第13讲稳定判据和裕度

对于给定的系统，只有静态误差常数是有限值，才有 意义。
当 趋近于零时，回路增益越高，有限的静态误差常 值就越大。
系统的类型确定了低频时对数幅值曲线的斜率。 因此，对于给定的输入信号，控制系统是否存在 稳态误差，以及稳态误差的大小，都可以从观察 对数幅值曲线的低频区特性予以确定。
4
静态位置误差常数的确定
1
图5-32 j(1 jT ) 极坐标图
29
5.3.4 传递延迟 G( j) e jT G( j) 1 cosT j sin T
Im
e jT
Im
1 00Re当 1T时，
1
1 jT
0
Re
低频区
e jT 1 jT 低频时传递延迟与一阶环节的特性相似
1 1 jT 1 jT
当 1 时 两者存在本质的差别 30
1 1型系统：在总的相角中 90 的相角是 j 项产生的
0 极坐标是一条渐近于平行与虚轴的直线的线段
幅值为零，且曲线收敛于原点，且曲线与一个 坐标轴相切。
31
2 2型系统：
nm2 在总相角中180 的相角是由 ( j)2 项产生的
nm3
Re 0
如果 G( j) 的分母多项式阶次
极坐标图上，距原 点最远的频率点，
相应于谐振频率 r
这时 G( j) 的峰值
-3
-4
-5
n
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
可以用谐振频率 r
处的向量幅值，与 0 处向量幅值之比来确定。
19
过阻尼情况
当 增加到远大于1时，
G( j) 的轨迹趣近于半圆。这是因为对于强阻
尼系统，特征方程的根为实根，并且其 中一个根远小于另一个根。对于足够大
5
n
n
(1
2 n2
)
j( 2 ) n
4 3
Imaginary Axis
极坐标图的低频
部分为：
2
Nyquist Diagram
G( j0) 1 0
极坐标图的高 频部分为： G( j) 180
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-31 二阶因子
1 2 ( j ) ( j )2 极坐标图
G(
j)
1
2 (
j
1
)
(
j
)2
,
0
n
n
Nyquist Diagram
0
n
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-30 二阶因子极坐标图
18
对于欠阻尼
当 n 时
G( jn )
1
j2
相角
G( j)
90
Nyquist Diagram 0
-1
0
-2
Imaginary Axis
的轨迹与虚轴交点 处的频率，就是无 阻尼自然频率n
a Ka
1
( 对数坐标 )
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20
log
(
Ka
ja
)2
20log1 0
a Ka
11
5.3极坐标图(Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线
G( j)可用幅值 G( j) 和相角()
的向量表示。当输入信号的频率
由零变化到无穷大时，向量 G( j)
图5-29 一阶因子 G( j) 1 j 极坐标图
17
5.3.3二阶因子
0
G( j0) 1 0
-1
G( j) 0 180
G( j)
-2
Imaginary Axis
的高频部分与负实轴
-3
相切。极坐标图的精
-4
确形状与阻尼比有关，
但对于欠阻尼和过阻
-5
尼的情况，极坐标图
的形状大致相同。
-6 -3
在右半s平面内既无极点也无零点的传递函数 非最小相位传递函数
在右半s平面内有极点和（或）零点的传递函数
最小相位系统 具有最小相位传递函数的系统
非最小相位系统 具有非最小相位传递函数的系统
请看例子
3
5.2.7 系统类型与对数幅值之间的关系
考虑单位反馈控制系统。静态位置、速度和加速度误差 常数分别描述了0型、1型和2型系统的低频特性。
T
5.3.5
极坐标图的一般形状
G(
j)
(
K (1 j 1)( 2 j 1) ( m j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
1)
j 1)
nm
Im
0 0型系统：极坐标图的起点
0
0
2型系统
0
1型系统
0型系统 0
0 是一个位于正实轴的有限值
Re
极坐标图曲线的终点位于坐 标原点，并且这一点上的曲线与一 个坐标轴相切。
的 值，比较大的一个根对系统影响
很小，因此系统的特征与一阶系 统相似。
20
Nyquist Diagram 0
-1
-2
Imaginary Axis
-3
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
21
Nyquist Diagram 0
-1
Imaginary Axis
-2
-3
0.2
1)
j 1)
G( j) 在低频段等于 K p ，即
lim
0
G(
j)
K
p
5
30 20logK cf1_dB=23.5218252
20 -20dB/dec
10
cf2_dB=9.5424251
0
-10
-40dB/dec
-20
-30
cf3_dB=-30.4575749
-40
10-1
100
101
G(s)
n
n
26
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 6
5
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-31 二阶因子
1 2 ( j ) ( j )2 极坐标图
n
n
27
例5-2 考虑下列二阶传递函数：
G(s) 1 s(Ts 1)
试画出这个传递函数的极坐标图。
解： G( j)
C(s) G(s)
H(s)
图3-35 闭环系统
为了保证系统稳定，特征方程 1 H (s)G(s) 0 充要条件
的全部根，都必须位于左半s平面。
虽然开环传递函数 H (s)G(s)
的极点和零点可能位于右半s平面， 但如果闭环传递函数的所有极点均位 于左半s平面，则系统是稳定的。
34
奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应
15
图5-22 某一0型系统对数幅值曲线
6
(s 1)(0.2s 1)
静态速度误差常数的确定
图5-23为一个1型系统对 数幅值曲线的例子。
斜率为 20dB / dec的起始线段/或其延长线，与 1
的直线的交点具有的幅值为 20 log Kv 证明 在1型系统中G( j) Kv , 1
第13讲
程向红
典型环节的极坐标图 奈奎斯特稳定判据
对数稳定判据和稳定裕度
1
第5章 线性系统的频域分析法 Frequency-response analysis
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为频域分析法。 频域分析法
频率特性及其表示法 典型环节的频率特性
稳定裕度和判据
频率特性指标
2
5.2.5最小相位系统与非最小相位系统 Minimum phase systems and non-minimum phase systems 最小相位传递函数
-10
-20
-30
-40
-50 -180
-135
-90
-45
Open-Loop Phase (deg)
图5-34 二阶因子对数幅-相图
0
33
5.5奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion)
闭环传递函数为
C(s) G(s) R(s) 1 H (s)G(s)
R(s)
在伯德图上 log 1 log 3 log 3 log 2
9
3 点恰好是2 点与 1 点的中点
静态加速度误
dB
差常数的确定
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其
0
延长线，与 1
的直线的交点具 有的幅值为
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
a Ka
1
( 对数坐标 )
n m 1
高于分子多项式阶次，那么 图5-34b高频区域内的极坐标图
G( j) 的轨迹将沿者顺时针方向收敛于原点 当 时， G( j) 轨迹将与实轴或虚轴相切
32
5.4对数幅-相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图
Nichols Chart 20
10
0
Open-Loop Gain (dB)
H ( j)G( j) 与 1 H (s)G(s)
在右半s平面内的零点数和极点数联系起来的 判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广 泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特 性曲线，均可用来进行稳定性分析
的幅值和相位也随之作相应的变化， 其端点在复平面上移动的轨迹称为极 坐标图。 在极坐标图上，正/负相角是从正实轴开 始，以逆时针/顺时针旋转来定义的
12
采用极坐 标图的优 点是它能 在一幅图 上表示出 系统在整 个频率范 围内的频 率响应特 性。
Imag Axis
2
Im
1
Re[G( j)]
0
-1 G( j)
G( j) j
-3
90
-3.5
-4
所以
G( j)
1
j
-4.5
-5
的极坐标图是
-3
负虚轴。
G( j) j
的极坐标图是正虚轴。
Nyquist Diagram
0
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-26 积分因子极坐标图
14
Imaginary Axis
Nyquist Diagram 5
4.5
图5-24 某2型系统对数幅值曲线
20 log Ka
证明
G(
j)
(
Ka
j)2
,
1
20 log
(
Ka
j)2
1
20 log
Ka
10
dB
斜率为 40dB / dec
的起始线段/或其延长线与 0分贝线的交点的频率为
0
a 在数值上等于 Ka
的平方根 证明
40dB/ dec 60dB/ dec 20dB/ dec
j
斜率为 20dB / dec 的起始线段/或
20 log
Kv
j
1 1
20 log
Kv
其延长线与0分贝线的交点的频率在数值上等于 K v
证明 设交点上的频率为1
Kv 1
j1
Kv 1
7
30
-20dB/dec
20
2
10
0
2 -40dB/dec
1
-10
3
-20
-30
-40
0
1
2
10
10
10
8
G(s) K s(Ts 1)
Imaginary Axis
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
24
Nyquist Diagram 0
2
-1
0.4
-2
0.3
-3
0.2
Imaginary Axis
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
25
6
对于
G( j) 1 2 ( j ) ( j )2
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
22
Nyquist Diagram 0
-1
-2
0.3
-3
0.2
Imaginary Axis
-4
-5
0.1
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
23
Nyquist Diagram 0
-1
0.4
-2
0.3
-3
0.2
30
-20dB/dec
20
2
转，角频率为 2 斜率为 10
0
40dB / dec 的直线
与，/或其延长线与0分
-10
贝线的交点为 3
-20
由此得到 1 Kv K
-30
2
1 T
32
K T
-40
0
10
2 -40dB/dec
1
3
1
2
10
10
12 32
图5-23 某个1型系统对数幅值曲线
1 3 3 2
1
j(1 jT )
G( j)
1
1
90 arctgT
j(1 jT ) 1 (T )2
极坐标图的低频部分为：
G( j0) 90
极坐标图的高频部分为：
G( j) 0 180
28
Nyquist Diagram 0
-1
-2
Imaginary Axis
-3
-4
-5
-6
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
R(s) + -
E(s)
G(s)
C(s)
假设系统的开环传递函数为
G(s)
K (T1s 1)(T2s 1) (Tms 1) s (T1s 1)(T2s 1) (Tn s 1)
图5-21单位反馈控制系统
G(
j)
(
K (T1 j 1)(T2 j 1) (Tm j j) (T1 j 1)(T2 j 1) (Tn
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
Real Axis
图5-27 微分因子极坐标图
15
5.3.2一阶因子
G( j) 1 1 jT
1
arctgT
1 (T )2
G( j0) 1 0
G( j 1 ) 1 45 T2
G( j) 0 180
Imaginary Axis