点群和空间群 ppt课件
点群空间群

[111]
[100]([010])
[110] [110] [001]
[010]
a
2a+b
[001]
[100]
[210]
空间群
利用空间群信息,可以确定原子,离子,分子,原子团的具体排 列位置!尤其对于确定未知相的晶体结构具有重要意义!
空间群的国际符号符号格子类型123pnmapnma第一章晶体几何学基础第六节微观对称与空间群晶系三个位所表示的方向依次列出等轴cabcab001111110四方cabab001100010110斜方abc100010001单斜b010三斜任意方向任意方向三或六方ca2ab001100210123123第一章晶体几何学基础第六节微观对称与空间群空间群利用空间群信息可以确定原子离子分子原子团的具体排列位置
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
7个晶系的划分和 晶体学点群 个晶系的划分和32晶体学点群 个晶系的划分和
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
第一章
晶体几何学基础
第五节
晶系与32 晶系与32点群 32点群
第一章
晶体几何学基础
第六节
微观对称与空间群
空间群的符号 包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。 包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。 国际符号分两个部分:前半部分是平移群的符号, 国际符号分两个部分:前半部分是平移群的符号,即布拉 维格子的符号,按格子类型的不同而分别用字母P 维格子的符号,按格子类型的不同而分别用字母P、R、I、 等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号, C、F等表示之。后半部分则是其他对称要素之集合的符号, 类似于点群符号的表达, 但有的被微观对称要素取代。 类似于点群符号的ห้องสมุดไป่ตู้达, 但有的被微观对称要素取代。 空间群的国际符号
2.2.3点群和空间群

该图形显然具有一个对称中心
因此 3 次倒转轴相当于 1 条 3 次旋转轴加上一个对称中心
3 3i
4 次倒转轴
相当于旋转90后再对中 心反演而图形不变。
这是一个独立的对称操 作。它既没有 4 次旋转 轴也没有对称中心,不 能分解成其他基本对称 要素的组合。
注意这里的 2、6、4、 8 这四个点是不存在的, 也是过渡点。
对称面
对称面是一个假想的平面,相应 的对称操作为对此平面的反映。对 称面就像一面镜子,把物体的两个 相同的部分以互成镜像反映的关系 联系起来。 垂直于对称面作任意直线,位于 直线两侧等距离的两点是性质完全 相同的对应点 晶体中如果存在有对称面,则必 定通过晶体的几何中心并将晶体分 为互成镜像反映的两个相同部分 在结晶学中,对称面一般用符号 “m” 表示。
倒转轴
倒转轴是一种复合对称 要素,由一根假想的直线 和在此直线上的一个定点 组成。相应的对称操作是 绕此直线旋转一定角度以 及对此定点的倒反。 根据晶体对称轴定律,倒 转轴也只有 1 次、2 次、 3 次、4 次和 6 次 5 种
倒反类倒转轴 中,只有 4 次倒转轴是一个独立的基本对称操
点群:在宏观晶体中存在的所有对称要素都必定 通过晶体的中心,因此不论如何进行对称操作,晶
体中至少有一个点是不变的,因此对称型也称为点
群。32点群
特征对称元素与7 大晶系
在32晶体学点群中,某些点群均含有一种相同的对称元素, 这样的对称元素叫做特征对称元素。
根据相应的对称性特征,晶体结构可以分为 7 类, 称为 7 大晶系。这 7 大晶系按对称程度增加的次序
在旋转操作中,使物体复原所需的最小旋转角 称为基转角。轴次 n 可以写成
第三章╲t点群、空间群和晶体结构

附图1
在图中没有标出对称元素的投影,因为 任何方向都可以是1次轴,故不能标出它的位 置。投影图中的一般位置点的等效点只有一 个点,因为经对称操作后这个点仍在原来位 置。 2) 如果物体有 1(E) 和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1(i) 对称操作,这个点 群是2阶的:{E,i}或{1,1}。点群的熊夫利斯 符号是 Ci ,国际简略符号是 1 ,即点群的符号 是 Ci-1 。这个点群的生殖对称元素是 1 ,生殖 矩阵就是反演操作的变换矩阵。这种点群的极 射投影图如附图 l(b) 所示:在图中心标出对称 中心。一般位置点的等效点系是一个在上半球 ( 用 ● 表示 ) ,另一个在下半球 ( 用 ○ 表示 ) 的 2 个 等效点。
群是某些具有相互联系规律的一些元素的组合,群的元素可 以是字母、数字、对称操作、点阵等。
任何一个群都应具有以下4个基本性质:
封闭性(Closure)
群G的n个不等效元素中,任两个元素组合或一个同类元素自 身组合都是群中的一个元素。
群中所有元素都遵循组合律,但组合次序不能变。
有唯一的单位元素(E)。它和群中任何一个元素的组合是元素 本身。 群中每一个元素,必有一个相应的逆元素(Inverse Element) 使得两者相乘为其本身。 以一个4次对称轴C4的全部操作所构成的群G来说明4个基本性 质。 两个独立群的直接积 设有两个独立群 GA和GB,其中GA是n阶群,GB是m阶群。两个 群中除了恒等元素外,没有其它共有元素,两个群的元素间相乘有 ai · bj=bj · ai 交换律,即 两个群的直接积G以 G G A G B 表示:
除了上述两种点群,我们不可能再 增加任何对称操作而使物体仍属于三斜 晶系,所以,属于三斜晶系的晶类只有 两种。 Ci-1 点群的对称操作最多 ( 不严 格地说它具有最高的对称性 ) ,称这种
点群和空间群

采用国际符号,不仅可以表示出各种晶类 中有那些对称元素,而且还能表示出这 些对称元素在空间的方向。国际符号根 据各种晶类的对称性可以是三项、或二 项、或一项符号组成,它分别表示晶体 某三个、或二个、或一个方向上的对称 元素。如果在某一个方向上,同时具有 对称轴和垂直于此轴的对称面,则写成 分数形式。
8
小结 summary
❖ 密勒指数(Miller indices) ❖ 对称元素和对称操作 ❖ 晶体的三十二个点群 ❖ 对称性和点群对于压电铁电体非常重要! ❖ 只有晶体才会有压电铁电性,不存在非
晶压电铁电体。但是有非晶半导体和非 晶磁性材料。
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晶体中的点群
❖ 由于无限大周期性的限制,晶体中的对称 操作只能有:1,2,3,4,6,i,m,4 ;
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17
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18
宏观对称元素的组合,可以导出32
种点群;宏观对称元素与微观对称元
素的组合,可以导出230种空间群。
空间群的国际符号由两部分组成,第
一部分为大写字母P、C、I、F,表
示14种布喇菲格子中的原始格子
(P)、底心格子(C)、体心格子
❖ 由于分子没有无限周期性的限制,所以 分子点群的数目要多于晶体中的点群数 目32个;
❖ 自然界对称性很多,例如:五度对称性, 足球,富勒烯C60, buckministerfullerence,碳管
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6
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❖ 由这些对称操作所构成的集合就是晶体中 的点群;
❖ 点:所有这些对称操作下,肯定有一个点 是不变的;
❖ 晶体中一共有32个这样的点群;
晶体结构空间群点群

(二)点群、单形及空间群点群:晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型,称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系*2/m表示其对称面与二次轴相垂直,/表示垂直的意思。
其余类推同一晶系晶体可为不同点群的原因:阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
,对称性降低,平行于六面体面的对称面不存在,4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形:单形:由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形,如错误!书签自引用无效。
,错误!书签自引用无效。
,错误!书签自引用无效。
所示聚形:属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体,如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群:描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群,空间群有230种,见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为:P:代表原始格子以及六方底心格子(六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有)。
F:代表面心格子。
I:代表体心格子。
C:代表(001)底心格子(即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布)。
A:代表(100)底心格子(即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布)。
R:代表三方原始格子。
其它符号:意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4点群符号m 43m2晶 系 等轴晶系 晶 族高级晶族/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
刘胜新-第三章点群、空间群和晶体结构PPT课件

上述的推导过程完全可以推广到其它晶系的空间群。把上述办
法依次用于7种晶系,共导出66种空间群。如果再考虑点群元素与
布喇菲点阵之间的取向关系,又能得到另一些空间群,结果总共得
出7320种20/1点0/9式空间群。
1
附表3 73种点式空间群
1 2020/10/9
3.4.2 非点式空间群
非点式空间群必包含1个非初基平移T的非点式操作,引入了 这种非点式操作,又可以导出157种非点式空间群。
石英的基本结构可以看成是硅氧四面体在三和六次螺旋轴 附近的螺旋链。左边为其中一个三次螺旋,右方显示的是螺旋连 接构成晶体框架。
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滑移面
由镜面和平移组合产生的对称元素称为滑移反映面,简称滑移
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子群、母群及生殖元素
子群:若群GA的全部元素是群G中的元素,并且两者的结合律 相同,称GA是群G的子群,而G是群GA的母群。如果对称元素GA和 GB能够得到G的全部对称元素,则称这两个对称元素为群G中的两 个生殖元素(Generating Element).
3.2点群的描述及图示
的全2对020/称10/点9 群。
1
从上述两种点群的极射投影再一次说明在投影图上一般位置的 正规点系的数目和点群具有对称操作的数目相同,即与点群的阶数 相同。
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立方系各晶类的投影图
在(e)所示:在投影面上{111)位置4个3轴,单胞3个轴为4次轴, 过单胞3个轴两两构成3个镜面及6个{110}的镜面。一般位置点的等效 点系共有48个点。
230种
对称操作全部作用于同一个公共点上的,至少包
含一个比初基平移还要小的平移τ。 157种
1
第一章 课时六 点群 空间群 晶格对称性

13
四面体点群
E+8C3 + 3C2; 绕3个立方轴(红色)旋转π/2, 3π/2,接着做水平面镜像,共6 个对称操作,记为6S4; 对立方体相对面的对角线形成截 面作镜像,共6个对称操作,记 为6σd; 共12+6+6=24个对称操作;
由如上所示的24个点对称操作{E, 3C2, 8C3, 6S4, 6σd}组成的点群,用T d表示,称为正四面体点群。
47
钙钛矿(BaTiO3)结构
布拉维格子是? 基元是? 空间群?
48
钙钛矿(BaTiO3)结构
Barium titanate can exist in five phases, listing from high temperature to low temperature: (1) hexagonal (2) Cubic (Pm-3m, 221) (3) Tetragonal (P4mm, 99) (4) Orthorhombic (5) Rhombohedral
1.12
63
64
65
66
67
68
69
C1群:只含有一个元素(不动),表示没有任何对称性
Cn群:只含有一个旋转轴的点群,共4个,C2, C3, C4, C6 Cnv群:Cn群加上包含n重轴的镜面,共4个 Cnh群:Cn群加上垂直于n重轴的镜面,共4个 Cs群:C1群加上镜面
Ci群:C1群加上中心反演
horizontal vertical inversion
space group table: /wiki/Space_group#Table_of_space_groups_in_3_dimension4s0
41
第5讲、点群、空间群和表面几何结构

单位元素 —— 不动操作
第一章 晶体结构
任意元素的逆元素 ——绕转轴角度,其逆操作 为绕转轴角度- ; 中心反演的逆操作仍是中心反演; A 操作 —— 绕OA轴转动/2 —— S点转到T'点
B 操作 —— 绕OC轴转动/2 —— T'点转到S点 —— T点转到T'点
连续进行A和B操作 —— 相当于C操作
t 为一非完整格矢。
10
n度螺旋及其轴
绕轴每转2π/n角度后,再沿该轴的方向平移 T/n的l 倍,则晶体中的
原子与相同的原子重合。
第一章 晶体结构
(l为小于 n 的整数, 为沿轴方向上的周期矢量) T
晶体只能有1、2、3、4和6度螺旋轴。
例1:4度螺旋轴
A4
例2: 金刚石结构
上下底心的连线就是4度螺旋轴
可以证明8个基本的点对称操作可组合成32个点群。
空间群 (space group) ——包含点群的对称操作和平移对称操作的所 有组合方式。 (布喇菲格子和复式格子)
可以证明有230个空间群。
6
第一章 晶体结构
(一)、点群 —由点对称操作作为元素构成的群。
从宏观上看晶体是有限的,有限物体的对称群不能包含 平移操作,所以晶体的宏观对称性质用点群描写。
n12346由6种对称素可以组成10种二维点群按照点群对基矢的要求划分二维格子有4个晶系5种布拉伐格子25晶系轴和角度布拉伐格子简单斜方长方简单长方中心长方正方简单正方六角简单六方二维晶格的晶系和布拉伐格子26晶体表面相对于晶体表面结构的研究表明晶体表面的结构不完全是晶体内部相应结构的面的延续晶体表面是晶体三维周期性结构和真空之间的过渡层可以将它看作是特殊的相表面相晶体内部与表面平行的平面基矢晶体表面二维晶格基矢这两族基矢有可能是不同的表面的再构27典型表面再构之一晶体表面平面的密勒指数例如111si面原子排列的周期为体内相应平面的7倍28典型表面再构之二不同的方法可以获得不同的再构表面表面的再构现象与表面原子的驰豫原子的吸附有关通常可由低能电子衍射leed获得表面再构的几何规其中s为表面吸附原子29预告
点群和空间群ppt课件

❖ 经过严格证明可以得出,晶体中可能存在230种空间群,任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群,而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之,空间群
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
65
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6 2
19
20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴+对称面(m)
5 5
3
3
1
1
2
6
2
4
6
4
21
22
(3) 4 象转轴
3
1 2
2
3
1 4
4
23
24
结论: 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作:1,2,3,4,6,1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来,就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
12
二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示,有对称心i,晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A',
使Ai = A' i, A与A'是等同点, i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
第十讲—空间群 ppt课件

a, b
轴滑移面
c
n
对角滑移面 (网)
d
“金刚石” 滑移面
沿[100]滑移a/2,或沿[010] 滑移b/2,或沿<100>滑移
无
沿z轴滑移c/2,或在菱形轴 中沿[111]滑移(a+b+c)/2
(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2, 或 (a+b+c)/2(四方和立方)
(a±b)/4, (b±c)/4, (a±c)/4, 或(a±b±c)/4(四方和立方)
四个三次轴
立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
P, I, F
24
晶系 点群 布拉菲点阵
73种点式空间群
三 斜 1, 1
P
P1, P1
单 斜 2, m, 2/m
P
P2, Pm, P2/m
B B2, Bm, B2/m
正交
222, mm2, mmm
65、64、63、62、61
d;n;c、b、滑移面:a ۞
2
精品资料
• 你怎么称呼老师? • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点,你
是否会认为老师的教学方法需要改进? • 你所经历的课堂,是讲座式还是讨论式? • 教师的教鞭 • “不怕太阳晒,也不怕那风雨狂,只怕先生骂我
笨,没有学问无颜见爹娘 ……” • “太阳当空照,花儿对我笑,小鸟说早早早……”
(L66P)
(3Li44L36P)
点 群
4/mmm 6/mmm 3(Li3)
(L44L25PC) (L66L27PC)
432
(3L44L36L2)及Βιβλιοθήκη 其422622
空间群PPT课件

63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
2020/1/15
64
P222
2020/1/15
65
PMMM
2020/1/15
66
Cmm2
出现滑移面
2020/1/15
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68
2020/1/15
69
2020/1/15
70
2020/1/15
71
各晶系空间群特征概要
• 空间群: 国际符号: 空间群符号的意义: 空间群的熊夫利推导方法:
俯视图
方向
原点
2020/1/15
112
2020/1/15
113
2020/1/15
114
原点位置
• 点式空间群:对称性等于空间群点群的点 上,非点式:取在最高对称性的点上,有反 演中心则取在
不对称单位( Asymmetric Unit )
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作:滑移线
33
2020/1/15
第九讲—点式空间群 ppt课件

全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向:c是唯一轴;第二种定向:b是唯一轴
正交 2或2沿a
四方 4或4沿c
2或2沿b 2或2沿a和b
2或2沿c 2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
222 32 422 622
D2 D3 D4 D6 二面体点群
11种中心对称点群:
23 432
TO 立方点群
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
S2 C2h S6 C4h C6h D2h D3d D4h
D6h
Th Oh
10种新子群:
1 2/m 3 4/m 6/m mmm 3m 4/mmm 6/mmm m3 m3m
六方 6或6沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
立方 4、4、2或2
沿<100>
3或3沿<111>
第九讲—点式空间群
2或2沿<110>
1(L1) 2(L2) 222(3L2) 4(L4)
6(L6)
3(L3)
23(3L24L3)
1(C) m(P) mm2 4/m
(L22P) (L4PC)
6 (S35)
第S九3讲, —S点32式(空C间32群), S33(σh), S34(C3), S35, S36(E)
65, 64,
63,
62,
6, 66
32个点群和230个空间群

备注
晶系
点群
空间群
编号
空间群
记号
备注
四方
4mm
99
P4mm
非心
三方
32
149
P312
手性
100
P4bm
非心
150
P321
手性
101
P42cm
非心
151
P3112
手性*
102
P42nm
非心
152
P3121
手性*
103
P4cc
非心
153
P3212
手性*
104
P4nc
非心
154
P3221
手性*
105
P42mc
P4122
手性
43
Fdd2
非心*
92
P41212
手性*
44
Imm2
非心
93
P4222
手性*
45
Iba2
非心
94
P42212
手性*
46
Ima2
非心
95
P4322
手性*
mmm
47
Pmmm
中心
96
P43212
手性*
48
Pnnn
中心
97
I422
手性
49
Pccm
中心
98
I4122
手性*
晶系
点群
空间群
编号
空间群
221
Pm3m
中心
204
Im3
中心
222
Pn3n
中心*
205
Ia3
点群和空间群

7
六方晶系 正交晶系 三斜晶系
59
60
61
62
63
64
重要对称元素的书写与图形记号
A4
A3
4
3
A2
A1
A
整数;T为沿u轴方向上的周期矢量)。
晶体只能有1,2,3,4,6度螺旋轴。
如图所示,为4度螺旋轴。晶体绕
轴转900后,再沿该轴平移a/4,能自身
2 1
26
重合。
2.滑移反映面 经过该面的镜象操作
A2
M
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是 该方向上的周期矢量,n为 2或4),晶体中的原子和相 同的原子重合。
47
49
230种晶体学空间群
除了宏观对称要素之外,还有平移、平移与旋转结合形成
的螺旋对称轴、平移和反映结合形成的滑移面等微观对称
要素。 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合,称为空 间群。 经过严格证明可以得出,晶体中可能存在230种空间群,任
何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
单胞中结点数目: 简单(原始)点阵: 1 面心点阵: 4 底心点阵: 2 体心点阵: 2
按照结点在7大种晶系上的不同分布方式,可形成14种布拉菲点阵。
简单点阵 : 1 [[000]]
体心点阵: 2 [000] [1/2 1/2 1/2 ]
底心点阵:2 [000] [1/2 1/2 0 ]
面心点阵: 4 [000] [1/2 1/2 0] [1/2 0 1/2] [ 0 1/2 1/2]
点群和空间群
1
晶体对称性
2
3
4
5
§1 晶体的特殊对称性——对称操作
空间群、点群

一些物理对象能够在一定的操作下保持不变,这种性质称为对称性,使物理对象保持不变的操作O叫做对称操作。
按顺序先做对称操作O1,再做对称操作O2,显然物理对象保持不变,因此连做两次对称操作是一个新的对称操作O3,可以记为O3 O2O1,O2O1称为对称操作的乘积。
对称操作O的逆操作也保持物理对象不变,因此也是一个对称操作,记为O−1,按照数学上的定义,对称操作全体关于前面定义的乘法成为一个群,称为对称群,对称操作O称为对称元素。
使晶体保持不变的空间变换构成的群称为空间群。
空间群的元素一般写成 R| ,其中R是一个3 3矩阵,代表对称操作的旋转部分(包括空间反演), 是一个矢量, R| 把空间矢量r 变为 R| r Rr 。
乘法规则R2| 2 R1| 1 r R2| 2 R1r 1R2R1r R2 1 2R2R1|R2 1 2 r就是说R2| 2 R1| 1 R2R1|R2 1 2因此R−1|−R−1 R| I|0R| −1 R−1|−R−1一般来说即使 R| 是一个对称操作,单纯的转动R也不是对称操作,但是按照上面的乘法和取逆规则,空间群元素的旋转部分全体也构成一个群,这个群叫做点群。
晶体的点群的元素R一般不能保持晶体不变,点群一般不是晶体的空间群的子群。
下面证明几个基本事实:1.对任意格矢l 和对称操作 R| ,都有Rl l ′,也就是说虽然 R|0 一般不能保持晶体不变,但是 R|0 可以保持空间点阵不变。
证明: R| 、 I|l 和 R| −1 R−1|−R−1 都是对称操作,因此它们的乘积也是对称操作,按照上面的乘法规则,我们有R| I|l R−1|−R−1R|Rl R−1|−R−1I|Rl这是一个单纯的平移,因此Rl l ′必定是一个格矢。
2.对称操作的旋转角只能取0,60∘,90∘,120∘,180∘及其整数倍。
证明:首先任取一个不平行于转轴的格矢l ,按照上面的结论,Rl 也是格矢,因此非零矢量Rl −l (如果det R −1,R包含空间反演或镜面反射,则取Rl l )也是格矢,且从几何关系易知格矢Rl −l (如果det R −1,R包含空间反演或镜面反射,则取Rl l )垂直于转轴。
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20
(3) 6 象转轴——实际上就是3度转轴+对称面(m)
5 5
3
3
1
1
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6
2
4
6
4 PPT课件
21
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(3) 4 象转轴
3
3
1 2
1 4
2
4
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23
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24
结论: 晶体的宏观对称性中有以下八种基本的对称
操作:1,2,3,4,6,1, m, 4 。 这些基本的操
作组合起来,就可以得到32种不包括平移的宏观 操作类型。
使Ai = A' i, A与A'是等同点, i点称
A
为对称心。
2.表示方式
x, y, z
(1)熊夫利符号表示——i;
x, y,z
(2)国际符号表示—— 1
例:立方体的中心就是对称中心。如果将对称心放在坐
标原点上,则有(x,y,z)点与P(P-Tx课,件-y,-z)点等同。
13
三、镜象(镜面反映、对称面)
33 3 3
—— 5个
2. 绕对棱中点连线转动π —— 3个 3. 绕相对面中心连线转动π —— 3个
4.正交变换—— 1个
5. 以上12个对称操作加中心 反演仍是对称操作
—— 正六面柱的对称操作有24个
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37
PPT课件
A PPT课件
16
(2) 2 象转轴——实际上就是对镜象m。
z(u轴)
A
Ax, y, z
x, y, z
和O-xy对称面 的操作相当。
O(对称心)
y
x
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x, y,z
A 17
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18
(3) 3 象转轴——实际上就是3度转轴+对称心(i)
5
3
3
5
1
1
4
6
2
4
6
2 PPT课件
19
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1.镜象 如图所示,A和A’等同,如同镜子一样。
2.表示方式
(1)熊夫利符号表示—— ;
(2)国际符号表示——m。
z A x, y, z
A
A
O
y
x
A x, y,z
O-xy 相当于镜面。
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14
四、n度旋转—反演轴(象转轴)
1.象转轴
(1)定义
先绕u轴转动2/n,再经过中心反演,晶体自动重
合,则称u轴为n度旋转—反演轴,又称为n度象转轴。
熊夫利符号:C1 ,C2 ,C3 ,C4 ,C6 ,i, , S4
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25
五、晶体的微观对称操作
A4
1.n度螺旋轴
晶体绕u轴每转2/n角度后,再沿
4
A3
该轴的方向平移T/n的 l 倍,则晶体中的
3
原子和相同的原子重合(其中l为小于n的
整数;T为沿u轴方向上的周期矢量)。
A2
晶体只能有1,2,3,4,6度螺旋轴。 A1
称为转动轴。如果转动1800等晶体都
保持外形重合。
PPT课件
转动轴
6
2.转动对称操作的种类 由于受晶格周期性的限制,转动对称操作所转动的
角度并不是任意的。而是遵循一定的规律。
B
A
B1
A
B
A1
AB是晶列上最近邻两格点的距离。
BA nAB AB AB cos BAcos AB(1 2cos )
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
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28
(2)四个三度轴(空间对角线)
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29
(3)六个2度轴
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30
(4)三个和四度轴垂直的对称面
(5)六个和2度轴垂直的对称面
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31
例题2:金刚石的对称性简析—正四面体的对称操作
四个原子 位于正四 面体的四 个顶角上
C1、C2、C3、C4、C6。 ②国际符号(International notation)表示
1、 2、 3、 4、 6。
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9
4.对称轴度数 度数 n 2
3
4
6
符号表示
符号
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10
5. 长方形、
正三角形、
正方形和正
六方形可以
在平面内周
期性重复排
列。正五边
形及其它正
n 边形则不
能作周期性
3.n度旋转对称轴(rotation about an axis)
(1)定义
晶体绕某一固定轴u旋转角度2/n以后,能自身重
合,则称u为n度(或n次)旋转对称轴。n只能取1,2,3,
4,6。
晶体不能有5度或6度以上的转轴。
(2)对称轴表示方式
①熊夫利(Schoenflies notation)符号表示
如图所示,为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后,再沿该轴平移a/4,能自身
1
重合。
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26
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象操作
A2
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
A1
该方向上的周期矢量,n为
2或4),晶体中的原子和相
A
A
同的原子重合。
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M
27
例题1:立方系的对称性简析。
重复排列。
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11
晶体中不可能出现5次轴或高于6次的对称轴。这是由于它们不符合空间格子
构造规律。 只有1、2、3、4、6次五种对称轴才能按空间格子中结点分布要求构成面网 网孔,不留间隙地排满整个平面。
PPT课件12Fra bibliotek二、中心反演(中心反映)
1.中心反演
如图所示,有对称心i,晶体中
iA
任一点A过中心 i 连线Ai并延长到A',
点群和空间群
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1
晶体对称性
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2
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3
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4
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5
§1 晶体的特殊对称性——对称操作
四种基本的操作——转动(旋转)、反演、镜象(反
映)、象转轴(旋转反映)。
一、转动
1.转动对称操作
设晶体外形为一立方体,沿图中
所示转轴转动900,外形与原来重合。
这样的转动称为转动对称操作。该轴
只有1,2,3,4,6。
(2)符号表示
1,2,3, 4, 6
2.象转轴解析
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15
(1) 1 象转轴——实际上就是对称心i。
A点绕旋转轴(z轴)
z(u轴)
Ax, y, z
旋 转 3600 , 在 经 过
中 心 反 演 到 A' 点 , 晶体完全重合。实
O(对称心)
y
际上即为中心反演
x
x, y,z
cos n 1
n是整数。
2 PPT课件
7
cos n 1,且1 cos 1, n只能取值:3,2,1,0, 1。
2
n : 3 2 1 0 -1;
cos : 1
:0
2
1
0.5 0 - 0.5 -1
2
323
2 2 2 2
643
2
2
n
n 1,2,3,4,6。 分别称 为1,2P,P3T课,件4,6次( 度 )转轴。 8
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32
1.绕三个立方轴转动
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33
2. 绕4个立方体对角线轴转动 2 , 4
33
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3. 绕三个立方轴转动 , 3
22
加中心反演
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4. 绕6条面对角线轴转动 加上中心反演
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例题3 正六面柱的对称性分析
1. 绕中心轴线转动 , 2 , , 4 , 5