计量基础知识(数据处理及误差分析)

第一节 测量与误差
一、测量
测量就是借助一定的仪器或量具，通过一 定的实验方法来实现标准量与待测量的比较。
1.直接测量
被测量与标准量相比较而得出测量结果
2.间接测量
利用被测量之间的函数关系，通过计算而得出测量结果
例：
测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h 和直径d， 算出体积
V
d 2 h
处理方法：
①取多次测量的平均值为测量结果的最佳估计值
②研究其分布，找出其特征值，归入A类不确定度
三、对误差大小的评价
实验中常用精密度、准确度和精确度来评价实验结果中误差的大小。这 三个概念的涵义不同，应加以区别。 1.精密度： 表示测量结果中偶然误差大小的程度。精密度高是指在多次 测量中，数据的离散性小，偶然误差小。 2.准确度： 表示测量结果中系统误差大小的程度。准确度高表示多次测 量数据的平均值偏离真值的程度小，系统误差小。
2.不确定度的估计方法： 依据国内外规范，在物理实验中采用以下的不确定度简 化评定方法： 总不确定度Δ 从评定方法上分为两类分类： A类分量Δ A-----多次重复测量时用统计学方法估算的分量； B类分量Δ B-----用其他方法（非统计学方法）评定的分量；
不确定度用它的两个分量采用“方和根”的方法合成
x , y , z ,
x , y , z ,
间接测量量的测量值为
F ( x , y , z...)
间接测量量的不确定度为
F F F 2 2 2 y z x x z y
二、测量不确定度：
定义：表征合理地赋予被测量之值地分散性，与测量结果相联系地参数。 1、此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。 2、测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布 估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假 定概率分布估算，也可用标准偏差表征。 3、测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献 给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准 有关的）分量。
4、 产生原因：
系统误差： 如仪器误差，方法误差，人员误差
随机误差： 如实验条件和环境因素的起伏，估读数的
偏差，测量对象的不稳定
5、系统误差的处理
①已定系统误差：设法消除，或修正 测量结果 = 测得值(或其平均值)-已定系统误差 （如电表、螺旋测微计的零位误差；伏安法测电阻时电表内阻 引起的误差） ②未定系统误差：估计其限值，归入B类不确定度参与 对测量结果的评价（如仪器误差）
6、随机误差的处理
随机误差的特点： 小误差出现的概率大；大误差出现的概率小
② 无穷多次测量时服从正态分布；
③ 正、负误差对称分布； 具有抵偿性（取多次测量的平均值有利于消减随机误差。）
xi x n 1
为真值 为标准差
sx



2
f ( x)为x的分布函数
标准差表示测量值的离散程度
例如：
(a)
( b)
( c)
射击弹着点试验对精密度、准确度和精确度的说明 总结： 系统误差：是由于实验原理本身不能达到精确，所以会有误差， 通过更改实验方法，可以避免。 偶然误差：是由于实验仪器和人在操作过程中不能达到精确而产 的误差，是不可避免的。
第二节 测量结果的表达
一、直接测量结果的表示与总不确定度
一般地，指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数 字。如1.24和0.00124的有效数字都有3位。
（3）记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言 数学的 8.35=8.350=8.3500 , 而实验的 8.35≠8.350≠8.3500. 尽管它们在数字上相等， 要特别强调的是：记录原始测 量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。
4
然后用天平称出它的质量M，算出密度

这里，我们说铜柱的高
M 4M V d 2 h
体积V 和密度ρ 是间接测得量。
h、直径 d 和质量 M 是直接测得量，
二、误差 误差的基本概念： 1.误差的定义：误差＝测得值－真值；
因此，误差是一个值，数学上就是坐标轴上的一个点，是具有正负 号的一个数值。
D D n
i
4.6848cm
SD
2 ( D D ) i
n 1
0.0023 cm
2 D 2 S cm D 0.003 仪
D D D (4.685 0.003)cm
4、单次测量结果的表示 当多次测量无意义时，把测量值当作该物理 量的值，而取仪器误差作为测量结果的不确定 度 即： 不确定度表示为 所以：
我们测量某物理量时，总是想要找到物理量的真值。而真值又无法确切知道，所以实际 测量中，我们只能提供一个范围。例如
( x x, x x)
, 0 , 0
然后我们说：真值落在该范围内的概率是多少，这个Δ x就叫做测量的不确定度
不确定度表示：由于测量误差存在而对被测量值不能确定的程度。
不确定度是一定概率下的误差限值。 由于真值的不可知，误差一般是不能计算的，它可正、可负也可能十分接近零；而不确定度总 是不为零的正值，是可以具体评定的。
3.精确度： 是对测量结果中系统误差和偶然误差大小的综合评价。精确 度高是表示在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中 的系统误差和偶然误差都比较小。
四、精度：
精度细分为： 准确度：系统误差对测量结果的影响。 精密度：随机误差对测量结果的影响。 精确度：系统误差和随机误差综合后对测量结果的影响。 精度是误差理论中的说法，与测量不确定度是不同的概念误差理 论中，精度定量的特征可用目前的测量不确定度（对测量结果而 言）和极限误差（对测量仪器仪表）来表示。对测量而言，精 密度高的准确度不一定高，准确度高的精密度不一定高，但精确 度高的准确度与精密度都高，精度是精确度的简称。目前，不提 倡精度的说法。
2、误差的表示方法： 、 绝对误差：绝对误差＝测量值－真值（约定真值） 。 、 相对误差：相对误差＝绝对误差/真值X100％
相对误差没有单位，但有正负。
3.误差的分类： 1）、 系统误差：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多
次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。
2）、 随机误差：测量结果与在重复性条件下，对同一被测量 进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 3）、 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差。
x x x
保留1位 尾数对齐
Ex ? %
保留2位
第六节 数据处理的基本方法
一、列表法
若对某一物理量进行了多次测量，或要测量几个量 之间的函数关系时，一般要用列表法处理数据。 优点： 使大批数据条理化，清晰醒目，易于检查数据，发 现问题，有利于反映物理量之间的对应关系。
表1.不同温度下的金属电阻值
f(x)
Ð ¡
´ ó
x
标准差小：表示测得值很密集，随机误差分布范围窄，测量的精密度高； 标准差大：表示测得值很分散，随机误差分布范围宽，测量的精密度低。
] 任意一次测量值落入区间 [ , 概率为

P

f xdx 0.683
f(x)



x
这个概率叫置信概率，也称为置信度。 对应的区间叫置信区间，表示为 x

2 A
2 B

2 Sx 2 仪
3、多次测量时，不确定度以下面的过程进行直接多次测 量结果的表示 计算： 1）、求测量数据的算术平均值：
2）、用贝塞尔公式计算标准偏差
x
(x x )
i
2
n 1
3）、若测量次数n=6，取置信概率，则
A x

仪器 3
4）、确定仪器误差
四、直接测量结果的表示和不确定度估计方法： 1.直接测量结果中，取多次测量值的平均值
x ( xi ) / n
i 1
n
可以用多次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，测量次数n为无穷大时， 算术平均值等于真值。
它的标准偏差为：
sx
xi x n 1


2
待测物理量处于区间
[ x x , x内的概率为 x ] 0.683。
∆X=Δ 仪
x x测量 仪
Hale Waihona Puke 二、间接测量结果的表示物理实验中，大量的测量属于间接测量。只有在已知各直接测量量的 最佳估值及其不确定度之后才能计算间接测量量的不确定度。
设间接测量的函数表达式（测量式）为：

是间接测量量（待测量）
F ( x, y, z )
x, y, z
是若干个直接测量的量，它们都是互相独立的量， 其平均分别为： 它们的总不确定度分别为 ：
（4）在换算单位时应保持有效数字位数不变。
12.3mm=1.23cm=0.0123m (均为3位有效数字)
（5）注意科学计数法的正确形式。即把数据写成小数点前 只保留一位整数，后面再乘以10的方幂的形式
1kg=1000g (错误) 1kg=1×103g(正确)
（6）有效数字的末位是估读数字,存在不确定性.一般情况下不 确定度的有效数字只取一位,其数位即是测量结果的存疑数字 的位置;有时不确定度需要取两位数字,其最后一个数位才与 测量结果的存疑数字的位置对应.表示测量值最后结果的有效 数字尾数与不确定度的尾数一定要取齐。同时，我们规定： 普通物理实验中的最终测量量（待测量）的不确定度取一位； 相对误差取两位。
在测量数据的各类数字中，既有不含误差的可靠数字，又有含有误差的可疑数字
15.2mm
5
10
15
20
15.0mm
5
10
15
20
我们把可靠几位数字加上可疑一位数字统称为测量结果的有效数字
二、关于有效数字的几个概念：
（1）非测量值（如公式中的常数，实验次数等）不是有效数字，如 π，e等不是 有效数字。
（2）在测量数据中，左边第一位非零数字之前的零不是有效数字，但数据中间和 末尾的零应算为有效数字。
计算表达式
5）、由ΔA 、ΔB合成不确定度：
6）、计算相对不确定度： 7）、给出最终测量结果：
例题1. 一同学用游标卡尺测量某工件的外径，测 量结果如下： 0.02mm
仪
次数i
直径D(cm)
1 4.684
2 4.686
3 4.688
4 4.682
5 4.484
其测量结果如何表示？
【解】：
n
t (C)
1
10.5
2
26.0
10.892
3
38.3
11.201
4
51.0
11.586
5
62.8
间接测量量的相对误差为
E
2
2
2

ln F 2 ln F y x x y
2
2
2
ln F 2 z z
2
第三节 有效数字及其运算法则
一、有效数字的概念
由此可以看出，测量不确定度与误差，精度在定义上是不同的。因此，其概念 上的差异也造成评价方法上的不同。
三、测量误差和测量不确定度的主要区别
1.定义上的区别： 误差表示数轴上的一个点，不确定度表示数轴上的一个区间； 2.评价方法上的区别： 误差按系统误差与随机误差评价，不确定度按A类B类评价； 3.概念上的区别： 系统误差与随机误差是理想化的概念，不确定度只是使用估计值； 4.表示方法的区别： 误差不能以±的形式出现，不确定度只能以±的形式出现； 5.合成方法的区别： 误差以代数相加的方法合成，不确定度以方和根的方法合成； 6.测量结果的区别： 误差可以直接修正测量结果，不确定度不能修正测量结果；误差按其定义， 只和真值有关，不确定度和影响测量的因素有关； 7.得到方法的区别： 误差是通过测量得到的，不确定度是通过评定得到的； 8.操作方法的区别： 系统误差与随机误差难于操作，不确定评定易于操作；
结论： 1、误差与测量不确定度是相互关联的，就是说，测 量误差也包含不确定度，反之，评定得到的不确定 度也还是有误差。 2、精度是按照误差的分类进行评价的，但在误差合 成的方法上与测量不确定度是不同的，系统误差按 照代数和合成，随机误差按方和根法合成，而系统 误差与随机误差的合成则有按标准差合成的，有按 极限误差合成的。因此，其合成的方法并不统一。