基于MDP的桥梁结构全寿命成本研究

硕士学位论文

基于MDP的桥梁结构全寿命成本研究RESEARCH ON LIFE-CYCLE COST OF BRIDGE BASED ON MDP

严甜

哈尔滨工业大学

2010年7月

国内图书分类号：U441 学校代码：10213 国际图书分类号:624.2 密级：公开

硕士学位论文

基于MDP的桥梁结构全寿命成本研究

硕士研究生：严甜

导师：李惠教授

副导师：兰成明 博士

申请学位：工学硕士

学科：防灾减灾工程及防护工程

所在单位：土木工程学院

答辩日期：2010年7月2日

授予学位单位：哈尔滨工业大学

Classified Index: U441

U.D.C.: 624.2

Dissertation for the Master Degree in Engineering

RESEARCH ON LIFE-CYCLE COST OF BRIDGE BASED ON MDP

Candidate：Tian YAN

Supervisor：Prof. Hui LI

Associate Supervisor：Doc. Chengming LAN

Academic Degree Applied for：Master of Engineering

Speciality：Disaster Mitigation and Prevention

Engineering and Protection Engineering Affiliation：School of Civil Engineering

Date of Defence：July, 2th, 2010

Degree-Conferring-Institution：Harbin Institute of Technology

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摘要

大型桥梁结构在服役期间由于受外界环境、荷载等因素的影响，性能不断退化。为了保障桥梁结构服役期间的安全与可靠，需对结构进行检测和维修。不恰当的维修决策将导致桥梁结构全寿命周期成本过高，或引起桥梁结构失效造成严重的经济损失，因此，开展桥梁结构的全寿命设计方法的研究具有重要的现实意义。本文基于马尔可夫决策过程（Markov Decision Processes, 简记为MDP）对桥梁结构全寿命成本及桥梁结构的维修策略开展研究。本文主要内容如下：

首先，针对隐式极限状态方程且非线性程度较高时，响应面法求解可靠指标的误差大，而采用Monte Carlo抽样包括重要抽样方法，虽然精度高但计算效率低，对于结构有限元分析进行抽样几乎不能实现的状况，本文提出采用Kriging插值技术建立极限状态超曲面的代理模型，在验算点处应用Monte Carlo重要抽样方法对代理模型抽样进而求得结构的失效概率。结果表明：方法在隐式极限状态方程且非线性程度较高时精度良好，同时较Monte Carlo抽样或重要抽样效率高。

其次，建立了基于MDP的全寿命成本分析方法，采用值迭代法得到结构寿命周期最优维修策略。研究结构的自身转移矩阵、维修决策影响矩阵及状态综合转移矩阵的确定方法，并以此为基础建立桥梁结构性能退化的马尔可夫模型及桥梁结构全寿命最优维修决策模型。

最后，以桥梁结构全寿命总成本最小为目标，以可靠指标为约束建立桥梁结构全寿命总成本评价模型；采用基于MDP的全寿命分析方法确定一般桥梁结构的最优初始抗力和全寿命周期内的最优维修策略，研究初始抗力、抗力衰减规律、折现率、失效费用对桥梁结构全寿命周期内可靠指标、总成本及维修决策的影响规律。

关键词：桥梁；全寿命成本；可靠度；马尔可夫决策过程；维修决策

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Abstract

Large bridges are deteriorating continuously during their service lives, because of external environment, load and other factors. Necessary maintenance and inspection should be taken on bridge structures for ensuring safety and reliability during service. However, irrelevancy maintenance policies may lead to high life-cycle cost or structural failure, cause enormous economic loss. Life-cycle design of bridge structure has great research significance. This dissertation focuses on investigation of life-cycle cost and maintenance policy of bridge structure by using a Markov Decision Processes-based (MDP) modeling approach. The main contents are as follows:

Firstly, a new method based on Kringing technology and Monte Carlo important sampling was proposed for structural reliability analysis. Kriging technology can be used to alleviate the computational burden as well as response surface method (RSM). However, surrogate model constructed by Kriging technology is more accurate than that constructed by RSM, especially when the limit state function is strong nonlinear. Monte Carlo important sampling was used to obtain the failure probability of this surrogate model. The results show that the proposed method has excellent accuracy and is more efficient than the direct Monte Carlo sampling and important sampling.

Then, a life cycle design method based on MDP was proposed and value iteration method was used to identify optimal maintenance policy. In order to build the Markov degradation model of bridge structures and determine the optimal maintence policy, the methods used to determine the self-transition matrix, decision-effect matrix and joint-transition matrix were researched.

Finally, holding the objective of minimization of expected life-cycle cost, the economic model of bridge life-cycle design was developed to satisfy the reliability index. A MDP modeling approach was used to identify optimal structural initial resistance and their associated maintenance policies. The effects of initial resistance, resistance deterioration, discount rate and failure loss on bridge life-cycle costs, reliability index and maintenance policy were discussed.

Keywords:bridge; life-cycle cost; reliability; MDP; maintenance policy

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目录

摘要.......................................................................................................................I Abstract................................................................................................................II

第1章绪论 (1)

1.1 课题背景和意义 (1)

1.2 桥梁结构全寿命设计研究现状 (2)

1.3 结构可靠度基本原理和方法 (3)

1.3.1 一次二阶矩方法 (3)

1.3.2 二次二阶矩法 (4)

1.3.3 数值模拟方法 (4)

1.3.4 其它方法 (5)

1.4 本文主要研究内容 (5)

第2章 Kriging技术在结构可靠度分析中的应用 (7)

2.1 引言 (7)

2.2 结构可靠度的基本概念 (7)

2.3 极限状态方程重构 (8)

2.3.1 代理模型 (9)

2.3.2 试验设计 (14)

2.3.3 精度比较 (15)

2.4 结构可靠度的数值模拟 (17)

2.4.1 Monte Carlo方法 (18)

2.4.2 重要抽样 (19)

2.4.3 重要抽样结合代理模型 (20)

2.5 本章小结 (22)

第3章基于MDP的桥梁结构全寿命分析模型 (24)

3.1 引言 (24)

3.2 MDP的基本原理 (24)

3.2.1 随机过程 (24)

3.2.2 马尔可夫过程 (25)

3.2.3 马尔可夫链 (25)

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3.2.4 离散时间MDP (28)

3.3 基于MDP的全寿命分析模型 (29)

3.3.1 状态空间 (29)

3.3.2 结构状态的自身转移矩阵 (30)

3.3.3 维修决策影响矩阵 (34)

3.3.4 状态综合转移矩阵 (35)

3.3.5 MDP费用矩阵 (35)

3.3.6 结构最优维修策略的求解 (36)

3.4 本章小结 (37)

第4章基于MDP的桥梁结构全寿命分析实例 (39)

4.1 引言 (39)

4.2 桥梁结构全寿命经济评价模型 (39)

4.2.1 桥梁全寿命成本构成 (40)

4.2.2 全寿命经济模型 (42)

4.2.3 资金的时间价值 (43)

4.2.4 全寿命经济费用 (43)

4.3 计算实例一 (45)

4.3.1 初始抗力影响 (49)

4.3.2 抗力衰减速率影响 (51)

4.3.3 失效费用的影响 (58)

4.3.4 折现率的影响 (60)

4.4 计算实例二 (63)

4.5 本章小结 (64)

结论 (66)

参考文献 (68)

致谢 (74)

哈尔滨工业大学硕士学位论文原创性声明及使用授权书 (75)

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第1章绪论

1.1课题背景和意义

当今世界经济高速发展，世界各地相继建设了许多大型桥梁，桥梁跨径的记录不断被刷新，而我国自改革开放以来，桥梁的建设也取得了令世界瞩目的成就。我国现有各类桥梁53.36万座，跨度超过1000米的特大桥梁有7座，我国桥梁建设速度和规模已进入世界前列，成为名副其实的大跨桥梁建设大国。

桥梁建设在国民经济中起着重要的作用，然而桥梁在长期疲劳载荷和侵蚀环境下易发生累积损伤和性能退化，并导致抗力衰减，现役桥梁的健康状况令人担忧。交通运输部调查结果表明，我国危桥数目逐年增多，一半以上的公路桥龄都在20~40年以上，绝大多数设计载重低于现行标准，结构也存在不同程度的损坏。桥梁数量巨大，劣化损伤现象日益严重，而用于桥梁维修加固和替换的资金有限。未来我国将会面临桥梁结构经济性问题和桥梁工程可持续发展问题。

国外也面临着相同的困扰，美国联邦公路总局统计表明[1]，截止2002年，美国50%的现役桥梁，桥龄在40年以上，美国境内58.6万座桥梁中，28%存在不同程度损伤，其中一半属结构损伤，每年需要耗费巨资用于桥梁修复和替换。英国运输部曾抽样调查过200座混凝土公路桥梁，调查表明约有30%的桥梁的运营条件不良，预计对这些桥梁的10年修复费用就达到6200万英镑。

世界各国为了确保已建成的土木设施在全寿命周期内安全正常地工作，制定了对结构维护的相应规定。美国联邦高速公路管理局要求每2年对于高速公路桥梁进行一次检测。加拿大安大略高速公路桥梁设计规范要求根据业主制定的时间间隔对桥梁进行例行检查。法国要求每年对跨度大与120m的桥梁进行详细检查。德国要求每年进行4次视觉检查，每3年进行一次总体检查，每6年进行一次主要部件的检查。瑞士要求每15年进行一次例行检查，每5年进行一次间隔性的检查，并根据实际需要确定特殊检查。在意大利，每3个月要进行一次常规检查，每年进行一次全面彻底的检查[2]。

对桥梁进行检测，可以及时发现桥梁存在的缺陷或损伤，并采取适当措

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施修复结构，使桥梁安全地工作。但不合理的检测与维修方案可能造成巨大的浪费，也可能使结构全寿命周期内的性能依然达不到使用要求。

传统的桥梁设计理论是往往从满足安全使用的角度出发，只关注建设阶段，设计工作的重点主要集中在施工阶段对施工成本和结构短期性能的优化，注重桥梁建成初期的运营安全和建设期成本的经济性，忽视了桥梁结构构件在使用中的耐久性和营运期桥梁的养护、检测及维修的经济性，造成桥梁营运过程中的管理、维修、养护成本以及对用户和环境的影响成本过高的现象。因此，从桥梁设计阶段就开始考虑桥梁的设计、施工、运营管理到寿命终结拆除处理等各阶段的桥梁全寿命周期成本的经济性具有重要社会经济意义。

目前我国的桥梁科研工作者正在积极开展桥梁结构全寿命设计理论与方法的研究。所谓全寿命设计方法，即基于寿命周期成本（Life-Cycle Cost）的设计方法，是以保证结构在全寿命周期内安全可靠为前提，使全寿命周期成本总和现值最小为目标的设计方法。全寿命设计方法在桥梁安全和全寿命周期成本之间找到最优平衡，并为桥梁结构制定全寿命周期内的最优检测和维修方案，在可持续发展成为国际社会发展趋势的大背景下，桥梁的全寿命设计方法是符合土木工程结构建设以人为本、节约资源的科学发展要求的，具有长远的科学意义和工程指导价值。

1.2桥梁结构全寿命设计研究现状

基础设施全寿命设计概念最早是由我国王光远院士于20世纪80年代末期提出的[3,4]，20世纪90年代美国率先以道路和桥梁为工程背景，开展了高速公路和桥梁结构全寿命设计方法的研究，目前，美国初步形成了较系统的基于全寿命经济考虑的道路和桥梁经济评价方法和软件[5,6,7,8]。由于结构全寿命设计方法涉及结构全寿命服役期内的累积损伤和性能退化规律，而结构健康监测为研究结构长期累积损伤和性能退化规律提供了现场直接的实验系统和手段[9,10]，因此，上世纪末发展的结构健康监测技术极大地推动了桥梁结构全寿命设计理论和方法的发展。

全寿命设计方法的研究近年来受到广泛重视。Frangopol等人对全寿命周期成本的构成进行了分析，并提出了基于可靠性方法的钢筋混凝土桥梁的全寿命经济优化设计方法[11]。Hassanain和Loov提出效益最优的混凝土桥梁的设计方法[12]。Miyamoto等人研究了以全寿命周期总成本最小、承载力

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和耐久性最大为目标的维修策略优化方法[13]。Lee和Chang以全寿命周期总成本最小为目标，提出了一个方便使用且行之有效的方法评估结构性能并选择最优维护方案[14]。Kong和Frangopol提出基于改良事件树方法的全寿命周期维护成本的求解方法[15]。Kong和Frangopol详细论证了对劣化结构进行维护成本分析时维护成本同可靠度提高之间的关系[16]。Mori 和Ellingwood研究了全寿命周期内检测和维护行为对混凝土结构可靠度的影响，提出了基于可靠度，以全寿命周期成本最小为目标的结构检测以及维护的最优方案[17]。William和Douglas论证了利用马尔可夫模型进行桥梁全寿命周期内维修策略选择的可行性[18]。Zongwei Tao等人提出基于马尔可夫决策过程的全寿命周期最优维修策略的优化方法[19]。G Morcous基于马尔可夫链模型对结构全寿命周期期的健康状况进行预测，得出了较高可信度的结构状态转移矩阵[20]。

1.3结构可靠度基本原理和方法

结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程中存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策理论中计算结构失效概率的需要。自20世纪20年代起，国际上开展了结构可靠性基本理论的研究，并逐步扩展到结构分析和设计的各个方面，包括我国在内，研究成果已应用于结构设计规范，促进了结构设计基本理论的发展[21]。

1.3.1一次二阶矩方法

只使用结构功能函数的一次项(或泰勒级数的线性项)和随机变量(或当量正态化随机变量)的前二阶矩的可靠度分析方法统称为一次二阶矩方法。一般将同时求验算点的可靠度分析方法称为验算点法，有时也称为改进的一次二阶矩方法。

早期的二阶矩模式先后有德国的Mayer、瑞士的Basler、前苏联的尔然尼采和美国的Cornell提出过，只考虑随机变量平均值和标准差，可靠度用可靠指标表示。二阶矩模式形式简单，当功能函数(一般指R-S型)中的随机变量服从正态分布时，利用正态概率分布函数计算结构的可靠概率或失效概率。当多数情况下随机变量并不服从正态分布时，可靠指标只是可靠度一个比较含糊的近似代用指标，计算中不要求随机变量服从正态分布。当功能函数非线性时，在随机变量平均值处，通过泰勒级数展开的方法，将其近似为

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线性函数，再求平均值和标准差，即中心点法。但其存在的缺点很快暴露出来，特别是用力学含义相同、但数学表达形式不同的功能函数求得的可靠指标是不同，有时相差很大。1973年加拿大学者Lind建立了二阶矩模式与结构设计表达式的联系，重新确立了二阶矩模式的地位。我国对结构可靠性理论的研究始于20世纪50年代，曾讨论了数理统计方法在结构设计中的应用问题，60年代又提出了用二阶矩模式分析结构的安全系数。

1974年Hasofer和Lind提出了结构可靠指标的新定义[22]，将可靠指标定义为标准正态空间内(随机变量的平均值为0，标准差为1)，坐标原点到极限状态曲面的最短距离，原点向曲线垂线的垂足为验算点。解决了初始的二阶矩模式中，可靠指标计算结果与功能函数表达形式有关的问题。在本质上，Hasofer-Lind可靠指标仍然属于二阶矩模式的范畴，但物理意义更明确，是结构可靠度理论发展的重要一步。

Hasofer-Land可靠指标可以很好地描述结构的可靠度，但要求所有随机变量都服从正态分布，这与结构设计中的实际情况并不相符，需要要通过数学变换来解决。国际上常用的变换方法有两种[23]，一是将非正态随机变量按等概率原则映射为标准正态随机变量；另一是按当量正态化条件，将非正态随机变量当量为正态随机变量，此种方法由Rackwitz和Fiessler1978 年提出。两种方法实质上是一致的。第二种方法较为直观，易于为工程人员理解，被国际结构安全度联合会(JCSS)推荐使用，通常称为JC法。

1.3.2二次二阶矩法

Hasofer-Land 可靠指标没有反应极限状态曲面的凸凹性，在极限状态方程的非线性程度较高时，误差较大。1984年Breitung给出一个考虑了极限状态曲面在算点处主曲率的失效概率渐近计算公式[24]。Tvedt根据Laplace逼近原理得到的一个近似计算失效概率的三项表达式。国内曾应用Laplace逼近原理，给出相关随机变量失效概率的二次分析结果[23]。上述方法均考虑了结构极限状态方程的二次非线性，统称为二次二阶矩法。

1.3.3数值模拟方法

结构可靠度的数值模拟以Monte Carlo方法为代表，如果已知或假设结构的功能函数以及基本随机变量的概率分布，利用Monte Carlo方法进行结构可靠度计算是很方便的，现已成为重要的结构可靠度分析手段[25,26]。

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Monte Carlo方法是以数理统计原理为基础的，Monte Carlo方法又称为统计试验方法或随机模拟方法，是随着电子计算机的发展而逐步发展起来的一种独特的数值方法。Monte Carlo方法可用于解决不确定性问题，也可用于解决确定性问题[27]。Monte Carlo方法是结构可靠度分析最基本的方法之一，利用结构设计参数的随机特征，通过随机抽样、统计分析来确定结构的失效概率。Monte Carlo方法的精度依赖于结构的失效概率的大小和抽样样本数。当失效概率较小时，为达到一定的精度抽样样本呈平方数增长，而结构的失效一般为小概率事件，因此，目前结构可靠度分析一般不直接采用Monte Carlo方法。尽管如此，由于Monte Carlo方法具有相对精确的特点，一般仍常用于各种可靠度近似计算方法的校核。作为一种校准尺度，Monte Carlo方法是结构可靠度分析需进一步研究的方向之一。我国《港口工程结构可靠度设计统一标准(GB 50158-92)[28]》已列入了Monte Carlo方法。这意味着结构可靠性分析的Monte Carlo方法正在逐步为广大的工程技术人员所接受，并成为结构可靠度分析和设计的一个重要组成部分。

1.3.4其它方法

结构可靠度理论研究中，还提出同时考虑其它不确定性的可靠度分析方法，如将随机性与模糊性相结合而形成的模糊可靠度分析方法，考虑随机变量概率分布参数(如平均值、标准差)统计不确定性的可靠度分析方法。将传统的有限元方法与可靠度方法相结合而形成的随机有限元方法，是分析大体积结构可靠度的有效方法，也是目前研究的热点。此外，还有许多文献采用凸集理论研究结构非概率可靠性，由于非概率模型对已知数据的要求相对较低，当缺乏数据准确定义概率模型时，非概率可靠性方法是用于可靠性计算一种较好的选择[29,30,31,32]。

1.4本文主要研究内容

本文基于马尔可夫决策过程对桥梁结构全寿命成本及桥梁结构的维修策略开展研究。主要内容如下：

首先比较了RBF神经网络、Gauss-Kriging模型、支持向量机模型以及响应面法用于重构非线性状态方程时的精度，建议对强非线性的结构极限状态方程采用Gauss-Kriging模型构建极限状态方程的代理模型进行可靠度分析。提出基于Kriging技术和Monte Carlo重要抽样相结合的方法计算结构

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的失效概率，解决了隐式功能函数非线性程度较高时，传统响应面方法误差大求解精度低的缺点，同时与Monte Carlo抽样及重要抽样相比，在保证精度要求的前提下，大大提高的结构可靠度分析的计算效率。

其次，建立了基于MDP的全寿命成本分析方法，采用值迭代法得到结构寿命周期最优维修策略。研究结构的自身转移矩阵、维修决策矩阵及状态综合转移矩阵的确定方法，并以此为基础建立桥梁结构性能退化的马尔可夫模型及桥梁结构全寿命最优维修决策模型。

最后，以桥梁结构全寿命总成本最小为目标，以可靠指标为约束建立桥梁结构全寿命总成本评价模型；采用基于MDP的全寿命分析方法确定一般桥梁结构的最优初始抗力和全寿命周期内的最优维修策略，研究初始抗力、抗力衰减规律、折现率、失效费用对桥梁结构全寿命周期内可靠指标、总成本及维修决策的影响规律。

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第2章 Kriging 技术在结构可靠度分析中的应用

2.1 引言

目前，结构可靠度的研究成果已应用于结构设计规范，促进了结构设计

基本理论的发展。但是结构可靠度分析中仍然存在一些问题，例如，响应面

法虽然构造简单，提高计算效率，但当极限状态方程非线性程度较高时，计

算精度较差，而高次高阶矩法、Monte Carlo 法、随机有限元等虽然可以一

定程度地提高计算精度，但是计算步骤较为繁琐，且计算量大幅度提高，实

际应用存在一定难度。

鉴于上述原因，本章研究了不同非线性回归方法用于重构非线性极限状

态方程时的精度问题，提出对于非线性隐式功能函数可靠性分析方法，采用

Kriging 技术建立代理模型，建立结构输入输出关系，采用结构极限状态方

程的代理模型与Monte Carlo 重要抽样相结合的方法计算结构失效概率。

2.2 结构可靠度的基本概念 早期结构设计所采用的安全系数定义为抗力均值R 与荷载效应均值S

的比值，当安全系数大于 1.0，说明结构可靠，反之，说明结构失效。但安

全系数没有考虑抗力和荷载效应的随机性，由于抗力、荷载效应、结构尺寸

等都是一些随机变量的函数，所以，存在着抗力R 小于荷载效应S 的可能

性。这种可能性的大小可用结构安全的概率即结构可靠度来表示。

结构可靠度定义为：结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能

的概率[33]。在结构可靠度分析中，结构的极限状态一般由功能函数加以描

述。设),,,(21m X X X X =是影响结构功能的m 个基本随机变量，可以是结

构的几何尺寸、材料的物理力学参数、结构的作用效应等，称随机函数

)(X g Z = (2-1) 为结构的功能函数（或失效函数）。

当0>Z 时，结构处于可靠状态；

当0=Z 时，结构达到极限状态；

当0

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特别的，方程

0)(==X g Z (2-2) 称为结构的极限状态方程，它表示m 维基本随机变量空间中的m -1维超曲

面，称为极限状态面（或失效面）。

功能函数出现小于零(0

可以通过多维积分式

∫∫<=0

2121d d d ),,,(Z m m X f X X X X X X f P (2-3) 计算求得。但是当功能函数中有多个基本随机变量，基本随机变量的联合概

率密度难以求得，或函数为非线性时，计算上述多重积分变得十分复杂，甚

至难以求解。因此，求解可靠度时往往采用比较简便的近似方法求解，先求

得结构的可靠指标，然后再求得相应的失效概率。

2.3 极限状态方程重构

目前，可靠性分析中大多数方法如数值积分法和一次二阶矩法及其改进

方法等都是针对功能函数为显式表达的。而实际工程中，由于结构本身构造

复杂，作用形式多种多样，往往人们关心的结构某种极限状态不能显式表

达，即为隐式功能函数，如最大裂缝宽度、高层建筑的顶层位移以及某点应

力等，往往借助于结构分析程序，此时就不能给出功能函数的明确表达式，

若直接应用数值积分或一次二阶矩方法进行结构可靠性分析就会遇到困难，

这一类问题，可以采用Monte Carlo 抽样方法结合有限元分析、响应面法及

随机有限元进行求解。其中，Monte Carlo 抽样方法虽然思路清晰、编程方

便，但抽样次数过多，计算花费过大，不适于大型复杂结构的可靠度分析；

随机有限元法理论复杂，计算量较大，不便于实际应用；响应面法建立结构

的输入(变量值)与输出(响应)的转换关系，思路清晰，便于实现。对于线性

及二次的功能函数，响应面的计算结果是精确的，当功能函数非线性时，随

机变量分布不对称且变异性较大时，响应面的模拟精度就较差，不能满足可

靠度分析的要求。为此必须采用其他非线性回归方法建立结构输入与输出关

系。本部分主要讨论目前一些常用的结构极限状态方程代理模型的建立方

法，并通过测试函数分析代理模型的精度。

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2.3.1 代理模型

2.3.1.1 响应面方法

响应面方法是近些年发展起来的，其思想就是通过一系列确定性“试验”拟合一个响应面来模拟真实的极限状态曲面，从而很容易进行可靠性分析。国外许多学者对响应面进行了研究[34,35,36,37]：L. Faravelli [38]建立了以实验设计为基础的响应面方法；Bucher&Bourgund [39]建议的迭代内插技术具有很好的效率；Schu?ller 等[40]讨论了其精度；Liu 和Moses [41]将其推广到飞机结构可靠性分析中。

响应面方法是一项统计学的综合试验技术，用于处理几个变量对一体系或结构的作用问题，也就是体系或结构的输入与输出的转换关系问题。现用两个变量来说明：结构响应Z 与变量1X 、2X 具有未知的、不能明确表达的函数关系),(21X X g Z =。要得到这个“真实”函数通常需要大量模拟，而响

应面则是用有限的试验来回归拟合一个关系),(?21X X g

Z =，并以此代替真实曲面),(21X X g Z =，应用于可靠度分析中。

选择响应面表达式的形式时，一方面要尽可能简单，另一方面要考虑到能足够灵活地反应各种不同的真实曲面形状(应为真实曲面的形状并不知道)。对m 个随机变量),,2,1(m i X i =的情况，通常取不含交叉项的二次多项式形式：

∑∑==++==m

i i i m i i i i X c X b a X g Z

1

21)(?? (2-4) 其中，a 、i b 、i c (m i ,,2,1 =)为待定因子。显然，对于线性及二次的功能函数，响应面的计算结果是精确的。

2.3.1.2 神经网络方法

人工神经网络(简称神经网络)是模拟人脑的生物神经网络机制而形成的巨型复杂网络系统，它采用类似于“黑箱”的方法，通过学习和记忆而不是假设，找出输入输出变量之间的非线性关系。人工神经网络的研究始于1943年[42]，直到1982年Hopfield 将“能量函数”引入神经网络，使得网络稳定性能有了明确的判剧以后，神经网络才得到了人们的普遍重视，掀起了研究神经网络的热潮。1986年Rumelhart 提出了BP 神经网络之后，神经网络的模型越来越多，如连接网络模型、自组织映射理论模型，以及近几年发展的概率神经网络和主组分神经网络[43,44]，它们被广泛地应用于模式识别、

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图象处理、工业控制等领域。

以非线性大规模并行处理为主的神经网络的研究在近几年取得了引人注目的进展，人们也开始尝试采用神经网络方法进行结构分析。文献[45]通过对大量的中外文献进行分析研究，认为不管多么复杂的结构分析，都可以运用多层前馈神经网络进行快速的分析与计算。用多层前馈神经网络进行结构分析的实质是用神经网络的抽取、归纳及非线性建模能力，建立输入与输出之间的映射函数关系，即首先用传统的力学分析方法得到的结果来训练神经网络，然后用训练后的神经网络进行结构分析与设计。由于多层神经网络具有很强的映射功能，前人已经证明了任一三层神经网络都可精确的表达一个连续函数[46]。

BP 网络是一多层前馈网络，也是目前应用最广泛的一种网络，它包含输入层、隐含层和输出层，同层单元之间不相连。BP 网络可以看成是一个从输入到输出的高度非线性映射，即：m n R R F →:，Y X f =)(。对于应本集合：输入)(n i R x ∈和输出)(m i R y ∈，认为存在某一映射g 使),,2,1()(N i y x g i i ==。现在要求得出一个映射，使得在某种意义下(通常是最小二乘意义下)，f 是g 的最佳逼近。神经网络通过对简单的非线性函数进行数次拟合，可近似复杂的函数。BP 算法的学习过程由正向传播和反向传播组成，正向传播过程中，输入模式从输入层经隐层逐层处理，并传向输出层，每一神经元的状态仅影响下一层神经元的状态。如果在输出层不能得到期望的输出，则转入反向传播，将误差信号沿原来的连接通路返回，通过修改各神经元的权值，使得误差信号最小，BP 算法表示如下：

()∑=i ij i x W f y (2-5)

)](exp[11)(θ??+=x x f (2-6) j j ij ij y t W t W ηδ+=+)()1( (2-7)

????????=∑k jk k j j j i i j j W y y j y T y y )( )1()( ))(1(为隐节点当为输出节点当δδ (2-8) 其中：i x 为神经元输入；i y 为神经元实际输出；)(?f 为Sigmoid 函数；θ为神经元阈值；ij W 为神经元i 与j 的 连接权值；η为学习效率；j δ为各单元

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误差；T 为期望输出。

文献[47]提出采用径向基(RBF)神经网络构建极限状态方程的代理模型，RBF 网络是针对BP 网络存在收敛速度慢和存在局部极小等固有缺陷而提出的一种改进网络，RBF 网络在函数逼近能力、学习速度等方面均优于BP 网络且具有较好的泛化能力。RBF 网络和BP 网络的主要区别在于隐层使用不同的传递函数，前者使用径向基函数，后者使用Sigmoid 函数。

RBF 网络是前馈神经网络中的一类特殊的三层神经网络，其输入层单元传递输入信息到隐含层单元，隐含层单元的传递函数采用非线性的径向基函数，以对输出层的激励产生局部化影响，输出单元则对隐含层单元的输出进行线性组合。

设输入样本T n x x x X ),,,(21 =，输出T m y y y Y ),,,(21 =为隐含层单元的输出的线性组合，即：

m i U W u w y T i l

j i j ij i ,,2,1 ,1 ==?=∑=θ (2-9)

其中，权值T i il i i i w w w W ),,,,(21θ?= ；T l u u u U )1,,,,(21 =，j u 为第j 个隐含层单元的输出。

高斯函数表示如下： l j c X c X u j j T j j ,,2,1 ,2)()(exp 2 =???

????????=σ (2-10) 其中，j c 和j σ是隐含层第j 个单元的径向基函数的中心与宽度。

RBF 网络的学习过程包括隐含层学习和输出层单元学习两个阶段。第一阶段，根据所有的输入样本决定隐含层各神经元的参数j c 和j σ；第二阶段，利用样本和最小二乘准则，求得输出层权值i W 。

2.3.1.3 Gauss-Kriging 方法[48,49]

Kriging 技术是一项空间插值技术，起源于上个世纪50年代，由南非矿业工程师 D. G. Krige 提出的，根据矿样等级的加权平均来估计整个矿体品位的经验方法。为了纪念这位先驱者，该项技术基础体系的奠基人同时也是地质统计学开创者的法国G. Matheron 教授将这门技术用法文命名为“Krigeage ”，译成英文就叫做“Kriging ”[48]。目前，“Kriging ”一词已成为空间中利用在已知位置上的观测值进行最佳预测的同义词，它有别于其它

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空间估计方法的最主要特点是在于对变量的空间相关性进行分析和利用，变量的空间相关性越好，那么用变量的观测数据去估计未观测处的数值误差就越小。

本文所采用的Gauss-Kriging 模型是在多元线性回归模型的基础上，加上了一项平稳Gauss 随机过程，对于一个标量值多维Kriging 模型定义如下：

)()()(x βx f x Y Z T += (2-11)

T t f f f )](,),(),([)(21x x x x f = (2-12) T t ],,,[21βββ =β (2-13) 其中)(x f 为完全已知的确定性的Kriging 模型基函数，基函数的数目t 也是已知的，β为对应的系数向量，未知，)(x Z 是均值为0的Gauss 随机过程，且

)],([)](),(cov[2j i j i r Z Z x x R x x σ= (2-14) 其中，R 是相关矩阵，它是n n ×的对称正定矩阵，且对角线元素全为1，n 表示试验点的数目；2σ称为过程方差，是待定变量；),(j i r x x 是试验点i x 和j x 之间的相关函数，对于Gauss 型相关函数，即： ??

??????=∑=s k k

j k i k j i x x r 12exp ),(θx x (2-15) 式中，k i x 和k

j x 表示试验点i x 和j x 的第k 维分量，s 表示试验变量的数目(即

x 的维数)；k θ是待定系数，变量β和2σ的估计值β

?和2?σ可由下两式计算

()Y R F F R F β111????=T T (2-16) ()()n

T

βF Y R βF Y ???1

2

??=?σ (2-17) F 由各试验点的f 向量所组成；随机过程的对数似然函数可写成 ()

2ln ?ln 2R +?σn (2-18) 将式(2-16)，(2-17)两式带入(2-18)，则式(2-18)仅是关于θ的函数，其极值解

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即为k θ，(s k ,,2,1 =)的极大似然估计。这样Kriging 模型完全确定。

2.3.1.4 支持向量机方法[50,51,52,53]

支持向量机(Support Vector Machine, SVM)的基本思想是通过用内积函数定义的非线性变换将输入空间变换到一个高维空间。在这个高维空间中寻找输入变量和输出变量之间的一种非线性关系。SVM 有严格的理论基础，是基于结构风险最小化原则的方法。明显优于传统的基于经验风险最小化原则的常规神经网络方法。其算法是一个凸二次优化问题，保证找到的解是全局最优解，能较好的解决小样本、非线性、高维数等实际问题，问题的复杂度不取决于特征的维数，且具有良好的推广能力。

给定训练集k i i y x T },{=，其中R R y x n i i ×∈),(，k i ,,2,1 =。支持向量机总是通过一个映射)(?Φ将其映射到某一高维的特征空间H 中，这样训练集就变为}),(,),),((),),({(2211k k y x y x y x T ΦΦΦ= ，其中R H y x i i ×∈Φ)),((，k i ,,2,1 =。然后在这个特征空间中构造回归超平面。构造回归超平面的问题维下面的最优化问题：

k

i y b x b x y C J i i i i i i i i k i i i ,,2,1 0

,)()( s.t. )(21),,(min **1

*2* =?????≥+≤?+Φ?+≤?Φ??++=∑=ξξξεωξεωξξωξξω (2-19) 式中的最优化问题的目标函数由两部分组成，一是希望得到的回归超平面有好的推广能力，用22ω来衡量，二是希望回归超平面对训练集拟合的误差

程度小，用ε不敏感损失函数来衡量(还可以用其它损失函数来衡量，如二次损失函数、Laplace 损失函数、Huber 损失函数等) ?????≥?Φ????Φ??≤?Φ??=?Φ??ε

ωεωεωωεb x y b x y b x y b x y i i i i i i i i )( )()( 0)( (2-20) 支持向量回归机并不直接求解式(2-19)，而是通过求解其对偶问题来得到最优解。式(2-19)的对偶问题为：