2015高考数学高分突破

2015高考数学高分突破
目录
一、选择题的解题方法与技巧 (2)
（一）题型特点概述 (2)
（二）解题方法例析 (2)
二、填空题的解题方法与技巧 (15)
（一）题型特点概述 (15)
（二）解题方法例析 (16)
三、解答题答题模板 (28)
（一）三角函数的单调性及求值问题 (29)
（二）解析几何中的探索性问题 (30)
（三）由数列的前n项和S n与通项a n的关系求通项a n (31)
（四）函数的单调性、最值、极值问题 (32)
四、答题规范 (34)
（一）答案规范 (34)
（二）结论表示要规范 (35)
（三）书写格式要规范 (36)
（四）几何作图要规范 (38)
（五）解题步骤要规范 (39)
一、选择题的解题方法与技巧
（一）题型特点概述
选择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%左右，高考数学选择题的基本特点是：
(1)绝大部分数学选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度(如思维层次、解题方法的优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题型之一．
(2)选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一题几乎都有两种或两种
以上的解法，能有效地检测学生的思维层次及观察、分析、判断和推理能力．目前高考数学选择题采用的是一元选择题(即有且只有一个正确答案)，由选择题的结构特点，决定了解选择题除常规方法外还有一些特殊的方法．解选择题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中(包括题干和选项)提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断．
数学选择题的求解，一般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件．
解答数学选择题的主要方法包括直接对照法、概念辨析法、图象分析法、特例检验法、排除法、逆向思维法等，这些方法既是数学思维的具体体现，也是解题的有效手段．
（二）解题方法例析
题型一直接对照法
直接对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条
件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知
识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出
正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从
而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用
题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接
求解．
例1 设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝
2，则f(99)等于(
)
A．13 B．2 C.13
2 D.
2
13
思维启迪
先求f(x)的周期．
解析∵f(x＋2)＝13
f(x)，
∴f(x＋4)＝
13
f(x＋2)
＝
13
13
f(x)
＝f(x)．
∴函数f (x )为周期函数，且T ＝4.
∴f (99)＝f (4×24＋3)＝f (3)＝13f (1)＝132.
探究提高 直接法是解选择题的最基本方法，运用直接法
时,要注意充分挖掘题设条件的特点，利用有关性质和已有
的结论，迅速得到所需结论．如本题通过分析条件得到f (x )是周期为4的函数，利用周期性是快速解答此题的关键．
变式训练1 函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，
若f (1)＝－5，则f (f (5))的值为 ( )
A ．5
B ．－5 C.15 D ．－15
解析 由f (x ＋2)＝1f (x )，得f (x ＋4)＝1f (x ＋2)
＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的函数，所以f (5)＝f (1)＝－5，
从而f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f (－1＋2)
＝1f (1)＝－15.
例2 设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有
一个公共点，则双曲线的离心率为 ( )
A.54 B ．5 C.52 D. 5
思维启迪
求双曲线的一条渐近线的斜率即b a 的值，尽而求离心率．
解析 设双曲线的渐近线方程为y ＝kx ，这条直线与抛物线y ＝x 2＋1相切，联立⎩⎨⎧
y ＝kx y ＝x 2＋1，整理得x 2－kx ＋1＝0，则Δ＝k 2－4＝0，解得k ＝±2，即b a ＝2，故双曲线的离心率e ＝c a ＝c 2
a 2
＝a 2＋b 2
a 2＝1＋(
b a )2＝ 5.
探究提高 关于直线与圆锥曲线位臵关系的题目，通常是联立方程解方程组．本题即是利用渐近线与抛物线相切，求出渐近线斜率．
变式训练2 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右
焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是 ( )
A ．a
B ．b C.ab D.a 2＋b 2
解析 x 2a 2－y 2b 2＝1的其中一条渐近线方程为：y ＝－b a x ，即bx ＋ay ＝0，而焦点坐标为(c,0)，
根据点到直线的距离d ＝|b ×a 2＋b 2|a 2＋b 2
＝b .故选B.
题型二概念辨析法
概念辨析是从题设条件出发，通过对数学概念的辨析，进
行少量运算或推理，直接选择出正确结论的方法．这类题
目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念或性质，这需
要考生在平时注意辨析有关概念，准确区分相应概念的内
涵与外延，同时在审题时要多加小心，准确审题以保证正
确选择．一般说来，这类题目运算量小，侧重判断，下笔
容易，但稍不留意则易误入命题者设臵的“陷阱”．
例3 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，给出下列条
件，①a＝k b(k∈R)；②x1x2＋y1y2＝0；③(a＋3b)∥(2a－
b)；④a·b＝|a||b|；⑤x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2.
其中能够使得a∥b的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
解析显然①是正确的，这是共线向量的基本定理；②是错误的，这是两个向量垂直的条
件；③是正确的，因为由(a＋3b)∥(2a－b)，可得(a＋3a)＝λ(2a－b)，当λ≠1
2时，整理得a
＝λ＋3
2λ－1
b，故a∥b，当λ＝
1
2时也可得到a∥b；④是正确的，若设两个向量的夹角为θ，则
由a·b＝|a||b|cos θ，可知cos θ＝1，从而θ＝0，所以a∥b；⑤是正确的，由x21y22＋x22y21≤2x1x2y1y2，可得(x1y2－x2y1)2≤0，从而x1y2－x2y1＝0，于是a∥b.
探究提高平行向量(共线向量)是一个非常重要和有用的概念，应熟练掌握共线向量的定义以及判断方法，同时要将共线向量与向量中的其他知识(例如向量的数量积、向量的模以及夹角等)有机地联系起来，能够从不同的角度来理解共线向量．
变式训练3 关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：
①若a·b＝a·c，则b＝c.
②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，则k＝－3.
③非零向量a和b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为
60°.
则假命题为
( )
A．①②B．①③C．②③D．①②③
B
解析①a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，a与b－c可以垂直，而不一定有b＝c，故①为假命题．
②∵a∥b，∴1×6＝－2k.∴k＝－3.故②为真命题．
③由平行四边形法则知围成一菱形且一角为60°，a＋b为其对角线上的向量，a与a＋b夹角为30°，故③为假命题．
题型三数形结合法
“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基
石，二者在内容上互相联系、在方法上互相渗透、在一定
条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点
的基础上发展而来的．在解答选择题的过程中，可以先根
据题意，做出草图，然后参照图形的做法、形状、位臵、
性质，综合图象的特征，得出结论．
例4(2009·海南)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最
小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大
值为
( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
C
思维启迪
画出函数f (x )的图象，观察最高点，求出纵坐标即可．本题运用图象来求值，直观、易懂． 解析 由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图象的最高点．
变式训练4 (2010·湖北）设集合
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪ x 24＋y 216＝1，
B ＝{}(x ，y )|y ＝3x ，则A ∩B 的子集的个数是 ( )
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
A
解析 集合A 中的元素是椭圆x 24＋y 216＝1上的点，集合B 中的元素是函数y ＝3x 的图象上的点．由数形结合，可知A ∩B 中有2个元素，因此A ∩B 的子集的个数为4.
例5 函数f (x )＝1－|2x －1|，则方程f (x )·2x ＝1的实根的个数
是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
C
思维启迪
若直接求解方程显然不可能，考虑到方程可转化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，而函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象又都可以画出，故可以利用数形结合的方法，通过两个函数图象交点的个数确定相应方程的根的个数
解析 方程f (x )·2x ＝1可化为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数y ＝f (x )和y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 的图象，如图所示．可以发现其图象有两个交点，因此方程f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x 有两个实数根．
探究提高一般地，研究一些非常规方程的根的个数以及根的范围问题，要多考虑利用数形结合法．方程f(x)＝0的根就是函数y＝f(x)图象与x轴的交点横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数y＝f(x)和y＝g(x)图象的交点横坐标．利用数形结合法解决方程根的问题的前提是涉及的函数的图象是我们熟知的或容易画出的，如果一开始给出的方程中涉及的函数的图象不容易画出，可以先对方程进行适当的变形，使得等号两边的函数的图象容易画出时再进行求解．
变式训练5函数y＝|log1
2
x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，
则区间[a，b]的长度b－a的最小值是()
A．2 B.3
2C．3 D.
3
4
D
解析作出函数y＝|log1
2
x|的图象，如图所示，由y＝0解得x＝1；由y＝2，解得x＝4或x
＝1
4.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－
1
4＝
3
4.
题型四特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图
形、特殊位臵)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊
位臵等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对
某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判
断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下
不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或
“小题巧做”的解题策略．
例6 已知A 、B 、C 、D 是抛物线y 2＝8x 上的点，F 是抛物线
的焦点，且F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋
|FD →|的值为
( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
D
解析 取特殊位置，AB ，CD 为抛物线的通径，
显然F A →＋FB →＋FC →＋FD →＝0，
则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＋|FD →|＝4p ＝16，故选D.
探究提高 本题直接求解较难，利用特殊位臵法，则简便易行．利用特殊检验法的关键是所选特例要符合条件．
变式训练6 已知P 、Q 是椭圆3x 2＋5y 2＝1上满足∠POQ ＝
90°的两个动点，则1OP 2＋1OQ 2等于 ( )
A ．34
B ．8 C.815 D.34225
B
解析 取两特殊点P (33，0)、Q (0，55)即两个端点，则1OP 2＋1OQ 2＝3＋5＝8.故选B.
例7 数列{a n }成等比数列的充要条件是 ( )
A ．a n ＋1＝a n q (q 为常数)
B ．a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2≠0 C ．a n ＝a 1q n －1(q 为常数)
D ．a n ＋1＝a n ·a n ＋2
B
解析 考查特殊数列0,0，…，0，…，
不是等比数列，但此数列显然适合A ，C ，D 项．
故选B.
探究提高 判断一个数列是否为等比数列的基本方法是定义法，也就是看a n ＋1a n
是否为常数，但应注意检验一个数列为等比数列的必要条件是否成立．
变式训练7 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2n a n
＝ 4n －12n －1，则S 2n S n
的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8
解析 方法一 (特殊值检验法)
取n ＝1，得a 2a 1＝31，∴a 1＋a 2a 1
＝41＝4， 于是，当n ＝1时，S 2n S n ＝S 2S 1＝a 1＋a 2a 1
＝4. 方法二 (特殊式检验法)
注意到a 2n a n
＝4n －12n －1＝2·2n －12·n －1，取a n ＝2n －1， S 2n
S n ＝1＋(4n －1)2·2n 1＋(2n －1)2
·n ＝4.
方法三 (直接求解法)
由a 2n a n ＝4n －12n －1，得a 2n －a n a n
＝2n 2n －1， 即nd a n
＝2n 2n －1，∴a n ＝d (2n －1)2， 于是，S 2n S n ＝a 1＋a 2n 2·2n a 1＋a n 2·n ＝2·a 1＋a 2n a 1＋a n ＝2·d 2＋d 2(4n －1)
d 2＋d 2(2n －1)
＝4. C
题型五 筛选法
数学选择题的解题本质就是去伪存真，舍弃不符合题目
要求的选项，找到符合题意的正确结论．筛选法(又叫排
除法)就是通过观察分析或推理运算各项提供的信息或通
过特例，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的
结论．
例8 方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( )
A ．0<a ≤1
B ．a <1
C ．a ≤1
D ．0<a ≤1或a <0
解析 当a ＝0时，x ＝－12
，故排除A 、D. 当a ＝1时，x ＝－1，排除B.
故选C.
探究提高 选择具有代表性的值对选项进行排除是解决本题的关键．对“至少有一个负根”的充要条件取值进行验证要比直接运算方便、易行．不但缩短时间，同时提高解题效率．
变式训练8 已知函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴
的交点至少有一个在原点右侧，则实数m 的取值范围是
( )
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(－∞，1)
D ．(－∞，1]
解析 令m ＝0，由f (x )＝0得x ＝13适合，排除A 、B.
令m ＝1，由f (x )＝0得：x ＝1适合，排除C.
题型六 估算法
由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过
程．因此，有些题目，不必进行准确的计算,只需对其数值
特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，
这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了
思维的层次．
例9 若A 为不等式组⎩⎨⎧ x ≤0
y ≥0
y －x ≤2
表示的平面区域，则当a 从
－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域
的面积为 ( )
A.34 B ．1 C.74
D ．2
解析 如图知区域的面积是△OAB 去掉一个小直角三角形．阴影部分面积比1大，比S △OAB ＝12×2×2＝2小，故选C 项．
答案 C
探究提高 “估算法”的关键是应该确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在所求值应该比△AOB 的面积小且大于其面积的一半．
变式训练9 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离
等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是
( )
A.169π
B.83π
C.4π
D.649π
解析 ∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π，
故选D.
规律方法总结
1．解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、验证
法和数形结合法．但大部分选择题的解法是直接法，在解
选择题时要根据题干和选择支两方面的特点灵活运用上述
一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、“小题巧
做”上做文章，切忌盲目地采用直接法．
2．由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性
强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯
定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃．
3．作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用
其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效
地提高解选择题的能力.
知能提升演练
1．已知集合A ＝{1,3,5,7,9}，B ＝{0,3,6,9,12}，则A ∩(∁N B )等
于
( )
A ．{1,5,7}
B ．{3,5,7}
C ．{1,3,9}
D ．{1,2,3}
解析 由于3∈∁N B ，所以3∈A ∩(∁N B )
∴排除B 、C 、D ，故选A.
2．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R)，d ＝a －b .如果
c ∥
d ，那么 ( )
A ．k ＝1且c 与d 同向
B ．k ＝1且c 与d 反向
C ．k ＝－1且c 与d 同向
D ．k ＝－1且c 与d 反向
解析 当k ＝1时，c ＝a ＋b ，不存在实数λ，使得a ＝λb .所以c 与d 不共线，与c ∥d 矛盾．排除A 、B ；当k ＝－1时，c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，所以c ∥d ，且c 与d 反向．故应选
D.
3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0
C ．ω≥1
D ．ω≤－1
B
解析 可用排除法，∵当ω>0时正切函数在其定义域内各长度为一个周期的连续区间内为增函数，∴排除A 、C ，又当|ω|>1时正切函数的最小正周期长度小于π，
∴y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2内不连续，在这个区间内不是减函数，这样排除D ，故选B. 4．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋1，g (x )＝mx ，若对于
任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m
的取值范围是 ( )
A ．(0,2)
B ．(0,8)
C ．(2,8)
D ．(－∞，0)
解析 当m ＝1时，f (x )＝2x 2－6x ＋1，g (x )＝x ，由f (x )与g (x )的图象知，m ＝1满足题设条件，故排除C 、D.
当m =2时，f (x )=4x 2-4x +1,
g (x )=2x ,由其图象知，
m =2满足题设条件，故排除A.
因此，选项B 正确．
5．已知向量OB →＝(2,0)，向量OC →＝(2,2)，向量CA →＝
(2cos α，2sin α)，则向量OA →与向量OB →的夹角的
取值范围是
( ) A ．[0，π4] B ．[5π12，π2]
C ．[π4，5π12]
D ．[π12，5π12]
解析 ∵|CA →|=2，∴A 的轨迹是⊙C ，半径为2.
由图可知∠COB ＝π4，设向量OA →与向量OB →的夹角为θ，则π4－π6≤θ≤π4＋π6，故选D.
答案 D
6．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数
K ，定义函数f K (x )＝⎩⎨⎧
f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )>K .
取函数f (x )＝2－|x |， 当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为 ( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(1，＋∞)
解析 函数f (x )＝2－|x |＝(12)|x |，作图f (x )≤K ＝12⇒x ∈(－∞，－1]∪[1,＋∞),故在(－∞,－1)
上是单调递增的,选C 项．
7．设x ，y ∈R ，用2y 是1＋x 和1－x 的等比中 项，则动点
(x ，y )的轨迹为除去x 轴上点的 ( )
A ．一条直线
B ．一个圆
C ．双曲线的一支
D ．一个椭圆
解析 (2y )2＝(1－x )(1＋x )(y ≠0)得x 2＋4y 2＝1(y ≠0)．
8．设A 、B 是非空数集，定义A *B ＝{x |x ∈A ∪B 且
x ∈A ∩B }，已知集合A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，
x >0}，则A *B 等于
( )
A ．[0,1]∪(2，＋∞)
B ．[0,1)∪(2，＋∞)
C ．(－∞，1]
D ．[0,2]
解析 A ＝R ，B ＝(1，＋∞)，
故A *B ＝(－∞，1]，故选C.
9．(2010·福建)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y
2 ＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一
点，则OP →·FP →的取值范围为
( )
A ．[3－23，＋∞)
B ．[3＋23，＋∞)
C ．[－74，＋∞)
D ．[74，＋∞) B
解析 由c ＝2得a 2＋1＝4，∴a 2＝3，
∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P (x ，y )(x ≥3)，
OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )
＝x 2＋2x ＋y 2＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1(x ≥3)．
令g (x )＝43x 2＋2x －1(x ≥3)，则g (x )在[3，＋∞)上单调递增．g (x )min ＝g (3)＝3＋2 3. ∴OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞)．
10．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a 101＝0，则有
( )
A ．a 1＋a 101>0
B ．a 2＋a 102<0
C ．a 3＋a 99＝0
D ．a 51＝51
解析 取满足题意的特殊数列a n ＝0，则a 3＋a 99＝0，故选C.
11．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－
12a 8的值为
( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
解析 令等差数列{a n }为常数列a n ＝16.
显然a 7－12a 8＝16－8＝8.
故选C.
12．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；
③a <b ；④b a ＋a b >2中，正确的不等式是 ( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④
解析 取a ＝－1，b ＝－2，则②、③不正确，所以A 、B 、D 错误，故选C.
13.(2010·全国)如图，质点P 在半径为2的圆周上逆
时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度
为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图
象大致为 ( )
解析 观察并联想P 运动轨迹与d 的关系，
当t ＝0时，d ＝2，排除A 、D ；当开始运动时d 递减，排除B.
C 14．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2x 2＋1－a ＋4a 的最小值等于3，则实数a 的 值等于
( )
A. 34 B ．1 C. 34或1 D ．不存在这样的a
解析 方法一 直接对照法
令x 2
x 2＋1
＝t ，则t ∈[0,1)． 若a ≥1，则f (x )＝|t －a |＋4a ＝5a －t 不存在最小值；
若0≤a <1，则f (x )＝|t －a |＋4a ，当t ＝a 时取得最小值4a ，于是4a ＝3，得a ＝34符合题意；
若a <0，f (x )＝|t －a |＋4a ＝t ＋3a ，当t ＝0时取得最小值3a ，于是3a ＝3，得a ＝1不符合题意．
综上可知，a ＝34.
方法二 试验法
若a ＝1，则f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2x 2＋1－1＋4>4，显然函数的最小值不是3，故排除选项B 、C ；若a ＝34，f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2x 2＋1－34＋3，这时只要令x 2x 2＋1－34＝0，即x ＝±3，函数可取得最小值3，因此A 项正确，D 项错误．
A
15．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5
(π2<θ<π)，则tan θ2等于
( )
A. m －39－m B ．|m －39－m
| C. 13 D ．5 D
解析 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，故m 为一确定的值，于是sin θ，cos θ的值应
与m 的值无关，进而tan θ2的值与m 无关，又π2<θ<π，π4<θ2<π2，∴tan θ2>1，故选D 项．
16．已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象如下图，那么
y＝f(x)，y＝g(x)图象可能是()
解析从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B项，再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢，可明显看出y＝f(x)的导函数是减函数，所以原函数应该增加的越来越慢，排除A、C两项，最后只有D项，可以验证y＝g(x)导函数是增函数，增加越来越快．
答案 D
二、填空题的解题方法与技巧
（一）题型特点概述
填空题是高考试卷中的三大题型之一，和选择题一样，属于客观性试题．它只要求写出结果而不需要写出解答过程．在整个高考试卷中，填空题的难度一般为中等．不同省份的试卷所占分值的比重有所不同．
1．填空题的类型
填空题主要考查学生的基础知识、基本技能以及分析问题和解决问题的能力，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点．从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写．
2．填空题的特征
填空题不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空
题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容 (既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．
从历年高考成绩看，填空题得分率一直不很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．
3．解填空题的基本原则
解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是 “巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．
（二）解题方法例析
题型一 直接法
直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性
质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结
论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意
识地采用灵活、简捷的解法．
例1 在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列
{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．
思维启迪
计算出基本量d ，找到转折项即可．
解析 设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，
∴d ＝59.
∴数列{a n }为递增数列．
令a n ≤0，∴－3＋(n －1)·59≤0，∴n ≤325，
∵n ∈N *.
∴前6项均为负值，∴S n 的最小值为S 6＝－293.
答案 －293
探究提高 本题运用直接法，直接利用等差数列的通项公式判断出数列的项的符号，进而确定前几项的和最小，最后利用等差数列的求和公式求得最小值．
变式训练1 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6
＝11，则S 7＝________. 49
解析 方法一 S 7＝7(a 1＋a 7)2
＝7(a 2＋a 6)2＝7×(3＋11)2
＝49. 故填49.
方法二 由⎩⎨⎧ a 2＝a 1＋d ＝3，a 6＝a 1
＋5d ＝11可得⎩⎨⎧
a 1＝1，d ＝2， ∴a 7＝1＋6×2＝13.
∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(1＋13)2
＝49. 故填49.
题型二 特殊值法
特殊值法在考试中应用起来比较方便，它的实施过程是从
特殊到一般，优点是简便易行．当暗示答案是一个“定
值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位臵、特殊图形、
特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一
般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给
出时，特例法尤其有效．
例2 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
且满足(sin A －sin C )(a ＋c )b
＝sin A －sin B ，则C ＝_______. 思维启迪 题目中给出了△ABC 的边和角满足的一个关系式，由此关系式来确定角C 的大小，因此可考虑一些特殊的三角形是否满足关系式，如：等边三角形、直角三角形等，若满足，则可求出此时角C 的大小．
解析 容易发现当△ABC 是一个等边三角形时，满足(sin A －sin C )(a ＋c )b
＝sin A －sin B ，而此时C ＝60°，故角C 的大小为60°.
答案 60°
探究提高 特殊值法的理论依据是：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立，我们就可以利用填空题不需要过程只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求值．在解决一些与三角形、四边形等平面图形有关的填空题时，可根据题意，选择其中的特殊图形(如正三角形、正方形)等解决问题．此题还可用直接法求解如下：
由(sin A －sin C )(a ＋c )b
＝sin A －sin B 可得 (a －c )(a ＋c )b
＝a －b ，整理得，a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，所以C ＝60°
. 变式训练2 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、
b 、
c ，如果a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝ ________.45
解析 方法一 取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45
. 方法二 取特殊角A ＝B ＝C ＝π3，cos A ＝cos C ＝12，cos A ＋cos C 1＋cos A cos C ＝45
.
例3 如图所示，在△ABC 中,AO 是BC 边上
的中线，K 为AO 上一点，且OA →＝2AK →,
过点K 的直线分别交直线AB 、AC 于不同
的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n
＝________.
思维启迪
题目中过点K 的直线是任意的，因此m 和n 的值是变化的，但从题意看m ＋n 的值是一个定值，故可取一条特殊的直线进行求解．
解析 当过点K 的直线与BC 平行时，MN 就是△ABC 的一条中位线(∵OA →＝2AK →，∴K 是
AO 的中点)．这时由于有AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，因此m ＝n ＝2，故m ＋n ＝4.
答案 4
探究提高 本题在解答中，充分考虑了“直线虽然任意,但m ＋n 的值却是定值”这一信息，通过取直线的一个特殊位臵得到了问题的解,显得非常简单,在求解这类填空题时，就要善于捕捉这样的有效信息,帮助我们解决问题．
变式训练3 设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，
则△AOB 与△AOC 的面积之比为______．
解析 采用特殊位置，可令△ABC 为正三角形，
则根据OA →＋OC →＝－2OB →可知，
O 是△ABC 的中心，则OA ＝OB ＝OC ，
所以△AOB ≌△AOC ，
即△AOB 与△AOC 的面积之比为1.
题型三 图象分析法(数形结合法)
依据特殊数量关系所对应的图形位臵、特征，利用图形直
观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的
几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过
程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形
状、位臵、性质，综合图象的特征，进行直观地分析，加
上简单的运算，一般就可以得出正确的答案．事实上许多
问题都可以转化为数与形的结合，利用数形结合法解题既
浅显易懂，又能节省时间．利用数形结合的思想解决问题
能很好地考查考生对基础知识的掌握程度及灵活处理问题
的能力，此类问题为近年来高考考查的热点内容
例4 已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个
首项为14的等差数列，则|m －n |的值等于________．
思维启迪
12
考虑到原方程的四个根，其实是抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 和x 轴四个交点的横坐标，所以可以利用图象进行求解．
解析 如图所示，易知抛物线y ＝x 2－2x ＋m 与y ＝x 2－2x ＋n 有相同的对称轴x ＝1，它们与x 轴的四个交点依次为A 、B 、C 、D .
因为x A ＝14，则x D ＝74.
又|AB |＝|BC |＝|CD |，所以x B ＝34，x C ＝54.
故|m －n |＝|14×74－34×54|＝12.
探究提高 本题是数列问题，但由于和方程的根有关系，故可借助数形结合的方法进行求解，因此在解题时，我们要认真分析题目特点，充分挖掘其中的有用信息，寻求最简捷的解法．
变式训练4 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x ),
且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间
[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋
x 4＝________.
-8
解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3,x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.
例5 函数y ＝f (x )的图象如图所示，其定义
域为[－4,4]，那么不等式f (x )sin x ≤0的解集
为__________________________________．
[－4，－π)∪(－π，0)∪[π2，π)
解析 f (x )sin x ≤0⇔⎩⎨⎧ f (x )≤0，sin x >0，或⎩
⎨⎧
f (x )≥0，sin x <0，在给出的坐标系中，再作出y ＝sin x 在 [－4,4]上的图象，如图所示,观察图象即
可得到所求的解集为[－4，－π)∪(－π，0)∪[π2，π)．
探究提高 与函数有关的填空题，依据题目条件，灵活地应用函数图象解答问题，往往可使抽象复杂的代数问题变得形象直观，使问题快速获解．
2π
变式训练5 不等式（|x |- ）·sin x <0，x ∈[-π,2π］的解集
为
.
π)2,(π)2
π,0()2ππ,( -
2π
解析 在同一坐标系中分别作出y =|x |- 与y=sin x 的图象：
根据图象可得不等式的解集为：
π),(π)π,()ππ,(2202 -
题型四 等价转化法
将所给的命题进行等价转化，使之成为一种容易理解的语
言或容易求解的模式．通过转化，使问题化繁为简、化陌
生为熟悉，将问题等价转化成便于解决的问题，从而得出
正确的结果．
例6 设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2－4x ＋6， x ≥03x ＋4， x <0
，若互不相等的实 数x 1，x 2，x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1＋x 2＋x 3的取值
范围是________．
思维启迪
将问题转化为y ＝m 与y ＝f (x )有三个不同的交点，再研究三个交点的横坐标之和的取值范围．
解析 本题可转化为直线y ＝m 与函数f (x )
的图象有三个交点,y ＝x 2－4x ＋6在[0,＋∞)
的最小值为f (2)＝2，故2<m <4，易知x 1,x 2，
x 3中必有一负二正，不妨设x 1，x 2>0，由于
y ＝x 2－4x ＋6的对称轴为x ＝2,则x 1＋x 2＝4，
令3x ＋4＝2，得x ＝－23，则－23<x 3<0，故－23＋4<x 1＋x 2
＋x 3<0＋4，即x 1＋x 2＋x 3的取值范围是(103，4)．。