算机说最后一句话，但问题在于，这说最后一句话的人究竟是聪明的善人呢，还是愚昧的恶人呢？
用哥德尔的理论来说，这仍旧是个“不可判定的问题”。但我要说，这对二元论的数学和语言来说虽然是个“不可判定的问题”，然而，如果对今后人类有可能发明和创造的三元论的数学和语言来说，它或许就已经是个“可以判定的问题”了。当然，这也可能只是我的一种希望。
但我不光只是在“希望”，我也在行动。当我今天用我自己的大脑来破解“四色猜想”，并从而以尽可能的力量来摆脱人类对电子计算机的思维依赖的时候，正也是我力求解决题目中所述种种“危机”的第一步。为此，我希望得到我的同胞，以及全人类的理解和支持。
第一次数学危机
历史背景
毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。不过要注意的是，在那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认识的只是「有理数」。
有趣的有理数
当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。对于整数，在数在线我们可以知道是一点点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有1/2，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完全填满整条数线，「有理数」就是等于一切数，可惜这个想法是错的，因为……
勾股定理（毕氏铁拳）
伟大的时刻来临了

，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的勾股定理（其实中国于公元前一千一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。亦即是说有理数并非一切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心中的信念完完全全被破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在当时的数学界来说，是一个极大的震撼，也是历史上的「第一次数学危机」。
新的一页
原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不完备性，亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明的事实，是不能否定的。面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终于被填满了。
不过，第二次数学危机又将要来临了！

第二次数学危机
「飞矢不动」的吊诡
古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张「存在是静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。」至于这个主张的理念，不是我们的讨论范围，不过，这个学派的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻象，提出了「飞矢不动」的「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间都是静止的，又怎可能动呢？
数学——打破吊诡的武器
当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数学家们要从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。所谓动是指有速率，而速率便是所走的路程和所用的时间的比，换句话说，要证明箭在每一瞬间都是动即，要证明箭在每一瞬间都有速率，但这是一个难题，因为如何找出每一瞬间的速率呢？
无坚不摧——微积分
要解决每一瞬间的速率（以下称瞬时速度）的问题，伟大的数学家和物理学家——牛顿（1643–1727），发现了一件无坚不摧的武器——微积分，其中微分便正好可以计算出物体的瞬时速度。这个发现震惊了整个数学界和物理学界，而且除了瞬时速度，微积分更在不同方面有广泛的应用，并得到了瞬速的发展。不过，好境不常．．．
既不是零又不是非零？
因为微积分必须要考虑所谓「无穷小量」的问题，所谓「无穷小量」是指一个「非零而又极接近零的量」，而所谓「极接近零」是指这个量「与零之间不容许有任何空间和距离」，换句

话说，「无穷小量」是一个既不是零又不是非零的量，那么，「无穷小量」是零吗？如果解不到这个问题，所谓无坚不摧的微积分，便无立足之地，一切由微积分所得出来的完美的数学和物理学上的结果也付诸流水，所以数学史上称之为「第二次数学危机」。
化危为机
数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家的不朽格言。另一位伟大的数学家柯西（1789–1857），重新建立微积分学的基础——数学分析。数学分析是透过一套严格的「数学语言——ε–语言」来说明甚么是变量、无穷小和极限等的概念和定义，解决了甚么是既不是零又不是非零的问题，而这次的危机亦安然渡过，并为数学的大家庭增添了一位成员「数学分析」，也提醒了数学家们要继续要求严格，不可松懈。
不过，第三次数学危机将要置数学于死地！

第三次数学危机
一个有趣的故事
在村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，那么，他给不给自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他给自己刮脸，由于他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢？
数学和哲学界的巨匠——罗素
以上的故事就是著名的「罗素悖论」。罗素（1872–1970）是英国著名的哲学家和数学家，曾获得诺贝尔文学奖金。他想把算术系统全归结于逻辑，所以他与怀海德合作写的一本巨著《数学原理》。
理发师的威力
罗素的悖论确是给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼了一盆冷水，但这个理发师的力量有多大，竟然可以推倒数学大厦呢？在较高等的数学里，我们会把整个数学的基础纳入「集合论」之中，换句话说，集合论便是数学大厦的基石，所以当集合论中出现矛盾时，建基于此之上的数学大厦也会站不住脚，而罗素的悖论却是向着这个基石作出致命的一击，这个「自己既要属于自己又同时不属于自己」的矛盾是在集合论中的矛盾，也就是在数学基础中的矛盾，只要矛盾一日存在，数学大厦也不可稳固，更会在倒塌的危机，这个也是数学的第三次危机。
解铃还须系铃人？
罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者，罗素在他的著作之中提出了层次的理论以解决这个矛盾，使得「自己既要属于自己又同时不属于自己」不可能出现。不过，这个层次理论十分复杂，所以数学家要把这个方法加以简化，而先提出的人是策墨罗，他提出了「有限抽象

原则」和几条公理，及后再由弗兰克和斯柯伦的补充修改，仍成现在在数学上较为流行公理系统——「ZFS公理系统」。这样不单只解决了罗素的悖论，令数学从回到严紧和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——「数学基础」有着迅速的发展。
数学危机的启示
在这三次的数学危机中，我们可以看到数学的发展跟面对问题和正视困难是离不开的，透过克服一次又一次的困难而得到「成长」和完善，越是不怕艰辛，收获便越大。第一次数学危机使人类突破有理数的局限；第二次数学危机从提数学的严紧性和诞生了新的数学分支；第三次数学危机警醒人除了发展各式各样不同的分支以外，还得回看数学的根基本身，使数学迈向更完备。然而，成功并非一朝一夕，必须经历无数的挫折和失败，伤心和失望满布成功的路上，但只要不放弃，成功依然是可以达到的。另一方面是要从危机中的学习，学习如何应付之余，还要学习如何避免再次陷入危机之中。

附二：　哲学逻辑学概观：

逻辑学是研究推理的一门基础学科，它描述推理实践，也编制推理系统。逻辑学是自身独立的学科，历史悠久，无须寄生于任何其他学科，当然也不反对借用其他学科的方法。由于不断地进行推理是科学赖以生存的根本，故而逻辑学的概念和方法在许多其他领域中都有用。伴随科学、技术和生产的发展，本学科也在不断地发展着。现代逻辑科学发展极其迅速，今天已成为一门具有众多分支的学科。它在科学技术和哲学学科发展的洪流中不断革新内容，开拓领域，并且日益显示其重要的理论意义和实用价值。逻辑学在数学、哲学、语言学和计算机科学中有着广泛而重要的应用。为了促进哲学学科解决现实中带有理论性的深层次问题，我们必须加强哲学各分支学科的基本理论研究，更要加强现代逻辑基本理论的研究。没有现代逻辑基本理论的武装，要想培养出学贯古今中外的大哲学家是不可能的。
现代逻辑基本理论是多方面的，大致可以从以下四方面来看。一是数理逻辑方面，包括：一阶逻辑、高阶逻辑、模型论、证明论、递归论和公理集合论。二是哲学逻辑方面，包括经典逻辑的各种扩充和其他各种非经典逻辑，例如模态逻辑、时态逻辑、多值逻辑、相干逻辑、直觉主义逻辑和弗协调逻辑等。三是逻辑学和数理语言学的交叉方面，包括逻辑句法、蒙塔古语法、范畴语法和自动机理论等。四是逻辑学和计算机科学的交叉方面，包括动态逻辑、逻辑程序和人工智能中的逻辑等。
数理逻辑方面的分支相对来说是比较成熟的，但即使

如此也出现了一些新的发展。一阶逻辑通常的系统叙述要使用个体变项，现在有一种不用个体变项的记法，这种无个体变项的系统仍保留了原有的表达能力，并在某些方面更接近普通推理。七八十年代还提出了一阶逻辑语义的一种动态解释。此外，由于在一阶逻辑的许多应用中仅涉及一阶语言的一部分，从而推动了对一阶逻辑的一些子系统的研究。例如，一元谓词逻辑（公式中只能有一元谓词而不能有其他多元谓词或函项的逻辑），全称子句，以及Horn子句等的研究。Horn子句逻辑是高级程度语言Prolog的基础，Prolog在人工智能研究的许多领域（如数据库、定理自动证明、智能问题求解等）中都有应用。高阶逻辑中的类型论和λ演算在自然语言的语义研究中越来越显示出它们的优越性，λ演算还为人工智能语言Lisp奠定了基础。应计算机科学发展的需要，模型论中专门研究有穷模型的有穷模型论也在七八十年代发展起来，模型论中原有的某些概念和技术不能完全适应有穷模型论的要求，一些重要定理将不再成立，其他一些结果的论证必须引用更巧妙的组合性质。证明论也不甘寂寞，首先是联结词的证明论意义几乎发展成专门的意义理论，对于直觉主义逻辑以及更一般的构造性逻辑尤其是如此。然后是有许多更有意思的逻辑演绎表述方式需要研究，例如采用无变项记法的一阶逻辑系统所带来的表述方式。递归论方面于六十年代中期发展起来的计算复杂性理论对于判定过程的精细结构的研究越来越深广，研究范围已开始涉及自然语言中的一些递归过程。公理集合论方面自1963年柯恩提出力迫法以来又有了长足的进展，提出了一批有用的新公理（如马丁公理、正常力迫公理），证明了很多集合论问题对于ZFC系统的独立性；特别是，这种独立性证明进入了不少其他数学领域，从根本上影响着不少重要数学问题的答案，公理集合论越来越显示出它在数学研究中的基础性地位。
哲学逻辑方面的分支一般都以命题逻辑、谓词逻辑为基础，与传统哲学中的概念、范畴和问题有直接或间接的联系。从目前来看，计算机科学中的逻辑学研究虽很引人注目，各种系统五花八门，但研究大都还不很成熟。因此，哲学逻辑仍可说是各种非经典逻辑分支的统称。
历史上很早对非经典逻辑就已有过研究。例如，古希腊的亚里士多德研究过模态逻辑，第欧多鲁?克罗纳的著作中包含有时态逻辑的思想。现代对非经典逻辑的研究是从1910年开始的。80多年来，非经典逻辑分支的涌现有过三次高潮时期。第一次是二三十年代，刘易斯建立模态命题逻辑，卢卡西维茨和波

斯特建立多值逻辑，海丁建立直觉主义逻辑。第二次是五十年代，道义逻辑、认知模态逻辑、问题逻辑、相干逻辑、自由逻辑、时态逻辑和弗协调逻辑等都在这一时期出现，代表人物是赖特、普赖尔、阿克曼和欣迪卡等。第三次是80年代，动态逻辑、模糊逻辑和非单调逻辑在这一时期掀起了一个高潮，代表人物是计算机科学方面的一些专家。每次高潮持续十多年，间隔约二十年。第二次高潮是由模态逻辑可能世界语义理论的发展所推动的，第三次高潮则是由计算机科学的发展所推动的。
非经典逻辑的门类很多，大致有两大类。一类是在经典逻辑中增加其他初始概念，成为经典逻辑的扩充系统。例如，模态逻辑中有模态词“必然”、“可能”；时态逻辑中有关于时态词“过去”、“将来”等的算子；在认知模态逻辑中有关于“知道”、“相信”等的算子。属于这一类的还有条件句逻辑、道义逻辑、问句逻辑和动态逻辑等。另一类主要是对通常说的逻辑常项（命题联结词和量词等）的解释不同，而成为与经典逻辑不同的逻辑。例如，直觉主义逻辑对联结词和量词都作构造性解释；相干逻辑认为蕴涵的前后件应具有相干性，也就是说将蕴涵解释成相干蕴涵；弗协调逻辑虽是为了处理不协调性而提出来的，但在具体系统的建立时往往是将否定解释成弗协调否定，故也可看成属于这一类的。属于这一类的还有多值逻辑，包括模糊逻辑。我建议用“异释逻辑”作为第二类的通称。
随着逻辑研究中多元化倾向的加强，也就是说承认可以选择多种方式来定义有效推理和逻辑常项，并且不指望将人类多种多样的认知方式归结为单一的标准方式，哲学逻辑方面的分支得到了越来越多的重视和发展。七八十年代是模态逻辑发展的黄金时代，取得了很大发展，出现了许多系统，弄清了克里普克关系语义、正规邻域语义、一般关系语义和模态代数语义四者之间的关系，建立起了三大理论支柱：完全性理论、对应理论和对偶理论。七八十年代模态逻辑在可证性解释、多值模态逻辑和直觉主义模态逻辑等其他方面也都有较大的发展。模态逻辑的大发展也推动了哲学逻辑其他分支的发展。例如，时态逻辑在最近十多年中，通过对传统方法的改进，建立了各种更加丰富的新系统，解决了相对于G和H、G′和H′、以及S和U等时态算子的极小系统问题，发现了许多不完全的时态逻辑公理系统，提出了改进传统时态逻辑局限的各种措施，在理论上和应用（尤其在程序设计中的应用）上都有许多问题等待研究。直觉主义逻辑近三十年来的发展较快，获得了很多重要成

果，七八十年代一些逻辑学家在拓扑层（sheaves）和拓扑斯（topoi）的基础上提出了更为普遍的拓扑解释，在构造性数学中取得了成功的应用，与电子计算机的设计和改进有着密切的联系，研究前景可观。相干逻辑在七、八十年代也有发展，解决了一些相干逻辑系统的判定性问题，证明了R和E都是不可判定的命题逻辑系统，简化了相干逻辑的克里普克式关系语义，相干模态逻辑和直觉主义相干逻辑都已开始有研究.
总的说来，一般趋势是承认多元化倾向，在继续深入研究已有逻辑系统的同时不断为适应新的需要建立新系统，提出新型的语义解释，积极开辟新的研究领域。学者们在研究中较倾向于考察现存系统的子系统，力图以较低的表达能力和有限的演绎手段来作更多的事情。他们重视研究已往一些证明方法中被忽略的细节，以此来加深对它们的认识；他们也较感兴趣于逻辑中的构造性证明，尤其是那些有可能实施计算的证明。