半经典理论

k F (3 2 n)
1 3
（1.23）
EF
2
2m
(3 2 n)
2 3
（1.24）
电子能态密度 g(E)： Density of states (DOS)
g (E)
n dn E dE
g3 D ( E )
1 2
( 2
2m
2
)3/2 E1/2 （1.27）
电子分布函数：
3. Hall 系数的问题
？
霍尔效应
Lorentz force: fLorentz qv B charge accumulation => transverse electric field( Hall voltage) 稳态时直接求解：
VH eE y e f Lorentz evdrift B W
V_drift
直流电场 稳态情况：
vdrift adrift
j E
Ee m
ne2 m
j nevdrift
*交流电场*
m t v
mv

Ee
v0
E0 e (1 i ) 1 m
Drude模型的失效： 1. 平均自由程： 低温下很大！
2. 电子比热：和温度无关！
������
3 2 5 k BT 2 1 2m 2 U (T ) EF [1 ( ) ] 2 ( ) 5 12 2 5 2 2
2 2 T 2 5/2 5 2 k BT 2 1 2m 3 n 2 k B 2 U (T ) U (0) EF ( ) 2 ( ) U (0) 5 12 EF 2 4 EF
(1.37)
(1.39) (1.40) (1.41)
2 T U 1 2 kB cel n T T 2 EF
Discussions
kT 1 cel 2 nk B ( B ) 2 EF
远小于经典(Drude模型)比热
来自Fermi分布： 大部分电子已经填充在基态（E< ������ ）, 仅有在������ 附近 ������������ ������ 范围的 电子才受到温度影响。
fD (E)
1 e( E )/ kBT 1
n g ( E ) f D ( E ) E
…… …… E ……
……
比热的数学推导 电子能量： U (T ) 0 E g ( E ) f D ( E )dE
U (T ) 1 2 ( 2 2m )
3 2



0
IB neVH t
Ey Bjx

VH t BI
RH
1 ne
Carrier as hole: p-type semiconductor; alumina, etc. Positive Hall coefficient !
Sommerfeld模型：
自由电子气模型 + 费米分布 From PBC (周期性边界条件）： free electron
利用
������������ ������ ������
E
2 k BT 2 ( ) [1 ( ) ] 8
3 2
≪ 1 的性质，做泰勒展开，可以得到： 2 k BT 2 EF [1 ( ) ] 12 ������ ������ 将上式带入（1.35）中，展开保留到 ������ 二阶量，有
一些过度金属的比热很大： Fermi附近大的态密度 n
‘重费密子’系统：比热也非常大： 大的有效质量m* UPt3 ; CeCl3
2 k BT 2 EF [1 ( ) ] 12 EF
T 升高，������ 下降的解释
热电效应
小结：
Drude模型
合理性： 考虑了晶格碰撞等散射效应 局限性： 采用自由气体的Maxwell分布来描述电子
I jx S nvdrift e (Wt )
Hall voltage depends on the current and magnetic field The ratio of these quantities represents the material property Hall coefficient: RH
Aeik r
kx
ky
2 n x Lx
2 n y Ly
电子波：量子力学
2 kF EF 2m 2
kz
N Vr 3
2 nz Lz
spin
费米能量 费米球； 费米面；费米波矢
电子（状态）密度：
n
n 2(
1 3 4 3 1 2m 3/2 ) k F 2 ( 2 )3/2 EF 2 3 3
固体能带理论： 1. 固体物理基础
Drude模型和Sommerfeld模型： 前能带理论
电子在均匀的晶体势阱里面运动
Drude模型：自由电子模型+散射弛豫假设 velocity
dp(t ) p(t ) f (t ) dt
τ: relaxation (phase-break) time time
0

1 2 2
(
2m
)
3 2


0
3 E 1 2m 3 2 dE 2 ( ) (k BT ) 2 F3 ( ) E 2 k T B 2 exp( ) 1 k BT
1 2
(1.36)

1 3
( 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2m
) 2 2 [1
3
3
2 k BT 2 ( ) ] 8
3/2 F
对比以上两式：
E dE E exp( ) 1 k BT
3 2
(1.32)
定义Fermi-Dirac integrals:
Fj ( y0 )

0
yj dy exp( y y0 ) 1
(1.33)
3 2 k T 2 5 5 1 2 m 2 B U (T ) 2 [1 ( ) ] 2 ( )2 5 8 2
Sommerfeld模型
合理性： 考虑了电子在晶体中的填充性质（Fermi-Dirac 分布，电子波的模式占据数） 局限性： 没有考虑晶格具体的影响！
微观解释： Schrodinger 方程： 电子的波动性 electron wave
晶格势的周期性
(1.35)
定义chemical potential at T: T=0 时：������ (T=0)=EF T>0 时：由粒子总数为n来决定������ 具体位置 1 3 4 3 1 2m 3 3/2 k F 2 ( ) 2 EF T=0时： n 2( ) 2 3 3
T>0时：
n g ( E ) f D ( E )dE