图像置乱

6.3数字图像置乱技术研究
6.3.1图像置乱原理
图像置乱技术属于图像加密技术，它通过对图像像素矩阵的重排，破坏了图像矩阵的相关性，以此实现信息的加密，达到安全传输图像的目的。

图像置乱的实质是破坏相邻像素点间的相关性，使图像“面目全非”，看上去如同一幅没有意义的噪声图像。

单纯使用位置空间的变换来置乱图像，像素的灰度值不会改变，直方图不变，只是几何位置发生了变换。

置乱算法的实现过程可以看做是构造映射的过程，该映射是原图的置乱图像的一一映射，如果重复使用此映射，就构成了多次迭代置乱。

我们假设原始图像为0A ，映射关系用字母σ表示，得到的置乱图像为1A ，则原图到置乱图像的关系，可简单的表示为：
1
0A A −→−σ
例如：原始图像用矩阵0A 表示，置乱后的图像为1A , ij a 代表坐标为(),x y 的像素点的灰度：
⎥
⎥
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31
30
2322212013121110
03020100
0a a a a a a a a a a a a a a a a A ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1200
21
33
11201002300132
03
312322131a a a a a a a a a a a a
a a a a A （6.3.1） 置乱映射σ的元素存在两种形式：一种是序号形式，用()j width i +*表示图像中像素的排列序号；一种是坐标形式，()j i ,表示第i 行第j 列。

则相应的置乱映射σ可表示如下：
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1253720131011511948614σ或者()
()
()()()
()()()()()()()()()()
()⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎣⎡0,31,13,03,12,00,01,32,21,03,33,21,20,10,22,12,3 （6.3.2） 映射τ中的元素表示：原图中该点元素在置乱后图像中的位置。

比如坐标为(0,1)的像素点最后变换到(1,2)这个位置上。

因此使用置乱映射σ进行迭代置乱，原图0A 应用映射τ迭代适当的次数后，能够得到理想置乱图像。

对1A 应用逆置乱映射，还原得到原始图像0A ：
11
0A A −−→−-σ
6.3.2基于变换矩阵的图像置乱
我们一般处理的图片都是平面图片，即所谓的二维图片。

二维数字图像可以看作是平面区域D 上的二元函数D y x y x F Z ∈=),(),,(。

在绝大多数情况下区域D 是一个矩形，对D 中任意的点y x y x ,),,(表示其像素点的位置，而),(y x F 代表图像的信息（灰度图像是灰度值，彩色图像是RGB 分量值等）。

当图像数字化之后，图像),(y x F Z =则对应于数学中的一个矩阵，其元素所在的行与列),(y x 对应于自变量取值，数字图像离散化后是相应于元素之间有相关性的一类特别的矩阵。

通过数学中矩阵的初等变换可以将图像转换为另一幅图像，从而达到置乱的目的，但其置乱作用较差，因为初等变换是整行或整列进行变换，并不是对矩阵中每个点进行变换。

而一些非线性变换则有可能对图像置乱起到较好的作用。

现介绍目前几种常见的图像置乱方法。

1 基于Fibonacci 变换的图像置乱
Fibonacci 变换的基本原理与Arnold 变换一样，只是变换的矩阵稍有不同。

设图像的像素的坐标},1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ Fibonacci 变换为：
)(mod 0111''N y x y x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ （6.3.3） 如图6.1表示380×380的miingxing 图像进行Fibonacci 变换的置乱效果
图6.3.1 fibonacci 算法的置乱图像
Fig.6.3.1Fibonacci algorithm scrambling image
用MATLAB 实现fibonacci 变换置乱的程序如下：
function [ fibonacci ]
i=imread('mingxing.jpg');%进行fibonacci 变换的原图
（a ）原图
(b)7次置乱
(c)30次置乱
k=imresize(i,[380,380]);%把图片尺寸变换成380×380的
j=rgb2gray(k);%灰度化处理
subplot(1,3,1),imshow(j),title('原始图片')
size_j=size(j);
q=size_j;
for t=1:7
for a=1:q
for b=1:q
c=a-1;
d=b-1;
e=mod(c+d,380);
d=mod(c+0*d,380);
m=e+1;
n=d+1;
h(m,n)=j(a,b);
end
end
j=h;
end
subplot(1,3,2),imshow(j),title('7次置乱图片')%输出7次置乱图片for t=1:23
for a=1:q
for b=1:q
c=a-1;
d=b-1;
e=mod(c+d,380);
d=mod(c+0*d,380);
m=e+1;
n=d+1;
h(m,n)=j(a,b);
end end j=h; end
subplot(1,3,3),imshow(j),title('30次置乱图片')%输出30次置乱图片 end
2 基于排列变换的图像置乱
设图像像素的坐标}1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ ，排列变换表示为：
Z k S y x N y x k k y x ∈∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,),(mod 111
'' （6.3.4）
式子（6.3.4）和Arnold 变换的变换方法一样，也只是变换矩阵有些变化，很容易看出：Fibonacci 变换就是式（6.3.4）中，k=0，Arnold 变换就是k=1。

如图6.3.2用大小为380×380的baoba 灰度图像表示置乱效果，假设k=6。

图6.3.2 排列算法（k=6）的置乱图片
Fig.6.3.2 arrangement algorithm scrambling image
3 基于亚仿射变换的图片置乱
设图像像素坐标}1N ,,2,1,0{S y ,x -=∈ ，亚仿射变换为:
(a)原图
(b)1次置乱
(c)10次置乱
Z d c b a S y x N y x d c b a y x ∈∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡,,,,,,),(mod '' （6.3.5） 其中1c b d a ±=⨯-⨯，同样亚仿射变换依然和前面介绍的Arnold 变换方法一样。

只是变换矩阵更加的一般化。

取33d ,7c ,14b ,3a ====，如图6.3.3是用大小为450×450的图像表示其置乱效果。

图6.3.3 亚仿射算法的置乱图片
Fig.6.3.3 The affine algorithm scrambling image
6.3.3基于Arnold 变换的数字图像置乱
Arnold 变换置乱
Arnold 变换又称猫脸变换，设想在平面单位正方形内绘制一个猫脸图像，通过下述变换，猫脸图像将由清晰变的模糊。

矩阵表示即为：
)mod(2111''N y x y x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （6.3.6） )','(y x 是图像中),(y x 的像素变换后的新的位置。

反复进行此变换，即可得到置乱的
图像。

图像的二维Arnold 变换，实现像素位置的置乱，所以经过Arnold 变换处理的图像，其灰度直方图与原图一样。

下面以380×380的renwu 图像进行10次、50次、90次置乱之后的图像，在90次置乱后，又回到原始图像。

(a)原图
(b)10次置乱
(c)50次置乱
(a)原图(b)10次置乱(c)50次置乱(d)90次置乱
图6.3.4 Arnold算法置乱图片
Fig.6.3.4 Arnold algorithm scrambling image
用MATLAB实现Arnold变换的程序如下：
function [ Arnold ]
i=imread('renwu.jpg');%进行Arnold变换的原始图片
k=imresize(i,[380,380]);%图片尺寸变换为380×380的
j=rgb2gray(k);%图片进行灰度化处理
subplot(1,4,1),imshow(j),title('原始图片')
size_j=size(j);
q=size_j;
for t=1:10
for a=1:q
for b=1:q
h(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b);%进行矩阵变换
end
end
j=h;
end
subplot(1,4,2),imshow(j),title('10次置乱图片')%输出10次置乱图片for t=1:40
for a=1:q
for b=1:q
h(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b);
end
end
j=h;
end
subplot(1,4,3),imshow(j),title('50次置乱图片')
for t=1:40 for a=1:q for b=1:q
h(mod(a+b,q)+1,mod(a+2*b,q)+1)=j(a,b); end end j=h; end
subplot(1,4,4),imshow(j),title('90次置乱图片')%输出一个变换周期后的图片
Arnold 变换的周期性
对于数字图像来说,可以将其看成是一个函数在离散网格点处的采样值,这样我们就得到了一个表示图像的矩阵.矩阵中元素的值是对应点处的灰度值。

对于正方形数字图像，我们的离散化的Arnold 变换式（6.3.6），其中N 为图像的宽度和高度，即图像矩阵的阶数。

数字图像经过Arnold 变换后，变得混乱不堪，继续使用Arnold 变换若干次后，会呈现与原图一样的图片，说明Arnold 变换具有周期性。

置乱变换的周期性变换性质，对于研究图像的恢复有积极的作用。

定理6.3.1 给定自然数2>N ，Arnold 变换式（6.6）的周期N m ,是使式（6.3.7）成立的最小自然数n :
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++11)mod (251251512512515
13
2322222N n n n n （6.3.7） 此定理的证明此处不再详细描述。

由定理6.3.1可以得出以下推论：给定自然数
2>N ,Arnold 变换式（6.3.6）的周期N m ，是使式（6.3.8）成立的最小自然数n :
()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11N mod 11n A （6.3.8）
其中
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡=2111A ，N 是图像矩阵的阶数。

由于Arnold 变换具有周期性，不同大小的图像经过一定的迭代变换就可以恢复到原始
图像。

表6.3.1是不同阶数下的图像迭代恢复到原始图像的周期M 。

表6.3.1 各种大小为N N 的图像的二维Arnold 变换周期
N 2 3 4 5
6
7 8 9 10 11 12 16 24 25 周期 3
4
3
10 12
8
6
12
30
5
12
12
12
50
N
32 40 48 49 56 60 64 100 120 125 128 256 380 450
周期 24 30 12 56 24 60 48 150
60
250
96
192
90
300
基于传统Arnold 变换的图像恢复
Arnold 变换具有周期性，当迭代到某一步时，将重复得到原始图像。

传统的Arnold 变换的图像恢复是利用Arnold 变换的周期性。

由图6.3.5可使256×256的renwu 图像进行置乱与恢复（表6.3.1可得图像大小为256×256的周期为192）。

图6.3.5 传统Arnold 置乱的图像恢复
Fig.6.3.5 Traditional Arnold algorithm scrambling image recovery 观察表6.3.1，Arnold 变换的周期与图像大小相关，但并不成正比关系。

例如，对于128×128的数字图像，它的置乱周期为96，即原图要经过96次Arnold 变换之后才能恢复原图。

如果原图已经经过了30次Arnold 置乱，那么，只需再进行（96-30）次即66次Arnold 变换，便可恢复原图；对于已经置乱了200次的图像，要想恢复原图，需要变换的次数为96 - (200 mod 96)=88。

利用周期性进行置乱恢复，方法简单、便于理解和实现。

但是必须知道图像的大小,才能计算出Arnold 变换的周期。

下面命题引出了Arnold 逆变换式，无需知道变换的周期，直接根据置乱次数，即可恢复出原图像。

(b) 置乱192次后的图像
(a) 原图
定理6.3.2 对于变换式（6.3.6）的矩阵A ，如果用逆矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-11121
A 替代，即变成如
下变换：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 1112// （6.3.9）
则式（6.3.9）与Arnold 变换式（6.3.6）周期相同，如果把置乱图像当成输入，则式（6.3.9）可以作为Arnold 逆变换式。

由此式可以通过迭代恢复原图，无需计算变换的周期数，与周期无关。

但是，如果置乱次数很大，同样会增加逆运算的运算量。

所以应根据具体情况选择恢复算法，不能一概而论。

对于置乱次数小的图像，可以采用Arnold 逆变换。

通过Arnold 逆变换算法对置乱图像进行恢复。

程序运行后得到图6.3.6所示结果：
图6.3.6 应用Arnold 逆算法恢复原图
Fig.6.3.6 application of inverse Arnold algorithm
由图6.3.6可以看出置乱图像应用Arnold 逆算法解密后，能够顺利恢复出原始图像。

从以上置乱方法来看，图像置乱只是使图像中的像素位置发生了改变，从而使一幅有意义的图像变成了一幅“杂乱无章”的图像。

重要的是，这种变换一定要有周期性，从而可以保证置乱图像的还原，如果不能保证图像置乱后还原，合法用户也不能提取原有的秘密信息，则图像置乱就失去了原有的意义。

还有很多经典的图像置乱方法，比如图像分存、根据混沌理论的图像置乱算法，离散余弦变换等。

思考题
（a ）置乱图片
(b)置乱恢复
已知图像⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=805020016821024015010017018013070901262068M 。

根据Arnold 置乱算法的原理，试计算出图像M 经过2次置乱后的图像N 。

参考答案：
已知Arnold 置乱变换公式： )mod(2111''N y x y x ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛ N=4，12332)4mod(32)mod(112111m N =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛，1
1441)4mod(322111m =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，1
1221)4mod(142111m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛。

经过计算，得到一次Arnold 置乱变换后的图像1N ： ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8012613010070210502020068170240180150168904413
22
31
2134431242112433
23324114
1m m m m m m m m m m m m m m m m N 同理，根据变换公式得到2次
置乱变换的矩阵N ：⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=8015017020
24070126168130902002106850
100
180144113
122
131121
134143112142111124133123
1
32141114m m m m m m m m m m m m m m m m N。