光学教程第四章New-

菲涅耳半波带法
P点合振动之振幅为：
An(p)a1a2 a3
(1)n1an
第K个半波带外缘半径：
K 2 R 2 (R h )2 (r 0 K 2)2 (r 0 h )2
K 22 R h2r0KK 4 22 2 r0h h 2
hr0KK22 /4
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2(Rr0)
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光 学 第四章 光的衍射
入射时，0=0；
2. 位相问题F(：0,)11i c2eois2
=0， F =1 =， F =0
i
3. 振幅问题：次波的振幅和入射光波长成反比。
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光 学 第四章 光的衍射
Kirchoff衍射积分公式的适用条件
导出基尔霍夫衍射积分公式时，使用的边 界条件只有在源点和场点到衍射屏的距离远大 于波长，且衍射孔的线度比光波长大得多的情 况下才能近似成立。
S
r
几个问题：
1. 计算所得的P点的光振动比实际相位落后/2； 2. 假设了=0时，F()=1;且/2时，F()=0。
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光 学 第四章 光的衍射
Kirchoff衍射积分公式
1882年，基尔霍夫利 用麦克斯维方程，应用标 量波动微分方程和数学中 的格林原理及边界条件， 导出了单色点源L发出的球 面波照射具有开孔S0的衍 射屏后，衍射场中任一点P 的光振动可表为：
光 学 第四章 光的衍射
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光 学 第四章 光的衍射
研究的主要问题： 光的衍射现象； 典型的菲涅耳衍射、夫琅和费衍射； 缝与光栅。
要点： 1. 惠更斯－－菲涅耳原理； 2. 菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的计算。
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光 学 第四章 光的衍射
§1.1 光的衍射现象
光的衍射 不能用反射或折射解释的光偏离直线传播的现 象称为光的衍射。
为n
dS ·
Q
E~(P) dE~(P)
· r dE(p) p
S
0, f fmax
S(波前)
倾斜因子f ( ): f()
dEpA(Q)rf()dS
/2, f()0
•表征子波传播并非各向同性
A(Q)取决于波前上Q点处的强度
无后退波
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光 学 第四章耳原理的缺点之一。
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小圆孔衍射
首先计算小孔露出的波面部
分对P点所包含的半波带数n 。
r0>>，
h
r0KK22
/
4
2(Rr0)
h r0n
2(R r0)
R>> K 2 2 22 RR h h RR20r nrr 00K nK 4 22 2(R Rr2 0r0h r0 ) h 2
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小圆屏衍射
对遮住了m个带的小圆屏：
Ap
am1 2
菲涅耳与泊淞亮点问题……
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§2.4 波带片
能将每隔一个半波带的光振动的复振幅（振 幅或相位）加以改变的衍射屏称为波带片。
矩形波带片
当挡住全部偶数带后，P点的振幅为：
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夫琅禾费衍射与菲涅耳衍射的关系
夫琅禾费衍射区包含在菲涅耳衍射区之内。
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光 学 第四章 光的衍射
§2.1 菲涅耳衍射
菲涅耳半波带法
若每一环带相应边缘两点或相邻带对应点到
P点的光程差为/2，则称该环带为半波带。
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光 学 第四章 光的衍射
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光 学 第四章 光的衍射
菲涅耳半波带法
任何一个半波带面积和它至P点的距离之比是 一个与K无关的量。各半波带在P点振幅的不同 ，只能与倾斜因子有关。
An(p) a a2 21 1 ((a a2 21 1 a a2 2 a a2 23 3)) ((a a2 23 3 a a4 4 a a2 25 5)) a a22 n n1
A pa 1a 3 a 19 1a 1 0
用单色平行光正入射到一个半径为K的小圆孔
上，对P点所露出的第k半波带的半径为：
K kr0 k1
若在全部的偶数带或奇数带上镀膜，使其光波在P点
产生的振动相位延迟；这种波带片称为相位波带片
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初步近似假设：
①
⑴ z 的最大线度
⑵近轴近似
则①式化为：
1
U 0(x0,y0)i z
U 1(x1,y1)eikr01dx1dy1
②
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光 学 第四章 光的衍射
菲涅耳近似
由于
1
r01 z2(x0x1)2(y0y1)2 z1(x0 z2x1)2(y0 z2y1)22
z(x0x1)2(y0y1)2(x0x1)2(y0y1)22
2.菲涅耳衍射的傅里叶变换关系
由③式指数展开，并令 fx x0z,fy y0z
则有 ④ U 0 (x 0 ,y 0 ) e ik z e i2 k z [x 0 2 + y 0 2 ]F { U 1 (x 1 ,y 1 )e i2 k z [x 1 2 + y 1 2 ]}
在某些问题中(例如会聚球面波照明衍射屏 时)二次位相因子可以被消去。
障碍物、位相片；－－光的振幅或位相发 生不均匀改变。
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光 学 第四章 光的衍射
衍射屏和屏函数： 衍射屏：具有各种形状的平面障碍物。
屏函数：即复振幅透射率函数
~t (x,
y)EE~~ti((xx,,
y) y)
具有简单开孔形状的不透光屏的屏函数：
~t (x,
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y)
1 0
透光部分 不透光部分
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菲涅耳衍射和夫琅和费衍射： 1. 菲涅耳衍射： 光源或接收屏之一距离衍射屏为有限远时
的衍射；此时在衍射屏上入射光或衍射光的相 位为坐标的较复杂函数。
2. 夫琅和费衍射： 光源和接收屏均距离衍射屏为无限远时的 衍射；即入射光为平行光，衍射光也为平行光。
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奇 偶
由于： 0 0
F()1cos
2
a2a21a23,a4a23a25,A(
p)
a1 2
an 2
奇 偶
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光 学 第四章 光的衍射
菲涅耳半波带法
对自由空间传播的球面波：
An
(
p)
a1 2
半波带法要求波面恰好能够分成若干个完整的 半波带，若半波带不完整，则不易得到定量的 结果。
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如果小孔的半径远大于光波长（ >>）或接收屏离小孔很
近(r0很小)；轴线上各点的光强与小孔的大小无关。
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光 学 第四章 光的衍射
小圆孔衍射
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光 学 第四章 光的衍射
小圆孔衍射
当光源置于无穷远处，即用平行光入射，且
接收屏离衍射屏足够远时，小孔只露出一个半
波带的一小部分；不大于一个半波带，P点始终
这就是对基尔霍夫公式的适用范围的限制 条件。但在一般的光波衍射问题中均满足。以 此为代表的称为标量衍射理论。
严格的衍射理论是电磁波的矢量衍射理论。
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光 学 第四章 光的衍射
§1.3 互补屏 巴比涅原理
互补屏的概念
若有两衍射屏透光
与不透光部分正好互
补，则：
E ~ 0 (P ) E ~ 1 (P ) E ~ 2 (P )
E ~(P )i1 S0E ~(Q )1 reikc r o 02 sco d sS
此即菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分公式。
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光 学 第四章 光的衍射
E ~(P )i1 S0E ~(Q )1 reikc r o 02 sco d sS
E ~(P)c E ~(Q)1eikF r()dS
S
r
倾斜因子为：
F 比(例0常,数) 为c：o0s2cos
C 1 i
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光 学 第四章 光的衍射
Kirchoff衍射积分公式
由基尔霍夫衍射积分公式可得：
E ~(P )i1 S0E ~(Q )1 reikc r o 02 sco d sS
1. 次波在各个方向上的振幅是不相等的；正
泊松亮斑
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光 学 第四章 光的衍射
振幅矢量图解法
可将每一个半波带 分为更小的子带。 以P为中心，
r0 2 N
r0
2
2N
r0
3
2N
r0
(N 1)
2N
为半径，将第一子波带分成N个子带。
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光 学 第四章 光的衍射
振幅矢量图解法
注意，OC和螺线在O点的切线垂直，意味着由 图解法所得P点的合振动的位相较波带中心O发 出的次波在P点的相位滞后/2；而在自由传播的 情况下，P点实际的相位应为与O点处发出次波 在P点相位相同。
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光 学 第四章 光的衍射
惠更斯－－菲涅耳原理（1818）
波传到的任何一点都是子波的波源；设S是某光波的波阵面
，在其上任一面元dsi都可看作是次波的光源，各子波在空间
某点的相干叠加，就决定了该点处光波的强度。若dsi在波阵
面前面一点P产生的电场矢量为dEi，则S在P点产生的合电场
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光 学 第四章 光的衍射
§2 菲涅耳衍射
图1 讨论衍射用的几何示意图
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由
U 0 ( x 0 ,y 0 ) i 1 U 1 ( x 1 ,y 1 )e r ik 0 r 1 0 1c o s ( n ,r 0 1 ) 2 c o s ( n ,r 2 1 )d x 1 d y 1
1. 子波球面次波的频率与初波相同； 2. 子波源的初相与初波到达Q点时同相； 3. 次波在P点的振幅与初波在Q点的振幅成 正比；
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Fresnel衍射积分公式 由上所述，dS在P点的振幅为：
dE ~(P)cE ~(Q)1eikF r()dS
r
代入积分得：
E ~(P)c E ~(Q)1eikF r()dS
2z
8z3
菲涅耳近似(只取前两项)：
r01z(x0x1)22z(y0y1)2
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光 学 第四章 光的衍射
菲涅耳衍射公式：
U 0 (x 0 ,y 0 ) i1 ze ik z
③ U 1 (x 1 ,y 1 )e i2 k z [(x 0 x 1 )2 (y 0 y 1 )2 ]d x 1 d y 1
不会出现暗点。此时已经进入夫琅和费衍射区
。衍射场分为三个区域：1. 紧接着衍射屏的直线
投影区；2. 近场区或菲涅耳衍射区；3. 远场区
或夫琅和费区。
夫琅和费区应满足的条件
（波面只露出一个半波带的一 小部分）
2
n 1
r0
r0
2
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光 学 第四章 光的衍射
小圆孔衍射
对轴外任一点的光强，半波带对振动的贡献 不仅取决与波带的数目，而且与各带的残缺程 度有关。
光 学 第四章 光的衍射
波带片的焦点
对一块矩形波带片ZZ' ， 若其第k半波带外圆
的半径为k ， 在轴上总可以找到距波带片为r0的
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光 学 第四章 光的衍射
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
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光 学 第四章 光的衍射
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菲涅 耳衍 射和 夫琅 和费 衍射 图样
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光 学 第四章 光的衍射
§1.2 惠更斯－－菲涅耳原理
惠更斯原理及其困难
1. 子波元的概念； 2. 子波的包迹形 成波面；
困难：与波的物理 量无关，不能计算振幅 和位相；不能定量解释 衍射和干涉。
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光 学 第四章 光的衍射
夫琅禾费衍射
夫琅禾费近似：2 k z(x 1 2 y 1 2 )m a x 1 或 z k 2 (x 1 2 y 1 2 )m a x
例如设孔径由点处的单色点光源照明U
(0 )
A
eikr21 r21
夫琅禾费衍射公式
U 0(x0,y0)i1 zeikzei2 k z(x0 2 y0 2)F { U 1(x 1,y1)} （1）
菲涅耳半波带法
包含K个半波带的球冠的面积为：
SK2 R hR R r0(r0K K 22/4)
包含K-1个半波带的球冠面积为：
S K 1 2R R h R r 0[r 0 (K 1 ) (K 1 )22/4 ]
第K个半波带面积：
S K S K S K 1 R R r 0[r 0 K/2 ] R R r 0r K
两个互补屏在衍射场中某点单独产生的复
振幅之和等于光波自由传播时该点的复振幅。
或者说，两个互补屏在观察点处产生的衍射光场，其复 振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅。
此即巴比涅原理。
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光 学 第四章 光的衍射
巴俾涅原理为研究某些衍射问题提供了 一种辅助方法。
例：求解两种互补屏（圆孔和圆屏，单缝和 金属细线）的衍射光场。