计算机控制系统设计方法(1)

s
2 T
1 1
z 1 z 1
则
j
2 T
1 1
e jdT e jdT
jd T
2 T
e
2 j d T
jdT
e 2
jdT
e 2 e 2
j 2 tan dT
T2
即
2 tan dT
（3-18）
T2
或
d
2 arctanT
T
2
式（3-18）表明，s域的角频率ω与z域的角频率ωd是一个非线性 关系，双线性变换产生了频率畸变。
2、映射 由式（3-16）可得
1 T s
z
1
2 T
s
2
百度文库
令s=jω，可得|z|=1，相位随ω而变化，此即z平面的单位圆，如图3-8 所示。可见，若D(s)稳定，D(z)也一定稳定。
图3-8 双线性变换法S平面稳定域 在z平面内的映象
3、频率畸变与预修正
令s=jω，z=ejωdt。这里，ω表示s域的角频率，ωd表示z 域的角频率。 根据置换公式，可得
当 2 tan dT 时，有
T2
D(s) s j
D(z) ze jdT
（3-19）
式 （ 3-19 ） 表 明 ， D(s) 在的幅值，如图3-9所示。
在
频
率
ω
处
的d幅
值2 arDc(tazn)等T
T
2
于
图3-9 双线性变换的频率畸变
由图3-9可见，双线性变换将s域0~∞频段均压缩到z域的有限区间0~π， 在系统校正装置的设计过程中，当D(z)用取代D(s)时，如果要保证在某 个特征频率ω1处离散后，D( j1 D(e j1T ) ，则必需进行频率预修正。进 行预修正的步骤如下：
D(z)
C(z) R(z)
2
1 z 1
T z 1
(3-15)
显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图 3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。
图3-6 后向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
图3-7 梯形规则数值积分
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得
前向差分法的特点总结如下：
1、直接代换，具有串联性，变换 方便；
2、整个s左半平面映射到z平面z=1 以左的区域，故D(s)与D(z)不具有 相同的稳定性；
3 、 因 为 D(s)|s=0=D(z)|z=1 ， 故 稳 态 增益维持不变；
4、当采样周期T较小时，等效精 度较好。
三、后向差分法
设模拟控制器传递函数为
第5步：将D(z)编制成数字算法，在计算机上编程实现。
二、前向差分法 设模拟控制器传递函数为
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程为
dc(t) r(t) dt
以一阶前向差分近似该微分，并代入（3-4）式，得
C(k 1)T C(kT) r(kT)
T
(3-3) (3-4) (3-5)
D(z)
D(s)
|
s
z 1
T
(3-7)
下面讨论s平面和z平面之间的映射关系。
因为平面上的虚轴（ j 轴）是稳定与不稳定区域的分界线，所以 应着重研究 j 轴在z平面内的映象。
由 s z 1 得：Z=1+TS T
令 s j 代入后可见，s平面上 j 轴映射在z平面上将右移1个单位，
所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。
1 esT T
s
1 sT
2
1 esT
T
s
sT (sT )2
1
2 12
第三章 1----2
（3-1） （3-2）
图3-2 连续域内等效设计框图
第3步：选择适当的离散化方法，将D(s)离散化获得性能尽量等效的脉冲 传递函数D(z)。
第4步：针对由D(z)构成的离散闭环控制系统，检验其闭环性能。如图3-3 所示。
第三章 1----1
第三章 计算机控制系统设计方法
计算机控制系统属于数字控制系统。所以，计算机控制系统控制器的设 计属于数字控制器的设计。关于数字控制器的设计，有直接法和模拟法 两种，这两种方法各有其特色，本章将分别给予介绍。
第一节 连续域——离散化设计 一、设计的基本原理和步骤 连续域——离散化设计分以下五个步骤完成： 第1步：根据系统的性能和要求，选择采样频率。 第2步：教材3-2所示，由于保持器会引入延迟，根据系统预定的性能指标， 采用连续域的设计方法，设计出数字控制器的等效传递函数。保持器常 采用零阶保持器，其一阶和二阶近似式表示如下：
对上式进行z变换，经整理为
D(z) C(z) Tz R(z) z 1
(3-11)
比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为
s z 1 Tz
(3-12)
推广而言，后向差分的离散化公式为
D(z)
D(s)
|s
z
1
Tz
因为
s z 1
Tz
则
z 1 1 1 Ts
2 2 1 Ts
当 s j 时，可得
令k+1=n,上式的z变换为
(1 z 1 )c(z) Tz 1R(z)
或
D(z) C(z) Tz 1 T R(z) 1 z 1 z 1
（3-6）
比较式（3-6）和式（3-3）可见，连续传递函数中的s在离散传递函数中 的置换公式为
s z 1 T
推而广之，即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z) 为：
图3-5 前向差分法s平面稳定域 在z平面内的映象
D(s) C(s) 1 R(s) s
转换成微分方程
dc(t) r(t) dt
以一阶后向差分近似微分，得
dc(t) C(kT) c(k 1)T
dt
T
(3-8) (3-9) (3-10)
代入式（3-9）得
C(k) C(k 1) Tr(k)
（1）在特征频率ω1 （如转折频率，自然振荡频率等）处，计算s域预 修正频率
1
'
2 T
tan
1T
2
（2）将模拟控制器传递函数修正为 D( s 1 ')
D(z) C(z) 1 R(z) 2 z 1 T z 1
对比模拟控制器传递函数 显然此时的转换关系为
D(s) C(s) 1 R(s) s
s 2 z 1 T z 1
（3-16）
由此可得双线性变换（梯形积分规则或Tustin变换）的离散化公式为
D(z)
D(s)
|
s
2
z 1
T z 1
（3-17）
z1 1 22
(3-13)
四、双线性变换法（Tustin变换法）
1、离散化公式
图3-7中曲线r(t)以下的积分面积
C(t)
t 0
r(t)dt
可采用个梯形面积之和来近似表示
C(k) C(k 1) T r(k) r(k 1)
2
其中前个梯形面积之和表示为C(k-1)。
对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得