第3章插值法与最小二乘法34

§ 3.3 分段插值法
从上节可知,如果插值多项式的次数过高，可能产生 Runge现象，因此，在构造插值多项式时常采用分段 插值的方法。
一、分段线性Lagrange插值
1. 分段线性插值的构造
设插值节点为 xi , 函数值为 yi , i 0,1,, n
hi xi1 xi , i 0,1,2,, n 1
2
设x xห้องสมุดไป่ตู้* 为插值点
若xk x* xk 1
则 y* L1( x*) L(1k )( x*)
yk
x * xk 1 xk xk 1
yk 1
x * xk xk 1 xk
内插
若x* x0
外插
取
y* L1( x*)
L(10)( x*)
y0
x * x1 x0 x1
y1
x * x0 x1 x0
(3) 当f（k )(x)在包含节点 x0 , x1 ,, xk的区间存在时 ,
在x0 , x1 ,, xk之间必存在一点 ,使得
f [x0 , x1 ,, xk ]
f (k )( )
k!
用余项的 相等证明
例 f (x) x7 x4 3x 1, 求 f [20, 21, , 27 ]及
L(11 ) (0.42)
0.410750.42 0.55 0.4 0.55
0.578150.42 0.4 0.55 0.4
0.43307
同理
f (0.75) L(13)(0.75) 0.81448
f (0.98) L(14)(0.98) 1.10051
f (1.1)
L(14 ) ( 1.1)
0.87335 1.1 1.05 0.8 1.05
1.18885 1.1 0.8 1.05 0.8
1.25195
12
(2). 分段二次Lagrange插值的公式为
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
h
max i
hi
任取两个相邻的节点 xk , xk 1 ,形成一个插值区间 [xk , xk 1 ]
构造Lagrange线性插值
1
L(1k )( x) yklk ( x) yk 1lk 1( x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
k 0,1,,n 1
xk 2 xk 1 xk xk 1
内
插
xn 1
xn
外插
9
2. 分段二次插值的误差估计
由于
Rn (x) f (x) Pn (x)
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x)
那么分段二次插值 L2(x)的余项为
R2(x) f (x) L2(x) f ( x) L(2k )( x)
f ( )
xk
)(
x
xk
1
)
, x [xk , xk 1 ],且与x有关
|R1 ( x)|
1 max |
2 axb
f
(x) | max xk xxk1
| (x
xk )(x xk1) |
1 2
M2
1 4
h2
1 8
M 2h2
其中
M2
max |
a xb
f
(
x)
|,
h
max
0k n1
hk
,
hk
xk1 xk.
a1
f1 x1
f0 x0
P(x2 ) f2 a0 a1(x2 x0 ) a2(x2 x0 )( x2 x1 )
f2 f0 f1 f0
a2
x2
x0 x2
x1 x0 x1
再继续下去待定系数的形式将更复杂
为此引入差商和差分的概念
18
一、差商(均差)
定义1. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1,, n
3
4
5
xi 0.30 0.40 0.55 0.65 0.80 1.05 yi 0.30163 0.41075 0.57815 0.69675 0.87335 1.18885
求f (x)在x 0.36,0.42,0.75,0.98,1.1处的近似值(用分段线性、二 次插值)，
解: (1). 分段线性Lagrange插值的公式为
5
二、分段二次Lagrange插值
1. 分段二次插值的构造
分段线性插值的光滑性较差,且精度不高
因此,当节点较多时,可根据情况构造分段二次插值
设插值节点为 xi , 函数值为 yi , i 0,1,, n
hi xi1 xi , i 0,1,2,, n 1
h
max i
hi
任取三个相邻节点 xk , xk1, xk2 ,以[xk , xk2 ] 为插值区间
P(x) a0 a1(x x0 ) a2(x x0 )( x x1 ) an(x x0 )( x x1 )(x xn1 )
17
P(x)应满足插值条件 P(xi ) fi , i 0,1,, n
有 P(x0 ) f0 a0
a0 f0
P(x1 ) f1 a0 a1(x1 x0 )
2. 分段线性插值的误差估计
由第二节定理1可知,n次Lagrange插值多项式的余项为
Rn (x) f (x) Pn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n 1
(
x)
那么分段线性插值 L1(x)的余项为
R1(x) f (x) L1(x) f ( x) L(1k )( x)
f
(
2
)
(
x
L(1k )( x)
yk
x xk 1 xk xk 1
yk 1
x xk xk 1 xk
k 0,1,,n 1
11
f (0.36) L(10)(0.36)
0.301630.36 0.4 0.3 0.4
0.410750.36 0.3 0.4 0.3
0.36711
f (0.42)
f [x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
k i0
( xi
x0 )(xi
f (xi ) xi1 )( xi
xi1 )(xi
xk
)
20
(2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变
如
f [x0 , x1 , x2 ] f [x0 , x2 , x1 ] f [x2 , x1 , x0 ]
x3 )(0.75 x5 )( x4
x5 ) x5 )
y5
(0.75 ( x5
x3 )(0.75 x4 ) x3 )( x5 x4 )
0.81343
f (0.98)
L(3) 2
(0.98)
1.09784
f (1.1)
L(3) 2
(1.1)
1.25513
14
分段低次Lagrange插值的特点 计算较容易 可以解决Runge现象 但插值多项式分段 插值曲线在节点处会出现尖点 插值多项式在节点处不可导
xk xk
)(x xk2 ) )(xk1 xk2
)
yk 2
(x ( xk 2
xk xk
)(x xk1) )(xk2 xk1)
k 0, 2, , n 2
f
(0.36)
L(0) 2
(0.36)
y0
(0.36 ( x0
x1 )(0.36 x2 ) x1 )( x0 x2 )
y1
(0.36 ( x1
x0 x0
)( )(
0.42 x1
x2
x2 )
)
y2
(0.42 ( x2
x0 )(0.42 x1 ) x0 )( x2 x1 )
0.43281
f (0.75)
L(3) 2
(0.75)
y3
(0.75 ( x3
x4 )(0.75 x5 ) x4 )( x3 x5 )
y4
(0.75 ( x4
y*
L(0) 2
( x*)
若x* xn1 (含x* xn ),则
y*
L( n 2 ) 2
(
x*)
x* x0 和 x* xn 时使用的方法是外插
8
L(0) 2
(
x*)
x* x*
L L (k 2) (k 1)
2
2
x* x*
L( k ) 2
x*
L(2n2) (x*) x* x*
x0 x1
外插
6 (x xk )(x xk1)(x xk2 )
, x [xk , xk2 ].
|R2 ( x)|
1 max |
6 axb
f
(
x)
|
max
xk xxk2
|
(
x
xk
)( x
xk
1 )( x
xk 2
)
|
1 6
M
3
2
3 9
h3
3 27
M 3h3
10
例: 设f (x)在各节点处的数据为
i0
1
2
16
考虑多项式组
1, x x0 , (x x0 )( x x1 ), , (x x0 )( x x1 )(x xn1 )
显然线性无关，因此，可以作为插值基函数 设插值节点为 xi , 函数值为 fi , i 0,1,, n
插值条件为 P(xi ) fi , i 0,1,, n
设插值多项式 P(x)具有如下形式
( x*)
还是
y*
L(k ) 2
( x*)
7
一般
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk ,则
y*
L(k 1) 2
( x*)
k 1, 2, , n 1
若xk x* xk 1 ,且x * 更接近xk 1 ,则
y* L(2k) (x*)
k 1, , n 2
若x* x1 (含x* x0 ),则
构造Lagrange二次插值
L(2k ) (x) yklk (x) yk 1lk 1(x) yk 2lk 2 (x)
k 0, 2, , n 2
6
L(2k )( x)
yk
(x xk1)(x xk2 ) (xk xk1)(xk xk2 )
yk 1
(x (xk 1
xk xk
)(x xk2 ) )(xk1 xk2
称
f [xi , xj ]
fi xi
fj xj
(i j)
为f (x)关于节点 xi , x j 一阶差商(均差)
称
f [xi , xj , xk ]
f [xi , xj ] f [xj , xk ] xi xk
(i j k)
为f (x)关于xi , x j , xk的二阶差商
依此类推
)
yk 2
(x ( xk 2
xk xk
)(x xk1) )(xk2 xk1)
k 0, 2, , n 2
上式称为分段二次Lagrange插值
若x * 为插值点,且x* [xk , xk 1 ]
显然,插值区间 [ xk 1 , xk 1 ]和[ xk , xk 2 ] 都包含x *
那么
y*
L(k 1) 2
三、分段低次插值的算法设计(略)
15
§ 3.4 Newton插值法
我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2,,n
形式上太复杂,计算量很大, 新增一个节点时, 每个基 函数必须重新计算, 人们希望增加一个节点时, 前面 的计算结果对于后来的计算仍有用. 为此, 下面介绍一 种具有结果继承性的插值法--- Newton插值法
19
称
f [x0 , x1, , xk1, xk ]
f [x0 , x1, , xk1] f [x1, x2 , , xk1, xk ] x0 xk
为 f (x) 关于节点 x0, x1, , xk 的 k 阶差商.
差商具有如下性质(请同学们自证)：
(1) f (x)的k阶差商f [x0 , x1 ,, xk1 , xk ]可由函数值 f (x0 ), f (x1 ),, f (xk )的线性组合表示,且
--------(1)
L1(x)
L(10)( x) L(11)( x)
L(1n1)( x)
x0 x x1 x1 x x2
xn1 x xn
显然
L1(xi ) yi , i 0,1,, n
--------(2)
我们称由(1)(2)式构成的插值多项式 L1(x) 为 分段线性Lagrange插值多项式
减小步长,会改善插值效果
因此 若f (x)在[a,b]上连续
则
lim
h0
L1
(
x)
f (x)
11 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 00 -0.2-0.2 -0.4-0.4 -0.6-0.6 -0.8-0.8 -1 -1
-4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 4
x0 )(0.36 x2 ) x0 )( x1 x2 )
y2
(0.36 ( x2
x0 )(0.36 x0 )( x2
x1 ) x1 )
0.36686
13
f (0.42)
L(0) 2
(0.42)
y0
(0.42 ( x0
x1 x1
)(0.42 )( x0
x2
x2 )
)
y1
(0.42 ( x1
若x* xn
外插
取
y*
L1( x*)
L( n 1 ) 1
(
x
*)
yn1
x * xn xn1 xn
yn
x * xn1 xn xn1
3
分段线性插值 y L1(x)的图象
实际上是连接点(xk , yk ) , i 0,1,,n的一条折线
也称折线插值,如右图
曲线的光滑性较差 在节点处有尖点
但如果增加节点的数量