动力气象学第7章

P P P,
且 A A ，A代表任一物理量。
2）代入方程：
其中
1
1
1
(1 ) 2

1 1 x
u

u
V
1 x u V
u


V u V u
t t


1

P x
二维波动：
kx ly t
波矢
K＝ki lj
涡旋运动（大气长波）的斜槽结构 用二维波动表达。
典型波动：
一维波动：渠道波 二维波动：湖里水面波 三维波动：声波、电视塔发射的球面波
单个简谐波解（单波解）：
S Acos ; Asin ; Aei
第七章 大气波动学
天气图上可见：
1、气压场、高度场基本呈波状分布。 2、一个纬圈上有3－6个波 ，波在几十
个经度。尺度在106m，大尺度波动。 称大气长波（Rossby波） 3、准地转，准涡旋运动的特点。 4、振幅，大约是101hPa，大振幅的 波动； 5、这种波动控制日常天气——重要波 动。
描述波动的波参数： 波长，波速，周期，振幅……
学习中应该将它们联系起来思考。 目前波动学是主流理论。
e.g.1 气旋增强 涡度增加～涡旋动力学； 槽加深～波动学 K’增加～能量学。
e.g.2 槽脊东移～波动学；
气旋前：
t
气旋后：
t
0,即 0,即


气旋东移～涡旋动力学。

本章目的：
用波动学理论讨论天气系统的形成、 发生发展及移动的机理。
振幅表示了波动强度
（能量 E A2）。
S Sm0 单个简谐波，振幅A是常量。
S Sm 多个简谐波叠加可以表达实际的波动
m
振幅是时空的函数
考虑“线性波动传播”时，使用单个简谐波解
考虑波动强度变化时，应该用多个简谐波叠加 ——称群波或波群或波列或波包。
多个简谐波迭加
至少是2个。

1

P x

2
P x

2
P x

fv

fv
基本量满足原方程
u
V
u


1
P

fv
t
x
扰动量二次以上乘积项可忽略
u t
V
u V u


1

P x

2
P x

fv
此时，方程形式上虽然多了几项，但由于基 本量是已知的，故现在的方程是线性方程。
主要用于讨论线性波动的传播问题 （非线性波动——波－波相互作用）
kx t k(x ct)
一维波动（只随x变化），
波动在x方向上传播。
★一维波动
一维运动
一维运动: u 0, v w 0, 0
y z
一维波动: 0, v / w可以不等于0 y z
这里L为线性算子，则有：
L Sm 0 LSm 0
m
m
LSm 0
取波动形式解为——简谐波解 1）某个简谐波最具有代表性 2）每个简谐波都满足原方程，都具有相同性质解
S Acos(kx t) 或S Asin( kx t)
或S Aei(kxt)
可见振幅A常量，不随时空变化，故没有 办法讨论波的强度变化，同样无法讨论 频率、波数的时空变化。
－－通过大气运动方程进行理论探讨。
存在问题：
除了大尺度的天气波动外、大气中 （基本方程中）还存在其他波动。
四类基本波动： 大气长波，声波，重力波，惯性波。 （∵没有电磁学方程，∴不能不包含电磁波、光波）
例如：方程就包含了声波形成的机制：
A线向东扰动，由




V

0知：AB间压缩
t
p RT p
如何在方程中就进行滤波？ 例如：声波是由于大气可压缩性引起的。
假设大气是不可压的就可以滤去声波，但 对天气波动影响不大。
研究天气波动的机制、性质——理解天气 变化的规律和机理。 研究次要波动的机制和性质——滤波。 所以，只要是基本方程包含的波动，都必 须研究。
第一节 波动的基本知识
1、波动定义： 振动在弹性媒介中的传播。
i( k1 k2 x1 2 t )
Ae 2 2
i( k1 k2 x1 2 t )
i( k2 k1 x2 1 t )
[e 2 2 e 2 2 ]
ei ei
cos i sin cos i sin
2 cos
且令：
k k1 k2 , 1 2 ;
气候遥相关现象 (1)直接环流遥相关:
(2)定常波列遥相关(Hoskins,1979): PNA型遥相关
东亚北美型遥相关（Nitta，黄荣辉1987）
第三节 微扰动线性化方法
求解波动：从基本方程入手,如：
u u u v u w u 1 P fv
t x y z x
B线－ 1 p 0 du 1 P u 0
x
dt x
重要：大气长波 谐音：要保留的； 次要：如声波等 噪音：要去掉的。 滤波
滤波的目的： 去除次要波动的干扰，讨论主要波动； 特别在数值预报中：
u f (t) 差分 u f (t)
kx ly nz t 三维波动 kx ly t 二维波动
kx t 一维波动
＝kx ly nz t

K ki lj nk
r

xi

yj

zk


K

r
t

波矢：K
1、c与k无关 ——该波动的波速与波长无关
cg c;波动的能量随波动的传播而传播
非频散波
2、c与k有关 ——该波动的波速与波长有关
cg c;波动的能量随波动的传播而传播 频散波
cg c
cg c
叶笃正,1949,能量频散理论:
槽在传播过程中,会通过能量频散作用,在下 游激发或加强一个波动 →上游效应
T——周期： 质点完成一个全振动需要的时间；
c——波速或相速： 等位相线&等位相面的移动速度，即槽
的移速； 波动学中，求解天气系统移动的问题，
即求解波速c的问题。
k——波数： k 2 L 2 距离内波的数目；
ω——圆频率：
2 T 2 时间内质点完成全振动
的次数。
(kx t)
则相速度为c


k
群速度为cg

d
dk
;
三维波动
已知频散关系＝(k,l, n) (K )
相速度为C


K2
K
群速度为Cg


k
i

l
j

n
k
两个频率相近的简谐波迭加后的波形 （波形传播的速度即为群速度？）
kc
cg

d
dk

ck
dc dk
等位相线（面）的法线方向
波速C的方向
C


K
(K
K
)


K2
K
K 2 k2 l2 n2
而cx


k
,cy


l
, cz


n
因为k;l; n均 K
所以cx ; cy ; cz均 C
C cxi cy j czk
第二节 波群和波速度
微扰动线性化方法适用于小振幅的扰动。 对于有限振幅的扰动，这时不满足
A A
扰动量的二次以上乘积项不能作为高阶 小量忽略。非线性项重要。
小振幅扰动是主要是线性现象。 有限（大）振幅扰动为非线性现象
LT
3、波动的数学表示 任一个波动，可以用无穷多个不同波
长、不同强度的简谐波（单波、单色 )叠 加而形成
数学上，任一周期函数都可以用傅立 叶级数展开来表达。
S(x,t) Sm
m
Sm Am cos km (x cmt) Bm sin km (x cmt)
m=0,1,2,3… 波长L=l/m
km

2
L

2
l/m

2m
l
m——纬向波数目（整数）
也可以用复傅立叶级数表示 Sm Re(Cmei(kmxmt) )，其中Cm Am iBm 已知s(x,t);可以得到各Am; Bm或者Cm
S(x,t) Sm Sm0
m
如果是线性波动，则波动方程为：
LS(x,t) 0
②传播机制：质点与质点之间的联系
波动的最大特点：周期性 ——时间上周期变化；空间上周期分布 ——有规律、重复发生 ——可预测
2、波动的表达——波参数
简谐波：
S(x,t) Acos
＝( 2 x 2 t)
LT
x
位相
其中，A——振幅； L——波长：相邻两个同位相点间的距离，
即一个完整的波形的长度；
需要二个条件： 1）振动 2）能够传播。
质点与质点之间建立联系
e.g.单个单摆摆动，不能引起其它单摆摆动； 但用一根线把它们的摆球连起来，则一个摆 动可以传播出去。
波动机制振传荡播机机制制 缺一不可
传播的是振荡的状态。
①振荡引起的机制： 回复力～械学中的观点。一般回复机制
如大气层结不稳稳定定：：净净浮浮力力与与位位移移方方向向相相反同，。可以产生振荡；
s s s 且 s s 微扰动
（2）基本量满足原方程。
（3)扰动量的二次及二次以上乘积项 （非线性项），可作为高阶小量忽略。 →得到线性方程。
以
u
V
u


1
P

fv
t
x
线性化为例：
(1)设：
u u u,V V V , v v v,
考察二个振幅相同， 频率与波数相近的简 谐波迭加的结果。
S1 Aei(k1x1t ) S2 Aei(k2x2t ) k2 k1 k1 & k2 波数相近
2 1 1 & 2
频率相近
S S1 S2 Aei(k1x1t) Aei(k2x2t)
波速：等位相线（面）的移速。
C dx dt 常量
＝( 2 x 2 t)＝常量 2 dx － 2 ＝0
LT
L dt T
C dx ＝ L dt 常量 T
一个周期，正好移动一个全波形
S(x,t) Acos( 2 x 2 t) Acos(kx t) Acos k(x ct)
22 随时空也是周期变化，且传播的。
波振幅（波能量）的传速称为群速度。
cg

dx dt
＝
A* 常量 k

d
dk
由于k k,
所以振幅的变化要比位相的变化缓慢， 慢变波包
相速度与群速度： 相速度是位相的传播速度，如槽脊的移速 群速度是振幅/能量的移动速度。
一维波动已知频散关系：＝ (k )
未知量的二次及二次以上乘积项——非线性 项；含有非线性项的方程——非线性方程。 所以大气运动基本方程组——非线性方程组
①求解困难:作线性化或者求数值解 ②大气中存在非线性现象
如多态、突变。
在某些条件下把非线性方程线性化。 介绍微扰动线性化方法。
基本思想： （1）任一气象要素（变量），由已知基 本量叠加上未知扰动量组成，即：
t
t
utt ut f (t) t 即用有限元(t)代替无限元(t 0)
u u t t 时间步长t 0时 误差 0 由于计算机资源限制， t不能取太小
例如：
如果取时间波长为10分钟，对于时 间尺度为105s的天气尺度波动来说，误 差较小。而对于象声波等快波来说，误差 就很大(随机的），且是累积的。
2
2
k k2 k1, 2 1
则：
S 2Acos( k x t)ei(kxt)
22 令：A(x,t) 2Acos( k x t)
22
则：S A(x, t)ei(kxt)
波数为k,圆频率为ω，振幅为 A(x,t)的波动
这里A(x,t) 2Acos( k x t)
波动学的优点： 1、可以利用成熟的波动学理论对天气系统形
成机理、它的发生发展和移动进行研究。 2、∵槽脊的移动，即等位相线的运动，
即波的移动。 ∴槽的移速＝相速＝波速 3、、波动学把气旋（低压）、反气旋（高压） 系统联系起来。
波动学与涡旋动力学、大气能量学讨 论的对象、内容、目的相同；角度和理 论不同，可以互相补充。