数值分析课件2015xin王兵团-数值分析整理

数值分析

1. 数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。 病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题 良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。

数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有误差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。例子

2. 误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差；②观测误差：在采集原始数

据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断误差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差；④舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。

科学计算中值得注意的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安排量级相差很大的数之间的运算次序，防止大数吃小数；③避免绝对值很小的数做分母；④简化运算步骤，减少运算次数。 3. 用计算机做科学计算时的溢出错误。

机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最大和最小的非零数M 和m ，若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m ，则计算机产生下溢错误。上溢错误时，计算机中断程序处理；下溢错误时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。

4. 解非线性方程f x ()

=0单根的牛顿法具有二阶收敛。简单迭代法具有一阶收敛性。当f '

x *

()¹0且有2阶导数时，

Newton 迭代法才有二阶敛速。

5. 对(n+1)个节点的Newton-cotes 求积公式，在n £7时，Cotes 系数大于0，而在n >7时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。

6. 当系数矩阵A 是严格对角占优矩阵，Jacobi 格式、Seidel 格式都收敛。

7. 用高斯消元法求解线性方程组，一般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。

8. 解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域内取初值，有初值限制。 9. 二分法是全部收敛，简单迭代法是局部收敛。

10. 四种插值方法：Lagrange 插值、Newton 插值、Hermite 插值、分段多项式插值。

11. 截断误差是对参与计算的数学公式作简化处理后所产生的误差，在所学的数值方法中插值和数值积分都涉及截断误差处理的内容，分别为插值余项和积分余项。

例：e x =1+x +x 2

2!

+

+x n n!+无穷项相加，我们用e x =1+x +x 2

2!

+

+x n

n!

近似计算e x 就产生截断误差。 12. 线性方程组迭代解法的基本思想是将现行方程组作等价变形，得到同解的易于作迭代计算的线性方程组，用计算出的迭代序列来逼近解。考虑线性方程组Ax =b 及由次方程组构造的迭代格式x k +1()

=Bx k

()+g ，判断此迭代格

式的收敛方法有：

(1) 若r B ()

<1，则迭代格式收敛；

(2)若B <1，则迭代格式收敛，B 是矩阵B 的某种算子范数；

(3) 若矩阵A 是严格对角占优矩阵，则线性方程组Ax =b 的Jacobi 迭代和Seidel 迭代对任意初值都收敛； (4)若矩阵A 是对称正定矩阵，则线性方程组Ax =b 的Seidel 迭代对任意初值都收敛； (5) Sor 法收敛的必要条件是松弛因子w 满足0

<0(2)f '

x ()¹0，x Îa,b éëùû(3)f ''

x ()存在且不变号，x Îa,b éëùû

则x 0

Îa,b éëùû，只要f x 0()f ''

x 0()>0，则迭代公式产生的数列x k

{}一定收敛于a,b é

ëùû上的为一根x *

。 14. 引入分段插值的原因及目的。

Runge 现象：随着节点n 的增加，误差不但没减小，反而不断增大。原因是当节点n 较大时，对应的是高次插值多项式，而高次多项式的舍入误差是随次数的增加而不断变大的，用高次多项式插值作数值计算时舍入误差将“淹没”了增加节点提高的精度。Runge 现象否认了用高次插值公式提高逼近精度的做法，因此引入了分段插值法。定义如下：

取a,b éëùû上的n+1个节点x k ：a =x 0

=g k ，

k =0,1,,n 。若函数j x ()

满足条件：(1)j x ()在a,b éëùû上连续；(2)j x ()

=y k ，k =0,1,

,n ；(3)j x ()在每个小

区间x k ,x k +1éëùû是m 次多项式，k

=0,1,,n -1，则称j x ()

为f x ()在a,b éëùû上的分段m 次插值多项式。

15. Newton 法的基本思想：将函数f x ()

做线性化处理，把方程f x ()

=0转化为对应的近似方程L x ()

=0，再从

L x ()

=0中构造迭代公式。Newton 法在x *附近是平方收敛的。

16. Seidel 格式比Jacobi 格式占用的内存空间大。 17.①列范数：A 1

=max

1£j £n

a

ij

i =1

n

å；②行范数：A

¥

=max 1£i £n

a ij j =1

n

å；③F 范数：A

F

=

a

ij

2i ,j =1

n

å；

④2范数：A

2

=l max ，l max 是A T A 最大特征值；⑤谱半径：r A ()

=max 1£k £n

l k ；

⑥条件数：Cond p A ()

=A p

×A

-1

p

。特征值：mI -A =0求得的m 即为A 的特征值。

矩阵的条件数可反映系数的敏感性，其值越大，解对系数越敏感，因而方程组越病态。 18. 2点Newton-Cotes 公式【梯形公式】：

f x ()

a

b

òdx »

b -a

2f a ()+f b ()

éë

ùû

3点Newton-Cotes 公式【Simpson 公式】：

f x ()

a

b òdx »

b -a 6f a ()

+4f a +b 2æèçöø÷+f b ()

é

ëêùû

ú 复化梯形公式：

f x ()

a

b

òdx »b -a 2n f a ()+f b ()+2f x k ()k =1n -1

åé

ëêùû

ú，余项：R f ,T n ()=-b -a 12h 2f ''h ()

，h Îa,b éëùû 复化Simpson 公式：

f x ()

a

b òdx »b -a 6n f a ()+f b ()+4f x k +1+x k 2æèçöø÷k =0n -1å+2f x k ()

k =1n -1åé

ëêêùû

úú， 余项：R f ,S n ()

=-b -a 180h 2æèçöø÷4

f 4()

h ()

=-h 4b -a ()

2880

f 4()h ()

，h Îa,b éëùû 19. 插值与拟合的区别。

插值与拟合都是有一组数据点构造一个近似函数，但他们的近似要求不同。二者都属于函数逼近范畴。

①插值函数在几何上的描述为过所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。插值是对f x ()

在区间a,b éëùû上的n+1

个互异的点x 0

,x 1

,x 2

,,x n

及各个点对应的函数f x 0(),f x 1(),f x 2(),,f x n

()，找出f x ()的一个近似函数P x ()，使得P x i ()=f x i

()，P x ()即为插值函数。

②拟合函数在几何上的描述为穿越所有给定数据点集散点图的任何一条曲线。拟合是对f x ()在区间a,b éëùû上的n+1个点x 0,x 1,x 2,,x n (不一定互异)，根据各个点对应的函数f x 0(),f x 1(),f x 2(),,f x n

()画出的点图来选择用什么类型的函数做逼近函数j x ()，逼近函数j x ()通过min d ，d =d 0,d 1,d 2,d n ()T

，d i =f x i ()-j x i

()的拟合条件获得，则这样求出的j x ()称为拟合函数。

20. Lagrange 插值步骤：①利用互异插值节点x 0,x 1,x 2,,x n ，算出插值基函数l in

x ()，i =0,1,,n ；

②利用插值基函数构造插值多项式L n

x ()。

优点：利用插值基函数很容易得到Lagrange 插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中很方便。