第一章 算法基本概念

1st： 6 7 5 4 3 2 1 2nd：5 6 7 4 3 2 1 3rd：4 5 6 7 3 2 1 4th：3 4 5 6 7 2 1 5th：2 3 4 5 6 7 1 6th：1 2 3 4 5 6 7

数组A中的元素为
，并且
。 前面i-1个元素已按递增顺序排序，把元素xi插入到合 适位置的i种可能：

问题转化为n元钱买n只鸡，n为任意正整数，(1)(2) 变成：
a+b+c = n 5a+3b+c/3 = n

(4) (5)
算法1 百鸡问题 输入：所购买的三种鸡的总数目n 输出：满足问题解的数目k，公鸡，母鸡，小鸡的只 数g[]，m[]，s[] 执行时间：

外Loop n+1次 中Loop (n+1)×(n+1)次 内Loop (n+1)×(n+1)×(n+1)次 当n=100时，内Loop大于100万次



j=1：xi是序列中最小的，需执行i-1次比较； j=2：xi是这个序列中第二小的，仍需执行i-1次比较； j=3：xi是这个序列中第三小的，需执行i-2次比较； j=i：xi是这个序列中最大的，需执行1次比较。
当2 ≤ j ≤ i时，算法需执行的比较次数为i-j+1。 这i种可能性的概率相同，都是1/i。元素xi插入到合 适的位置的平均比较次数Ti：


百鸡问题的算法2的时间花费：

算法时间复杂性的定义：
运行时间上界 O记号

例：百鸡问题算法2
运行时间下界 Ω记号

例：百鸡问题的算法2，第11、12、13、14行，仅 在条件成立时才执行，其执行次数未知。假定条件 均不成立，这些语句均未执行，该算法的执行时间 至少为：
运行时间的准确界，Θ记号
算法的输入规模和运行时间的阶

算法的输入规模和运行时间

令百鸡问题的算法1、2，其最内部的循环体每执行一次， 需1μs时间。
n=100的内循环 次数 时间
1s
n=10000的内循环次数
100003
时间
11天零13小时 6.7秒
算法1 算法2


100万次 714次
Байду номын сангаас
714μs (10000/5+1)×(10000/3+1)
n=220 选择排序需6.4天 合并排序需20秒 算法的执行时间随问题规模的增大而增长的情况。

算法运行时间的评估
不能准确地计算算法的具体执行时间 不需对算法的执行时间作出准确地统计（除非在实时系 统中） 初等操作：所有操作数都具有相同的固定字长；所有操 作的时间花费都是一个常数时间间隔。算术运算；比较 和逻辑运算；赋值运算，等等； 例：输入规模为 n，百鸡问题算法1的时间花费，可估计：
蛮力法 递归与分治
OUR PLAN
14
Lecture Classes and 7 Lab Classes Final Exam on Week 18 Maybe Mid-term Exam on Week 10 Marks

Attendance 5% Assignments (lab & lecture) 25% Mid-term exam 20% Final exam 50%
因为：
所以：

由此可得，插入排序算法insert_sort在平均情况下的时 间复杂性是 。
THE END
实例






REVIEW

算法设计的例子 算法复杂性分析 算法的时间复杂性 算法的时间复杂性分析
算法的时间复杂性分析

最坏情况的分析 平均情况的分析 最好情况的分析
平均情况分析
在平均情况下，算法的运行时间取算法在所有可能 输入的平均运行时间。 例：插入排序算法insert_sort的平均情况分析。 如： 7654321 1234567


算法2 改进的百鸡问题
公鸡只数：0~n/5 母鸡只数：0~n/3 母鸡只数：c = n-a-b

输入：所购买的三种鸡的总数目n 输出：满足问题的解的数目k，公鸡，母鸡，小鸡的 只数g[]，m[]，s[] 执行时间：

外循环： n/5+1次 内循环： (n/5+1)×(n/3+1) 当n=100时，内Loop为21×34=714次

REVIEW

算法设计的例子 算法复杂性分析 算法的时间复杂性 算法的时间复杂性分析
算法的复杂性分析

问题：效率和方法。 问题一：如何设计算法，算法的设计方法。 问题二：如何分析算法，算法的复杂性分析。

用算法的复杂性来衡量算法的效率。 算法的时间复杂性和算法的空间复杂性。
REVIEW

算法设计的例子 算法复杂性分析 算法的时间复杂性 算法的时间复杂性分析
算法设计的例子：百元百鸡
“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三， 值钱一。百钱买百鸡，各几何？”
a:
公鸡只数，b: 母鸡只数，c: 小鸡只数。约 束方程： a+b+c = 100 (1) 5a+3b+c/3 = 100 (2) c%3 = 0 (3)

算法的时间复杂性越高，算法的执行时间越长；反之，
执行时间越短。

算法的空间复杂性越高，算法所需的存储空间越多；反 之越少。
REVIEW

算法设计的例子 算法复杂性分析 算法的时间复杂性 算法的时间复杂性分析
算法的时间复杂性

算法的输入规模和运行时间的阶 运行时间的上界，O记号 运行时间的下界，Ω记号 运行时间的准确界，Θ记号
CHAPTER 1 INTRODUCTION TO ALGORITHM
Lijie Yang ya77410@umac.mo
CONTENT

算法的基本概念 (Review)


贪心法 动态规划法 回溯法 分支限界法
算法设计的例子


算法复杂性分析
算法的时间复杂性 算法的时间复杂性分析