振动合成

A
A1
由矢量图: π
2
x
A2

A1
cos( 2π t π ) T2
2. 两个同方向不同频率简谐运动的合成


A2相对于 A1的转动角速度：
2 1
两矢量同向重合时：
合振动振幅 A极大
两矢量反向重合时：
合振动振幅 A极小 2 源自1 A2 A A1A
O
1 A1
x Ae t cos t
周期： T 2 02 2
角频率： 02 2
x
A
O
t
A
2 02
x Ae t cos 02 2t
讨论： 1.AA阻ee尼较tt 小随时时（间按2指2数02规）2 律，迅振速动减为少减。幅阻振尼动越，大振，幅减
0 时，速度幅极大
在速度共振条件下稳态振动的初相位为 π
2
v Acos t
结论：速度和驱动力有相同的相位。即策动力对
振动系统始终做正功。
速度共振又称能量共振！
1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6 天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大 桥的共振频率而突然坍塌。
讨论： 2 1 0 (或 2kπ )时
x2 y2 2xy 0 A12 A22 A1 A2

x A1

y A2
2

0
y A2 x 斜率 A2 0
A1
A1
y x
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(2
1 )

sin 2 (2
1 )
dx dt
γ ：阻尼系数

F
F

kx
x
O
x
动力学方程 m d2 x kx dx
dt 2
dt
令

2 0

k ,2
m


m
d2x dt 2

2
dx dt

02 x

0
0 ：无阻尼时振子的固有频率
：阻尼因子
方程解： x Ae t cos 02 2t
驱动力： 周期性的外力
设： F F0 cost
F
F

kx
F0 cos t
x
O
x
由牛顿第二定律
m
d2x dt 2

kx
dx dt

F0
cos t
令
02

k, m
2

,
m
f0

F0 m
d2x dt 2
2
dx dt


2 0
x

f0 cos t
方程的解：
x A0et cos 02 2 t 0 Acost
稳定后的振动表达式： x Acost
结论：受迫振动的频率与驱动力的频率相等。
受迫振动的振幅： A
f0

2 0
2
2 4 2 2
受迫振动的初相位：


arctan
当：
2
1

π 2
或 2k
1
π 2

y
x2 A12

y2 A22
1
x
结论：质点振动轨迹为正椭圆
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(2
1 )

sin
2 (2
1 )
2 1 2k 1π
y
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
x

A2
2
拍：合振动的振幅时强时弱的现象
拍的周期： 拍的频率：
T 2π
2 1


2 1
2π
2
1
从解析式来分析：
x1 Acos(1t )
x2 Acos(2t )
x x1 x2 Acos(1t ) Acos(2t )
2Acos 2 1 t cos(2 1 t )
Ar
2
f0

2 0


2
结论：
A
阻尼系数 越小， 共振角频率r越接近
于系统的固有频率
0 ，同时共振振幅Ar
也越大。
零阻尼 小阻尼
大阻尼
r 0

受迫振动的速度： v Asin t
速度幅： vmax A
f0 02 2 2 4 2 2
2
2
当 2 1 2 1 时
x 2Acos 2 1 t cos 2 1 t
2
2

3. 相互垂直的简谐运动的合成
• 两个同频率相互垂直简谐运动的合成
x A1 cos( t 1)
y
y A2 cos( t 2)
x A1

cos
0
2
x

x A1

y A2

0
y A2 x , 斜率 : A2 0
A1
A1
结论：质点做线振动
李萨如图形
1 : 2
2 1 0
§11-3 阻尼振动、受迫振动和共振
1 阻尼振动
阻尼振动：振动系统在恢复力和阻力作用下发 生的减幅振动。
F
v
2 02 2
结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比。
2.共振 共振：当驱动力的频率为某一特定值时， 受迫振动的振幅将达到极大值的现象。
求极值：
dA
d

d
d

02
f0
2 2

4
2 2


0
共振频率： 共振振幅：
r 02 2 2 ω0为固有频率
2

1
A1
x Acos( t ) x2 x1
x
x
结论：
一个质点参与两个在同一直线上频率相同的 简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。
A A12 A22 2A1A2 cos( 2 1)
arctan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
t
cos
1 sin

t
sin

1
x
y A2
cos t cos
2 sin t sin 2
x2 A12

y2 A22

2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2 (2
1 )
结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成其振动轨 迹为一椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状 取决于振幅和相位差。
§11-2 简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频
率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2 )
A A1 A2
A2

A
x x1 x2
(1) 若 : 2 1 2kπ k 0,1,2,
则 : A A12 A22 2 A1 A2 A1 A2
(2) 若 : 2 1 (2k 1)π k 0,1,2,
则 : A A12 A21 2 A1 A2 A1 A2
例1 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅； （2）求合振动的振动方程。A1 x x1(t)
解： A A2 A1
2π
O
A2 x2 (t) T
t
T
A1 cos1 0
1


π 2

1


π 2
A2

A2 cos2 0
2


π 2
2

π 2
幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。
2. 阻尼较大时（ 2 2 02）2 ，振动从最大位移缓慢回
到平衡位置，不作往复运动。
3. 当（ 2 02）时，为“临界阻尼”情况。是质点 不做往复运动的一个极限。
a：小阻尼 b：过阻尼 c：临界阻尼
2 受迫振动和共振
1. 受迫振动
受迫振动： 系统在周期性的驱动力持续作用下 所发生的振动。