反常积分的几种计算方法

反常积分的几种计算方法 This manuscript was revised on November 28, 2020

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1反常积分的定义 (1)

无穷积分的定义 (1)

瑕积分的定义 (2)

2 反常积分的计算方法 (3)

利用Newton—Leibniz公式计算反常积分 (3)

利用变量替换法计算反常积分 (3)

利用分部积分法计算反常积分 (5)

利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)

利用方程法计算反常积分 (7)

利用级数法计算反常积分 (9)

利用待定系数法计算反常积分 (10)

结束语 (11)

参考文献 (11)

反常积分的几种计算方法

摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.

关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法

Several calculation methods of abnormal integral

Abstract : This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.

Keywords : Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral; Series method; the method of undetermined coefficient

0前言

反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。本文不仅介绍了常见的三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法，还介绍了分段积分自我消去法、方程法、级数法和待定系数法等一些在解决问题时较适用的方法，通过引用一些经典例题使我们对这些方法有更加深刻的认识。但是在解决具体问题时要求我们注意各种方法的灵活性与相互渗透，这样可以简便计算。

1反常积分的定义

无穷积分的定义

定义1设函数f 定义在无穷区间[)+∞,a 上,且在任何有限区间[]u a ,上可积,如果存在极限

⎰

=+∞→u

a

u J dx x f )(lim

, )1(

则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作

⎰+∞

=a dx x f J )(,

)1('

并称⎰+∞a

dx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称⎰+∞

a

dx x f )(发散.

类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分：

⎰

⎰

-∞→∞

-=b

u

u b

dx x f dx x f )(lim

)(.

)2(

对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：

dx x f dx x f dx x f a

a

⎰⎰

⎰

+∞

∞

-+∞

∞

-+=)()()(. )3(

瑕积分的定义

定义2设函数f 定义在区间(]b a ,上,在点a 的任一右领域上无界,但在任何内闭区间[](]b a b u ,,⊂上有界且可积.如果存在极限

⎰

=+→b

u

a u J dx x f )(lim

, )4(

则称此极限为无界函数f 在(]b a ,上的反常积分,记作

⎰=b

a dx x f J )(, )4('

并称反常积分⎰b a

dx x f )(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分⎰b

a

dx x f )(发散.

在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分⎰b

a dx x f )(又称为瑕积分.

类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分：

⎰⎰

-→=u

a

b

u b

a

dx x f dx x f )(lim )(. )5(

其中f 在[)b a ,有定义,在点b 的任一左领域上无界,但在任何[][)b a u a ,,⊂上可积.

若f 的瑕点()b a c ,⊂,则定义瑕积分

=⎰⎰+-→→+b

v

c

v u

a

c

u dx x f dx x f )(lim )(lim .

)6(

其中f 在[)(]b c c a ,,⋃上有定义,在点c 的任一领域上无界,但在任何[][)c a u a ,,⊂和

[](]b c b v ,,⊂上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是

收敛的.

又若b a ,两点都是f 的瑕点,而f 在任何[]()b a v u ,,⊂上可积,这时定义瑕积分 =⎰⎰-+→→+v

c

b

v c

u

a

u dx x f dx x f )(lim )(lim , )7(