2019北京四中高三(上)期中数学含答案

2019北京四中高三（上）期中

数学

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）

A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}

2．（4分）已知命题p：?n∈N，n2＞2n，则￢p为（ ）

A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n

3．（4分）若复数（1+bi）（2+i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b＝（ ）

A．2 B．C．D．﹣2

4．（4分）已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则cos2α＝（ ）A．B．C．D．

5．（4分）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．（4分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（ ）

A．a＝e，b＝﹣1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e﹣1，b＝1 D．a＝e﹣1，b＝﹣1

7．（4分）已知a，b为不相等的两个正数，且lgab＝0，则函数y＝a x和y＝b x的图象之间的关系是（ ）A．关于原点对称B．关于y轴对称

C．关于x轴对称D．关于直线y＝x对称

8．（4分）已知函数f（x）＝a sin x﹣b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）的图象关于x＝对称，则函数y＝f（﹣x）是（ ）

A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

9．（4分）某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：

（1）如不超过200元，则不予优惠；

（2）如超过200元但不超过500元，则全款按9折优惠；

（3）如超过500元，其中500元按9折给予优惠，超过500的部分按8折给予优惠．

某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样价格的商品，则应付款（ ）

分）函数，设

为偶函数，则＝　

分）函数的极大值点为　

）时，恒成立，则实数

﹣．

，|φ|＜）的通项公式，则此通项公式可以为

﹣a+a

∈[0，]，最大值是，求实数

19．（13分）近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C （x）＝（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．

（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；

（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？

20．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝．

（1）求角A的大小；

（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．

21．（14分）已知函数．

（1）当时，讨论f（x）的单调性；

（2）设g（x）＝x2﹣2bx+4．当时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求实数b的取值范围．

22．（14分）将全体自然数填入如图所示的3行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同．

对于正整数a、b，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对任意n∈N，都有n，n+a，n+b分别在表格的不同行，则称数对（a，b）为自然数集N的“友好数对”．

（1）试判断数对（1，2）与（1，3）是否是N的“友好数对”，并说明理由；

（2）若a＝3，问：是否存在b，使得数对（a，b）是n的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个b的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；

（3）试给出使得数对（a，b）是N的“友好数对”的一个充分条件．（结论不要求证明）

2019北京四中高三（上）期中数学

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分

1．【分析】计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．

【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，

∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．

故选：A．

【点评】本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．

2．【分析】直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可．

【解答】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：?n∈N，n＞2n，则￢p为：?n∈N，n2≤2n．故选：C．

【点评】本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．

3．【分析】本题主要考查复数的乘法运算以及纯虚数的概念等基础知识，属容易档次．

【解答】解：（1+bi）（2+i）＝（2﹣b）+（1+2b）i，

则，∴b＝2

选A．

【点评】高考中有关复数的考点主要是复数的有关概念及复数的运算，本题一石二鸟，涉及到所需考查的两方面，加大了对考试内容的覆盖力度．

4．【分析】直接利用三角函数的定义和倍角公式的应用求出结果．

【解答】解：角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，所以cos，所以cos2α＝2cos2α﹣1＝．

故选：B．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的定义的应用，倍角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

5．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行判断即可．

【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，

反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，

但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，

即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．

故选：B．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的性质是解决本题的关键．

6．【分析】求得函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程，可得ae+1+0＝2，可得a，进而得到切点，代入切线方程可得b的值．

【解答】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，

由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，

可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，

又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，

故选：D．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

7．【分析】根据已知条件得到ab＝1，则a、b互为倒数，则函数y＝a x和y＝a﹣x的图象关于y轴对称．【解答】解：∵lgab＝0，

∴ab＝1，

又∵a，b为不相等的两个正数，

∴b＝，

则y＝b x＝a﹣x，

∵函数y＝a x和y＝a﹣x的图象关于y轴对称，

∴函数y＝a x和y＝b x的图象关于y轴对称．

故选：B．

【点评】本题考查了对数函数的图象与性质．解题时还需要掌握指数函数的图象与性质．

8．【分析】根据函数f（x）的对称性求出b＝﹣a，然后求出函数的解析式，根据三角函数的性质进行判断即可．

【解答】解：∵函数f（x）的图象关于直线对称，

∴f（）＝（a﹣b）＝，

平方得a2+2ab+b2＝0，

即（a+b）2＝0，

则a+b＝0，b＝﹣a，

则f（x）＝a sin x+a cos x＝sin（x+），又a≠0，

则＝sin（﹣x+）＝sin（π﹣x）＝sin x为奇函数，

且图象关于点（π，0）对称，

故选：D．

【点评】本题主要考查三角函数的性质的应用，根据函数的对称性求出b＝﹣a是解决本题的关键．

9．【分析】求出两次购物的原价，根据优惠活动计算应付款．

【解答】解：购物500元应付款500×0.9＝450元，

设第二次购物的原价为a，则200＜a＜500，

故0.9a＝423，解得a＝470．

故两次购物原价为168+470＝638元．

若一次购物638元，则应付款500×0.9+138×0.8＝560.4元．

故选：D．

【点评】本题考查了函数解析式与函数值的计算，属于基础题．

10．【分析】存在性与任意性命题的判断，任意性命题错误，只需举反例即可．

【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），易知f（x）在这三段定义域上递增，

曲线y＝f（x）与y＝a的三个交点的横坐标x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则x1＜0＜x2＜1＜x3，

取a＝0.5时，即f（x）＝0.5得（x+1）（x﹣2）（x﹣0.5）＝0，所以x1＝﹣1，x2＝0.5，x3＝2，x2﹣x1＝1.5＞1，

x3﹣x1＝3＜4，存在a＝0.5时，x3﹣x1＝3＜4，所以B不成立；

故选：B．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

11．【分析】根据f（x）为偶函数即可求出a＝2，从而得出原式＝，进行对数的运算即可．

【解答】解：∵f（x）为偶函数，

∴a﹣2＝0，

∴a＝2，

∴＝＝1﹣log27﹣（﹣log27+3）＝1﹣3＝﹣

2．

故答案为：﹣2．

【点评】考查偶函数的定义，对数的运算性质，以及对数的换底公式．

12．【分析】先根据等差中项可知4S2＝S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．

【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，

∴a n＝a1q n﹣1，又4S2＝S1+3S3，即4（a1+a1q）＝a1+3（a1+a1q+a1q2），

解．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

13．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点．【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）＝＝，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，

令f′（x）＜0，解得：x＞1，

故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故x＝1为f（x）的极大值点，

故答案为：1．

【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，是一道基础题．

14．【分析】解直角三角形ABC，可得sin C，cos C，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．

【解答】解：在直角三角形ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，sin C＝，

在△BCD中，可得＝，可得BD＝；

∠CBD＝135°﹣C，sin∠CBD＝sin（135°﹣C）＝（cos C+sin C）＝×（+）＝，

即有cos∠ABD＝cos（90°﹣∠CBD）＝sin∠CBD＝，

故答案为：，，

【点评】本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．

15．【分析】数形结合法：把变为x2﹣＜a x，分a＞1和0＜a＜1两种情况作出两函数y＝x2﹣，y＝a x

的图象，结合题意即可得到a的范围．

【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，，即x2﹣a x＜，也即x2﹣＜a x，

令y＝x2﹣，y＝a x，

①当a＞1时，作出两函数的图象，如图所示：

此时，由题意得，解得1＜a≤2；

②当0＜a＜1时，作出两函数图象，如图所示：

此时，由题意得，解得≤a＜1．

综上，实数a的取值范围是．

故答案为：．

【点评】本题考查函数恒成立问题，恰当构造函数是解决本题的关键，本题渗透了转化思想和数形结合思想．16．【分析】首先利用数列的递推关系式求出数列各项，进一步利用数列的周期的应用求出数列的通项公式．【解答】解：①数列{a n}满足：a1＝2，a n＝1﹣．

当n＝1时，＝．

当n＝3时，

当n＝4时．

②a n＝．

故答案为：2；．

【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.

17．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于a sin（2x﹣）+b，由 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即得函数的单调递减区间．

（2）根据x∈[0，]，可得2x﹣的范围，sin（2x﹣）的范围，根据f（x）的最小值是﹣2，最大值是，求得实数a，b的值．

【解答】解：（1）f（x）＝a sin x?cos x﹣a＝﹣+＝﹣+b＝a sin（2x﹣）+b．

由 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈z，

故函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（2）∵x∈[0，]，∴﹣≤2x﹣≤，∴﹣≤sin（2x﹣）≤1．

∴f（x）min＝＝﹣2，f（x）max＝a+b＝，

解得a＝2，b＝﹣2+．

【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，化简f（x）的解析式等于a sin （2x﹣）+b，是解题的关键．

18．【分析】（I）由a1＝2，a4＝16直接求出公比q再代入等比数列的通项公式即可．

（Ⅱ）利用题中条件求出b3＝8，b5＝32，又由数列{b n}是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n

项和S n．

【解答】解：（I）设{a n}的公比为q

由已知得16＝2q3，解得q＝2

∴＝2n

（Ⅱ）由（I）得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32

设{b n}的公差为d，则有

解得．

从而b n＝﹣16+12（n﹣1）＝12n﹣28

所以数列{b n}的前n项和．

【点评】本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．19．【分析】（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，C（0）＝＝24，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；

（2）利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．

【解答】解：（1）C（0）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，

即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费…（2分）

由C（0）＝＝24，得k＝2400 …（3分）

所以F＝15×+0.5x＝+0.5x，x≥0…（7分）

（2）因为+0.5（x+5）﹣2.5≥2﹣2.5＝57.5，…（10分）

当且仅当＝0.5（x+5），即x＝55时取等号…（13分）

所以当x为55平方米时，F取得最小值为57.5万元…（14分）

【点评】本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．

20．【分析】（1）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．

（2）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．

【解答】解：（1）∵＝，

∴（2c﹣b）?cos A＝a?cos B，

由正弦定理，得：（2sin C﹣sin B）?cos A＝sin A?cos B．

∴整理得2sin C?cos A﹣sin B?cos A＝sin A?cos B．

∴2sin C?cos A＝sin（A+B）＝sin C．

在△ABC中，sin C≠0．

∴cos A＝，∠A＝．

（2）由余弦定理cos A＝＝，a＝2．

∴b2+c2﹣20＝bc≥2bc﹣20

∴bc≤20，当且仅当b＝c时取“＝”．

∴三角形的面积S＝bc sin A≤5．

∴三角形面积的最大值为5．

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用，属于中档题．

21．【分析】（1）直接利用函数与导数的关系，求出函数的导数，再讨论函数的单调性；

（2）利用导数求出f（x）的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g（x）在闭区间[1，2]上的最小值，然后解不等式求参数．

【解答】解：（1）f（x）＝1nx﹣ax+﹣1，

则f′（x）＝﹣a﹣＝

令h（x）＝ax2﹣x+1﹣a（x＞0）

①当a＝0时，h（x）＝﹣x+1（x＞0），

当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

②当a≠0时，由f′（x）＝0，即ax2﹣x+1﹣a＝0，解得x1＝1，x2＝．

（i）当a＝时x1＝x2，h（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）单调递减；

（ii）当0＜a＜时，﹣1＞1＞0，x∈（0，1）时h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

x∈（1，﹣1）时，h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

x∈（﹣1，+∞）时，h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．

（iii）当a＜0时﹣1＜0，当x∈（0，1），h（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞），h（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增；

当a＝时，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；

当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，﹣1）单调递增，（，+∞）单调递减．

＝时，

）＝﹣，

，所以﹣≥

≤﹣，解得≥

[，