数学矩阵的特征值与特征向量

(2E A)X 0 ，即
1
1
0
x2
0
，
1 1 0 x3
得它的一个基础解系： 1,1, 0T , 0, 0 ,1T ，
所以 A 的属于 1 2 3 2 的所有特征向量为：
k1 1,1, 0T k2 0, 0 ,1T ， k1, k2 不全为零。
例 4 设 A 为 n 阶方阵，则 A 与 AT 有相同的特征多
项式，相同的特征值。 证明： 因为
E AT ET AT ( E A)T E A ，
故 A 与 AT 有相同的特征多项式，进而有相同的特征值。
特征值与特征向量的另一个定义方式：
【定义】设 A 是 n 阶方阵，若存在数 0 及 n 维非零 向量 ，使得
A 0 ，或 0E A 0 ，
个特征值 1, 2 , , n （其中可能出现重根）；
第三步：对每个特征值 i ，求出齐次线性方程组 (i E A) X 0 的基础解系，即属于 i 的极大无关特征 向量组 i1 ,i2 , is ；
第四步：用极大无关特征向量组做线性组合：
k1i1 k2i2 ksis ， k1, k2 , , ks 不全为零， 这是 A 的属于 i 的全部特征向量。
k 1, 0 , 0T ， k 0 。
3 1 0
例3
A
1
1
0
的特征值与特征向量。
1 1 2
解： A 的特征多项式为
3 1 0
E A 1 1 0 23 ，
1 1 2
故 A 的特征值为 1 2 3 2 （三重）。
对于 1 2 3 2 ，求解齐次线性方程组
1 1 0 x1
1 1 1
E A 0 2 2 2 12 ，
0 0 1
故 A 的特征值为 1 2 , 2 3 1 （二重）。
对于 1 2 ，求解齐次线性方程组 (2E A) X 0 ，
1 1 1 x1
即
(2E
A) X
0
0
2
x2
0
，
0 0 1 x3
求得它的一个基础解系 1,1,0T ，
于是 自然就是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
反之，如果 0 是特征方程 E A 0 的根，则齐次
线性方程组 0E A 0 存在非零解，
设它的任意一个非零解为 ，则 就是 A 的属于特
征值 0 的特征向量，由 0E A 0 知，A 0 。
【注 1】矩阵 A 必须是方阵，其特征值可能是实数，
共有 n 个；
特征向量是相对某个特征值 0 而言的，齐次线性方 程组 (0E A) X 0 的全部非零解就是 A 的属于 0 的
特征向量，常称该齐次线性方程组的任意一个基础解系为
A 的属于 0 的极大无关特征向量组。
【注 2】方阵 A 的特征值与特征向量的求法：
第一步：求出矩阵 A 的特征多项式 f () E A ； 第二步：求出代数方程 f () 0 的 n 个根，即 A 的 n
故矩阵 A 的属于 1 2 的所有特征向量为
k 1,1, 0T , k 0。
对于 2 3 1 ，求解方程组 (1E A)X 0 ，
0 1 1 x1
即
(1E
A) X
0
1
2
x2
0
，
0 0 0 x3
求得它的一个基础解系： 1, 0 , 0T ，
故 A 的属于 2 3 1的所有特征向量为
向量。
特征值与特征向量的两种定义是等价的。
事实上， A 0 ， 0 ，
0E A 0 , 0 ， 这表明齐次线性方程组 0E A 0 存在非零解 ，
0E A 0 ， 即 0 是特征多项式 E A 的根，即 A 的特征值，
也可能是复数。
【注 2】若 是 A 的属于特征值 0 的特征向量，则
k 也是 A 的属于特征值 0 的特征向量。 事实上 A(k ) k( A ) k0 0 (k ) 。 【注 3】若1,2 都是 A 的属于 0 的特征向量，则
k11 k22 ( 0) 也是 A 的属于 0 的特征向量。 事实上 A(k1 1 k 2 )2 k A1 1k A2 2
即
( 4E A ) X 3
9
3 2x
，0
6 6 0 x3
求得它的一个基础解系 1,1, 2T ，
故 A 的属于 1 4 的特征向量为： k 1,1, 2T , k 0。
对于 2 3 2 ，求解方程组 (2E A) X 0，
3 3 3 x1
即
(2E
A) X
3
3
3
k101 k202 0 (k11 k22 ) 。
x2
0
，
6 6 6 x3
求得它的一个基础解系： 1, 0 ,1T , 1,1, 0T ，
故 A 的属于 2 3 2 的所有特征向量为
k1 1, 0 ,1T k21,1, 0T ， k1, k2 不全为零。
1 1 1
例2
求
A
0
2
2
的特征值与特征向量。
0 0 1
解： A 的特征多项式为
A 的特征值（或特征根）；
（4）若 0 是 A 的某个特征值，齐次线性方程组
(0E A) X 0 的非零解 X 为 A 的属于特征值 0 的特征向量。
【注 1】若 A 是实数域 R 上的 n 阶矩阵，则 A 的特征
多项式 E A 是关于 的首项系数为 1 的 n 次多项式。
这个多项式的根（包括重数根在内），即 A 的特征值
第 5-1 节 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念
【定义】设 n 阶方阵 A (aij )nn ， 是一个数，则称 （1） E A 为 A 的特征矩阵；
（2）
a11 a12
a1n
f () E A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
为 A 的特征多项式；
（3） A 的特征方程 f () E A 0 的根 为
1 3 3
例1
求
A
3
5
3
的特征值与特征向量。
6 6 4
解： A 的特征多项式为
1 3 3
E A 3 5 3 4 22 ，
6 6 4
故 A 的特征值为 1 4 , 2 3 2 （二重）。 对于 1 4 ，求解齐次线性方程组 (4E A) X 0 ，
3 3 3 x1