《第七章玻耳兹曼统计》(期末复习)

《第七章 玻耳兹曼统计》（期末复习）

、热力学第一定律的统计解释:

比较可知: 即：从统计热力学观点看， 做功：通过改变粒子能级引

起内能变化;

传热：通过改变粒子分布引起内能变化

、相关公式 1、非定域系及定域系的最概然分布

a

i

2、配分函数:

3、热力学公式（热力学函数的统计表达式）

内能：U 曲竽 物态方程:

定域系：自由能：—熵®k"B 或s = Nk （inZ 」詈］

dU =6W dQ

U 八 a i ；i 二 dU

dQ - '

；i da i

I 量子体系：乙八代八

I

半经典体系：

Z

-'t

d-

... e 1；q,p

dq i dq 2 dq 「dp i dp 2 dp r

1

-

厂

h r

应用:

a i

乙

二 N

I

-—i^J

经典体系: 乙二e

_打 土 = ... e 1；q,P dqg

dq r dpg dp

「 齐

h

1、用玻耳兹曼分布推导单原子分子的理想气体物态方程并 说明所推导的物态方程对多原子分子的理想气体也适用。

2、能量均分定理 ① 能量均分定理的内容 ② 能量均分定理的应用：

A 、 熟练掌握用能量均分定理求理想气体（单原子分子，多 原子分子）内能、热容量。知道与实验结果的一致性及存在 的问题。

B 、 知道经典的固体模型，熟练掌握用能量均分定理求经典 固体的内能及定容热容量。知道与实验结果的一致性及存在 的问题。 3、定域系的量子统计理论：

①、爱因斯坦固体模型；②、

熟练掌握用量子统计理论求爱因斯坦固体的内能及其热容 量；③、知道爱因斯坦固体模型成功之处及其不足和原因。

四、应熟练掌握的有关计算 1、求配分函数Z i 进而求系统的热力学性质 2、用S 二kln"的证明及相关应用 四、解题指导

例1 ：根据公式p = - | a*

电=cp =

（n XX +n ： +n ；）1/2 ， n * =n 厂 n z =0,±1,二2，…

1、求广义力的基本公式

丫八a i 」的应用;

i

:y

T ，证明：对于极端相对论粒子，

s s

I

i A

i

A I

一V _ 3V 4/3 _ 3V V 1/3 _ 3V

论对玻尔兹曼、玻色、费米分布均存立。 2、熵的统计表达式及玻耳兹曼关系的应用

例2试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表 示为

S 二—Nk' Psln Ps

经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同? 证明：对于定域系

a

f

=Nk 送 P s ln Z i

l=Nk 送 P s ln Z i 送 PsJ

)

'< S

s

丿

--Nk' P s TnZ 1 - 二s - -Nk' Psln Ps

证法 C P =Nk E P s InZ 1 ——N N P s In Z 1

a s ；s

N

-：InZ 1

c P

C

P

=Nk 送 P s ln Z 1 +—u = Nk

(1)：

1

c P

s

；：ln 乙 S = Nk In 乙

有p 」U 3V

上述结论对玻尔兹曼、 玻色、费米分布均存立。

证明：令

2 2 2

、1/2

A =C 2JTC A( n x + n y + n ?)，

A i A i

L V —因此得到

压强

pi a/

；l 1

i

.V

Fi a

i ；i

因内能U -7 ；向，所以P=U O

3V

证毕

由于在求证过程中，并未涉及分布

a i 的具体形式，故上述结

式中 P s 是总

子处于量子态 s

的概率， P = — e

s

N N Z 1 s

对粒子的所有量子态求和。

对于满足

证法（2）:对于满足玻耳兹曼分布的定域系

a

In I 】=In N!'二 In a i !二二 a 1 ln i = N lnN — N '二 a 1 In a i …‘二 a i …'二 a 1 ln i = N ln N 二 a 1 In -

I I I I I I co | a a

a

=、a i I nN —、a I In L = ' a s I nN -、a s I n a s = N s In N - N s In a s

I I IS s s N s

N

a $ N a $ a $

二 N s In

N s In s 二-N^ P s in P s

s N a s

s N N

s

故：S = kT In I - -Nk 、Psin Ps

s

讨论：对满足对e — 1的非定域系

S = Nk

in

P a" J | —kin N ! = —Nk 送 Ps I n Ps — k I n N ! = —Nk 送 Ps in Ps +S 。

'齐丿

s

s

或 s = ki n 0 = ki n O M .B -ki nN !=—Nk Z P s in P s +S 0

例3 :对如图所示的夫伦克尔缺陷，

（1）假定正常位置和填

隙位置数均为N ，证明：由N 个原子构成的晶体，在晶体中 形成n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于

（2）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u ，试由自

由能F=nu-TS 为极小证明在温度为 T 时，缺位和填隙原子数

为

-u/2kT

证明：（1）当形成缺陷时，出现几个缺陷的各种占据方式就 对应不同的微观状态， N 个正常位置出现n 个空位的可能方

.a

II ai^ i 1

S =2kin

N ! n!(N -n)!