复变函数讲义 (3)

2π i{Res[R(z),bi] Res[R(z),ai]}
2i
b2
4a
3i
(b2
3a 2 a2
)2
1 2bi(b2
a2
)2
(2a 2a 3b(a
b)π b)2
.
19
三、形如
R(
x)eaixd的x (积a 分0)
积分存在要求: R(x)是x的有理函数而分母的次
数至少比分子的次数高一次, 并且R(z)在实轴上
2. 积分区域的转化:
取一条连接区间两端的按段光滑曲线, 使与区间
一起构成一条封闭曲线, 并使R(z)在其内部除有
限孤立奇点外处处解析.
(此法常称为“围道积分法”)
14
取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点
zk 都包在这积分路线内.
y
这里可补线 CR
CR
(以原点为中心 , R为半径
. R 0
解
0
x sin mx (x2 a2)
dx
1 2
(
x x
sin 2
mx a2 )2
dx
1 Im 2
(x2
x a2)2
e
imxdx
又
f
(z)
(z2
z a2
)2
e imx ,
在上半平面只有二级极点 z ai,
24
Res(
f
( z ), ai )
d dz
( z
z ai)2
eimz
由于 cos 2 1 (e2i e2i ) 1 (z2 z2 ),
2
2
I
z2
z 1
z2 2
1 2p
1 z
z 1
p2
dz iz
2
9
I
z2
z 1
z2 2
1
12p z
z 1
p2
dz iz
2
z
1 2iz2(1
1 z4 pz)(z
dz p)
f (z)dz.
z 1
被积函数的三个极点z 0, p, 1 , p
CR
CR
R CR
令 x Rcos , y Rsin
则 z R(cos i sin )
0 π
ds dz d(Rei ) Rd .
2
R
eai( xiy) ds
CR
2 R
eaxi eay ds 2 π eaRsin d
CR
0
21
π
π aR( 2 )
4 2 eaRsin d 4 2 e π d
2
1 2
2π
0
a
dt 1
cos
t
1 2
z
1 a
1
1 (z2
1)
dz 2z iz
2
2
2i
z
1
z2
dz 2(2a
1)z
. 1
7
极点为 : z1 2a 1 (2a 1)2 1 (在单位圆内) z2 2a 1 (2a 1)2 1 (在单位圆外)
所以 π dx
0 a sin2 x
z 0, p,在圆周 z 1内，
且 z 0为二级极点，z p为一级极点，
10
所以在圆周 z 1上被积函数无奇点，
Res[
f
( z ),0]
lim d z0 dz
z
2
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
lim (z
z0
pz 2
p p2z)4z3 2i(z pz2
(1 p
z4 )(1 p2z)2
1 2
2π
dt
0 1 2a2 cos t
. 2a a2 1
放映结束，按Esc退出.
28
b2 )
在上半平面有二级极点 z ai, 一级极点 z bi.
Res[R(z),ai]
(z
1 ai )2 (
z
2
b2
)
1 2bi(a2
b2
)2
,
zai
18
Res[R(z),bi]
(z2
1 a2 )2(z
bi)
zbi
b2 4a 3i (b 2
3a 2 a2 )2
,
所以
பைடு நூலகம்
dx
( x2 a2 )2( x2 b2 )
2 pz
p2 )
1 p2 2ip2
,
11
Res[
f
(z),
p]
lim
z p
(
z
p)
1 z4 2iz2(1 pz)(z
p)
因此
1 2ip2 (1
p4 p2
)
,
I
2π
i
1 p2 2ip2
1 2ip2 (1
p2 p2
)
2π 1
p2 p2
.
12
二、形如
R(
的x)d积x 分
若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次,
解 令 z ei , 则
sin z2 1, cos z2 1, dz iei d ,
2zi
2z
2π
0a
sin2 d bcos
(z2 1)2 z 1 4z2
a
b
1 z
2 2z
1
dz iz
z
1
2iz
2
(z2 (bz
1)2 2 2az
b)
dz
5
(z2 1)2dz
z 1 2iz2b z a
R :
R(
x)eaixdx
2π
i
Res[R(z)eaiz , zk ]
eiax cosax i sinax
R( x)cosaxdx i R( x)sin axdx
2π i Res[R(z)eaiz , zk ].
23
例5
计算积分
0
(
x x
sin 2
am2x)2dx
,
m 0,a 0.
2π i 2iRes[ f (z),(2a 1 2a 12 1)].
2π . (2a 1)2 1
8
例3
计算 I
2π
0
1
2
cos2 p cos
p2 d
(0
p 1)的值.
解 由于0 p 1,
1 2 pcos p2 (1 p)2 2 p(1 cos )
在0 2π内不为零， 故积分有意义.
. R
x 的在上半平面的半圆周)
CR与 R, R一起构成封闭曲线C ,R(z)在C 及其
内部(除去有限孤立奇点）处处解析.
15
根据留数定理得 :
R
R
R(
x)dx
CR
R(
z)dz
2π
i
Res[
R( z ),
zk
],
R(z)
1 z mn
1 a1z1 anzn 1 b1z1 bm zm
a2 b
b2
z
a
a b
2
b2
2π
i
Res
f
(
z),0
Res
f
(
z),
(a
a2 b2 )
b
2aπ b2
2π
a2 b2 b2
2 b2
(a
a2 b2 ).
6
例2
计算
π
0
a
dx sin
2
(a x
0).
解
π
0
a
dx sin2
x
π
0
a
1
dx cos
2
x
2
1 2
π
0
a
d2x 1 cos
2x
令 2x t,
CR
R(z)ds
2 R2
R
2π R
,
R
R : CR R(z)dz 0 ; R R(z)dz R(z)dz,
所以
R(z)dz
2π i Res[R(z), zk ]
17
例4 计算积分
dx
( x2 a2 )2( x2 b2 )
(a 0,b 0,a b)
解
R(z)
(z2
a2
1 )2 ( z 2
0
0
2 (1 eaR ). aR
y
y 2
π
R
y sin
o
2
0
从而
R(z)eaizdz 2π (1 eaR ) 0.
CR
aR
R(z)eaizdz 0 . CR
22
由留数定理:
R R( x)eaixdx R(z)eaizdz 2π i
R
CR
Res[R(z)eaiz , zk ]
并且分母在实轴上无孤立奇点.
一般设
R(z)
zn zm
a1zn1 b1zm1
an bm
,
m
n
2
分析
可先讨论
R
R( x)dx,
R
最后令 R 即可 .
13
R
R R( x)dx
f (z)dz
C
1. 被积函数的转化: 可取f(z)=R(z) .
(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))
第三节 留数在定积分计算上的应用
一、形如
2π
0
R(cos
的, sin积 分)d
二、形如
R(
x的)d积x 分
三、形如
R(
x
)e
aixdx的(a积分0)
四、小结与思考
一、形如
2π
0
R(cos ,s的in积)d分
思想方法 : 把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 .
两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
z
ai
m 4a
ema
,
则
(
x2
x a2
)2
eimxdx
2iRes ( z 2
z a2
)2
eimz
, ai
所以
0
(
x sin mx x2 a2 )2dx
1 Im2iRes(
2
f
( z ), ai )
m ema. 4a
注意 以上两型积分中被积函数中的R(x)在实轴
上无孤立奇点.
25
四、小结与思考
z
1
mn
1 1
a1z1 b1z1
anzn bm zm
当 z 充分大时, 总可使
a1z1
anzn
1, 10
b1z1
bm zm
1, 10
16
因为 m n 2，
所以
R(z)
1 z mn
1 1
a1 z 1 b1 z 1
anzn bm zm
2 z2
R(z)dz CR
2
形如
2π
0
R(cos ,sin )d
令 z ei
dz iei d
sin 1 (ei ei ) z2 1 ,
2i
2iz
d dz ,
iz
cos 1 (ei ei ) z2 1,
2
2z
当 历经变程 [0,2π ] 时,
z 沿单位圆周 z 1的正方向绕行一周.
3
2π
0
R(cos
,
无孤立奇点.
y
同前一型: 补线 CR
CR
CR与 R, R一起构成封闭
. R
0
. R
x
曲线C ,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk 都
包在这积分路线内 .
20
对于充分大的 z , 且 m n 1时, 有 R(z) 2
z
R(z)eaizdz R(z) eaiz ds 2 eai( xiy) ds
sin
)d
z
1
R
z
2 2z
1
,
z
2 2iz
1
dz iz
n
f (z)dz 2π i Res f (z), zk .
z 1
k 1
z的有理函数,且在
单位圆周上分母不 为零,满足留数定 理的条件 .
包围在单位圆周 内的诸孤立奇点.
4
例1 计算积分
2π sin2 d
0 a bcos
(a b 0)
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
26
思考题
计算积分
π 2
d
0 a2 cos2
(a
0).
27
思考题答案
I
1 2
π d
2
π 2
a2
cos2
1 2
π
d
2
π 2
1
2a 2
cos 2
(令2 t)
1 2
π
dt
π 1 2a2 cos t