风险度量

河北大学本科生毕业论文（设计）撰写规范（参考）
为规范本科生毕业论文（设计）撰写格式，进一步保证本科生毕业论文（设计）质量，特制定本规范。

一、毕业论文（设计）撰写结构要求 1、题目：风险的度量方法与应用研究
2、摘要：风险就是客观存在的不确定性以及可能给企业带来的损失。

风险无处不在，较
早的识别并准确的度量风险可以有效地降低或克服风险的危害。

随着经济全球化和市场国际化的不断深入发展，信息更新速度非常之快，企业面对的不确定风险不断增加，风险度量方法合理而有效的利用对学术的研究及企业的风险管理至关重要。

目前，国内外关于风险度量的方法有很多，其分析侧重点、使用范围各不相同。

常用的风险度量模型有VaR 模型 ，一致性风险度量模型，CVaR 模型，ES 模型，DRM 模型及凸转换模型等。

为了更好的进行风险管理，本文就当前这几种常见的风险度量模型进行了归纳总结。

要有高度的概括力，
语言精练、明确。

同时有中、英文对照，中文摘要约300—400汉字；英文摘要约200—300个实词。

3、关键词：VaR,ES,凸转换从论文标题或正文中挑选3～5个最能表达主要内容的词作为关键词，同时有中、英文对照，分别附于中、英文摘要后。

4、目录：写出目录，标明页码。

5、正文：
一、 V AR 模型（Value at Risk ）：
在风险管理领域，最流行的风险度量指标就是 VaR ，即我们所熟知的在险价值。

该风险度量模型产生于1994年，比较正规的定义是：在正常市场条件下和一定的置信水平α上，测算出在给定的时间段内预期发生的最坏情况的损失大小X 。

在数学上的严格定义如下： 设X 是描述证券组合损失的随机变量， ()F x 是其概率分布函数，置信水平为α ，则：
(){}()min |VaR a x F x α=-≥ ()1a VaR F a -=-（其中()1F a -是F （x ）的反函数）
该模型在证券组合损失X 符合正态分布，组合中的证券数量不发生变化时，可以比较 有效的控制组合的风险。

因此，巴塞耳委员会和许多金融机构都将其作为基准的风险度量方法，不仅适用于度量市场风险，而且用于度量信用风险和操作风险。

从VaR 的表达式可以看出，VaR 对应于统计学上的分位数，由于分位数的值与分位点以下的概率分布无关，因此VaR 不能度量极端风险。

对有些决策者（如银行股东）来说，如果风险度量的目的是衡量和控制银行的破产概率（使VaR 大于银行资本的概率足够小），而不关注一旦银行破产时的实际损失有多大（股东只承担有限责任），那么VaR 不能度量极端风险不是一种缺陷。

然而对银行监管者而言，一家银行、尤其是一家大型银行破产后形成的巨额损失会危及整个银行系统的安全，因此VaR 不能度量极端风险是一种重要缺陷。

VaR 的另一缺陷是不满足次可加性，既不满足()()()a a VaR x y VaR x VaR y α+≤+的条件。

在一些银行中，VaR 不仅用于度量风险，也用于置配风险（VaR 约束下的资本配置）。

一般的做法是，对允许各部门承担的风险进行配置 ，使各部门的风险之和不大于整个银行
可以承受的最大风险。

然而由于VaR 不满足次可加性，这种看似合理的风险控制方法，可能会导致整个银行的风险失控，因为用VaR 度量风险时，银行实际承担的风险可能大于各部门的风险之和。

而银行也可利用VaR 的这个缺陷来进行监管资本套利，如用各部门VaR 的和来计量整个银行的VaR ，并计算资本要求。

下面证明VaR 不是经济学理性的风险度量方法，因为VaR 不相容于二阶随机占优。

我们给出例证如下：设x 、y 为两个风险，分布函数分别为：
()0
90
099.9
900.01199.9849085,100
0.0584100.05
8510
1
10
1
10
y x t t t t t F F t t t t t -⎧<-⎧⎪+⎪⎪-≤--≤⎪⎪
==⎨
⎨-≤⎪⎪-≤⎪⎪≥⎩≥⎪⎩
即y 为离散型的随机变量，分别以概率0.011、0.039、0.95取值-99.9、-84和10；x 为连续
型随机变量和离散型随机变量的混合，分别以0.05的概率在区间【-90，-85】上取值（为其上的均值分布）、以概率0.95取值10。

现在x E =y E =5.125，另外
()()()0100
0.011(99.9)99.99090850.1510.05858584
0.101
84z y x z z z F t F t dt z z z z -∞⎧≤-⎪
⨯+-≤-⎪⎪
⎡⎤-=∆-≤-⎨⎣⎦
⎪-⨯+-≤-⎪
⎪≥-⎩⎰ 其中，
()2
1900.01199.92100z z +⎛⎫
∆=⨯+- ⎪⎝⎭
由于
()()[]0z
y x F t F t dt -∞
-≥⎰
对一切Z 满足，在许多Z 点可取到严格不等式，x 二阶随机
占优于y 。

但若取a=0.05,()()
85,()84,(),a a a a VaR x VaR y VaR x VaR y ==因此VaR 与二
阶随机占有不相容，VaR 不是经济学理性的风险度量方法。

二、一致性风险度量模型 (Coherent measure of risk)：
Artzner et al. (1999) 提出了一致性风险度量模型，认为一个完美的风险度量模型必须满 足下面的约束条件：
1、 单调性： (),00X V X X ρ∈≥⇒≤；
2、 次可加性：()()()X V Y ,;V X Y V X Y X Y ρρρ∈∈+∈⇒+≤+，
3、 正齐次性：()(),0,X V h
hX V hX h h ρρ∈∈⇒=;
4、 平移不变性：()V X αραρα∈∈⇒-，R (X+)=X .
次可加性条件保证了组合的风险小于等于构成组合的每个部分风险的和， 这一条件与我 们进行分散性投资可以降低非系统风险相一致，是一个风险度量模型应具有的重要的属性， 在实际中也具有重要的意义：
首先，次可加性在银行的资本金确定上具有重要意义，如某银行有很多支行组成，每个 支行根据自己的风险分别计算自己的资本金需求数量， 则该银行总的资本金需求量会小于等于每个支行的资本金需求量之和。

其次，次可加性条件在我们求解最优化组合中也具有重要的意义，在该条件下求解最优 化组合的问题变成了一个凸规划，它的解具有存在唯一性。

但我们前面介绍的VaR 模型不满足次可加性条件，它不是一致性风险度量模型，因此在 某种意义上不是一个好的风险度量指标。

例如：假设有两个面值100元，且不同时违约的企 业债券A 和B ，初始值都为98.9元，在不同的期末事件发生情况下，这两个债券的支付如下表：
（表一）
从上表中我们可以分别计算出债券A ，债券B ，组合A ＋B ，5％的VaR 值，如下表：
（表二） 在上面的例子中，我们看到债券A 和B 的5％－V aR 值的和小于组合A ＋B 的5％－VaR 的值，这将直接导致我们在投资时，不是进行分散性投资，而是把所以的资金投在某一种债券上，这与我们投资理论是明显相矛盾的。

因此，我们有必要提出一种具有一致性的风险度量指标。

3、 CVaR 模型(Condition Value at Risk)：
条件风险价值（CVaR ）模型是指在正常市场条件下和一定的置信水平α上，测算出在 给定的时间段内损失超过a VaR 的条件期望值。

设 X 是描述证券组合损失的随机变量，()F x 是其概率分布函数，则条件风险价值可以 表示为： {}|()a CVaR E x F x α=-≤
CVaR 模型在一定程度上克服了VaR 模型的缺点不仅考虑了超过VaR 值的频率，而且考虑 了超过VaR 值损失的条件期望，有效的改善了VaR 模型在处理损失分布的后尾现象时存在的问题。

当证券组合损失的密度函数是连续函数时，CVaR 模型是一个一致性风险度量模型，
具有次可加性，但当证券组合损失的密度函数不是连续函数时，CVaR 模型不再是一致性风 险度量模型，即CVaR 模型不是广义的一致性风险度量模型，需要进行一定的改进。

4、ES 模型（Expect shortfall ）:
期望损失ES 是2001年由Acerbi 引进的、近年来受到银行界关注、并且得到采用的一种风险度量方法。

该 模型是在CVaR 基础上的改进版，它是一致性风险度量模型。

如果损失 X 的密度函数是连续的，则ES 模型的结果与CVaR 模型的结果相同，如果损失 X 的密度函数是不连续的，则两个模型计算出来的结果有一定差异，定义为：
设 X 是描述证券组合损失的随机变量，()[]F x P X x =≤ 是其概率分布函数，令
()1inf{|()}F p x F x p -=≥
则 ()()ES X α 可以表示为：
()()()1
01
1a
a
a x
p ES X F p dp VaR x dp a
α
-=-
=⎰
⎰
ES 模型对于损失 X 的分布没有特殊的要求，在分布函数连续和不连续的情况下都能保 持一致性风险度量这一性质， 使该模型不仅可以应用到任何的金融工具的风险度量和风险控制，也可以处理具有任何分布形式的风险源，而且保证了在给定风险量的约束条件下最大化预期收益组合的唯一性。

例如同样是对于前面表一提到的两个债券，我们采用ES 模型度量债券A 和B ，以及组合A ＋B 的风险指标，如下表：
可以看到债券A 和B 风险的和大于组合A ＋B ，与分散性投资理论相一致。

但是，ES 也存在缺陷，它与二阶随机占有不相容。

举例如下： 设x 、y 为两个风险，分布函数分别为：
()0
90
099.9
900.01199.9849085,100
0.0584100.05
8510
1
10
1
10
y x t t t t t F F t t t t t -⎧<-⎧⎪+⎪⎪-≤--≤⎪⎪
==⎨
⎨-≤⎪⎪-≤⎪⎪≥⎩≥⎪⎩
即y 为离散型的随机变量，分别以概率0.011、0.039、0.95取值-99.9、-84和10；x 为连续
型随机变量和离散型随机变量的混合，分别以0.05的概率在区间【-90，-85】上取值（为其上的均值分布）、以概率0.95取值10。

现在x E =y E =5.125，另外
()()()01000.011(99.9)99.99090850.1510.05858584
0.101
84z y x z z z F t F t dt z z z z -∞⎧≤-⎪
⨯+-≤-⎪⎪
⎡⎤-=∆-≤-⎨⎣⎦
⎪-⨯+-≤-⎪
⎪≥-⎩⎰ 其中，
()2
1900.01199.92100z z +⎛⎫
∆=⨯+- ⎪⎝⎭
由于
()()[]0z
y x F t F t dt -∞
-≥⎰
对一切Z 满足，在许多Z 点可取到严格不等式，x 二阶随机
占优于y 。

但若取a=0.05,可以得到
()1
(0.01199.90.03984)87.50,0.05
a ES y =
⨯+⨯= 另外，()p 0.05VaR 90100P x P ≤=-时，，因此
()()0.05
019010088.750.05
a ES x P dp =
-=⎰。

由于x 二阶随机占优于y ，但()()a a ES x ES y ，ES 与二阶随机占优并不相容，因此ES
不是经济学理性的风险度量方法。

4、 DRM 模型（Distortion Risk-Measure ）:
DRM 模型通过构造一类特殊的变换函数，并通过一定的规则得到一类新的风险度量指 标，它的准确定义为：
设g 是一个变换函数，满足：[]:[0,1]0,1g → 是一个增函数，且 ()()00,11g g ==。

则
()()()F x g F x *=定义了一个新的概率分布函数。

如果变换函数 g 是一个连续的严格单调的函数，那么F *
和F 是等价概率测度。

我们的DRM 模型风险度量指标()X ρ 表
示为：
()()()()()()00
1X E X g F x dx g F x dx ρ+∞
*
-∞
⎡⎤==-+-⎣⎦⎰⎰
DRM 模型包含了诸如VaR 、CVaR 等风险度量指标，它是一类更广义的风险度量指标。

例如：
则DRM 模型变为VaR 模型；
则DRM 模型变为CVaR 模型。

同时，DRM 模型的度量指标()X ρ 是否具有一致性，可以从变换函数g 进行判断，当变换函数连续时，DRM 模型的度量指标就是一致性风险度量指标。

这一性质为我们根据实际需要构建一致性风险度量指标提供了优质的平台。

在前面，我们对现有的风险度量模型进行了简单的回顾，并分析对比了一致性风险度量 模型和非一致性风险度量模型的优缺点，充分肯定了一致性风险度量模型的优越性。

但每一 个一致性模型都是一致性风险度量模型空间中的一个特例， 那么我们是否能够由现有的一致性风险度量模型扩张成一致性风险度量模型空间的一个子空间呢？或者说是否一致性风险度量模型的凸组合仍然是一致性风险度量模型呢？在下面一部分， 我们将对这一问题进行具体的分析。

5、凸转换度量模型
当x 二阶随机占优于y 时，风险厌恶的决策者一致认为x 的风险小于y 的风险，V aR 与ES 不相容于二阶随机占优的事实说明，VaR 与ES 在度量风险时均有可能产生错误结论：将较大风险度量为较小风险、较小风险度量为较大风险，这有可能导致银行或监管机构的决策错误。

下面我们引入一种经济学理性的度量方法------凸转换度量。

在这一部分我们研究了一致性风险度量模型凸组合的性质，发现一致性风险度量模型的凸
组合仍然保持一致性，并把这一性质应用到ES 模型，得到了带有风险调整的一致性风险 度量指标。

定理1：假设i ρ，i=1,2,...n 是一系列一致性风险度量指标，i α,i=1,2,...,n 是一系列常数， 且满足
1
1n
i
i α
==∑，则0
n
i i i a ρρ==∑是一致性风险度量指标。

证明：结果是显而易见，只需要在i ρ满足一致性风险度量指标的4个条件的前提下，证明
ρ也满足一致性风险度量指标的4个条件。

下面只给出次可加性的证明：由i ρ是一致性风
险度量指标，则对任意的 ()()(),,i i i X V Y V X Y V X Y X Y ρρρ∈∈+∈⇒+≤+ ()()()()11
n n
i i
i
i
i
i i X Y a X Y a X Y ρρρρ==+=
+≤+⎡⎤⎣⎦∑∑
()()()()1
1
n
n
i i
i i
i i a X a Y X Y ρρρρ===
+=+∑∑
所以ρ满足次可加性，类似可以证明其它3个性质，证毕。

上面的定理给出了i ρ 是离散的情况， 对于a ρ是一族风险度量指标的情况如 a a ES ρ=， 我们依然可以得到类似的结果。

推论：如果 a ρ是一族一致性风险度量指标 [],a a b ∈，那么对于任何的满足
()1b
a
du a =⎰
，
()0du a ≥的()du a 都有()b
a a du a ρρ=⎰是一致性风险度量指标。

证明：这一结果是显而易见的，它是定理一的连续形式，只需要在 a ρ满足一致性风险度量 指标的4个条件的前提下，证明
ρ也满足一致性风险度量指标的4个条件，下面只给出次
可加性的证明：由 a ρ 是一致性风险度量指标，则对任意的,,X V Y V X Y V ∈∈+∈都有
()()()i i i X Y X Y ρρρ+≤+。

因为()du a 满足()1b
a du a =⎰,()0du a ≥，所以
()()()()()()()b
b
a a a a
a
X Y du a X Y du a X Y ρρρρ+=+≤+⎰⎰
()()()()()()b
b
a a a
a
du a X du a Y X Y ρρρρ=
+=+⎰
⎰
所以a ρ满足次可加性，类似可以证明其它3个性质，证毕。

a ES 模型是一个一致性风险度量指标，我们可以把上面的推论应用到该模型上，假设
()[]1
1,()0,0,1adu a du a a =≥∈⎰
，则由推论可知：1
()a du a aES ρ=⎰ 是一致性风险
度量指标。

()()()11
1
1a a du a aES du a a
F p dp a ρ-==-⎰⎰⎰ ()()110
a
du a F p dp -=-⎰⎰
对上式应用卷积公式得：
()()()11
1
110
()a p
du a F p dp F p dp du a ρ--=-=-⎰⎰⎰⎰
取 ()1()p
f p du a =
⎰，因为()0du a ≥ ，则()()1
0p
f p du a =≥⎰ ，且
()f p 是 p 的减
函数，再利用卷积公式有：
()()1
1110
()a
p
f p dp dp du a du a dp ==⎰
⎰⎰⎰⎰
()1
1adu a =
=⎰
由()f p 具有的性质，我们可以把()f p 看作是 p 的概率密度函数。

如果p 是现实概率密度函数，则()f p 是经过调整的概率密度函数，()1
10
()F p f p dp ρ-=-⎰
是经风险调整过
的一致性风险度量指标，可以写成如下定理形式：
定理二：设 X 是描述证券组合损失的随机变量， []()F x P X x =≤是其概率分布函数，
令 ()(){}1
inf |F p x F x p -=≥,则()1
1
()F p f p dp ρ-=-⎰是一致性风险度量指标当且
仅当
()f p 满足 ()1
()0,1f p f p dp ≥=⎰，且 ()f p 是 p 的单调减函数。

证明：由上面的推理过程，可知定理成立。

该定理给出了一个判断具有 ()()1
10
F p f p dp ρ-=-
⎰
形式的度量指标是否具有一致性
的充分必要条件，下面我们看两个例子： 例1、我们取 11
()ospsa f p I a
=
，易检验知 ()1f p 满足定理二中的条件，因此根据定理二有 ()()1
110
F p f p dp ρ-=-⎰ 是一致性风险度量指标。

()()()11
1110
1ospsa F p f p dp F p I dp a
ρ--=-=-⎰⎰
()1
01a a F p dp ES a
-=-
=⎰ 这与我们前面已知的a ES 是一致性风险度量指标相一致。

例2、我们取
易检验知 ()2f p 是一个密度函数，但不是单调递减的函数，()2f p 不满足定理二中的条件，则由定理二知 ()()1
120
F p f p dp ρ-=-⎰
不是一致性风险度量指标。

()()()()1
11120
F p f p dp F p a p dp ρδ--=-
=--⎰
⎰
()1a F a VaR -=-=
这与我们前面介绍的a VaR 不是一致性风险度量指标相一致。

另外，从函数()f p 的单调性，我们还可以看到作为一致性风险度量指标，必须给予坏 的情况更大的权重，而这一点也正体现了人们的风险厌恶程度，就像给定一个效用函数就确 定了一个人的风险厌恶度，同样给定了一个函数()f p 同样表明一个人的风险厌恶程度。

凸转换度量 是一致的，经济学理性的风险度量方法，满足同单调可加性。

（1）毕业论文
正文：包括前言、本论、结论三个部分。

前言（引言）是论文的开头部分，主要说明论文写作的目的和现实意义，简述本课题国内外现状及对所研究问题的认识，并提出论文的中心论点等。

前言要写得简明扼要，篇幅不要太长。

本论是毕业论文的主体，包括研究内容与方法、实验材料、实验结果与分析（讨论）等。

在本部分要运用各方面的研究方法和实验结果，分析问题，论证观点，尽量反映出自己的科研能力和学术水平。

结论是毕业论文的收尾部分，是围绕本论所作的结束语。

其基本的要点是总结全文、加深题意、简述自己的创新成果或新见解。

（2）毕业设计说明书正文：包括前言、本论、结论三个部分。

前言（引言）：说明本设计的目的、意义、范围及应达到的技术要求；简述本课题在国内外的发展概况及存在的问题；本设计的指导思想；阐述本设计应解决的主要问题。

本论：
①设计方案论证：说明设计原理并进行方案选择。

说明为什么要选择这个设计方案（包括各种方案的分析、比较）；阐述所采用方案的特点（如采用了何种新技术、新措施、提高了什么性能等）。

②计算部分：这部分在设计说明书中应占有相当的比例。

要列出各零部件的工作条件、给定的参数、计算公式以及各主要参数计算的详细步骤和计算结果；根据此计算应选用什么元器件或零部件；需采用计算机的设计还应包括各种软件设计。

③结构设计部分：包括机械结构设计、各种电气控制线路设计及功能电路设计、计算机控制的硬件装置设计等，以及以上各种设计所绘制的图纸。

④样机或试件的各种实验及测试情况：包括实验方法、线路及数据处理等。

⑤方案的校验：说明所设计的系统是否满足各项性能指标的要求，能否达到预期效果。

校验的方法可以是理论验算（即反推算），包括系统分析；也可以是实验测试及计算机的上机运算等。

结论：概括说明设计的情况和价值，分析其优点和特色、有何创新、性能达到何水平，并应指出其中存在的问题和今后改进的方向。

6、参考文献：在毕业论文（设计说明书）末尾要列出在论文（设计）中参
考过的专著、论文及其他资料，所列参考文献应按文中参考或引证的先后顺序排列。

7、致谢：简述自己做毕业论文（设计）的体会，并应对指导教师和协助完成论文（设计）的有关人员表示谢意。

8、注释：对论文中所应用的名词术语的解释或是对引用处的说明，采用脚注形式。

9、附录：对于一些不宜放在正文中，但有参考价值的内容，可编入附录中。

例如，公式的推演、编写的算法、语言程序等。

外文文献及译文放入附录中。

二、毕业论文（设计）撰写格式要求
1、毕业论文一律打印，采取A4纸张，页边距一律采取：上、下2.5cm，左3cm,右1.5cm，行间距取多倍行距（设置值为1.25）；字符间距为默认值（缩放100%，间距：标准），封面采用教务处统一规定的封面。

2、字体要求
论文所用字体要求为宋体。

3、字号
第一层次题序和标题用小三号黑体字；第二层次题序和标题用四号黑体字；第三层次及以下题序和标题与第二层次同；正文用小四号宋体。

4、页眉及页码
毕业论文各页均加页眉，采用五号字宋体居中，打印“河北大学XXXX届本科生毕业论文（设计）”。

页码从正文开始在页脚按阿拉伯数字（宋体小五号）连续编排，居中书写。

5、摘要及关键词
中文摘要及关键词：“摘要”二字采用三号字黑体、居中书写，“摘”与“要”之间空两格，内容采用小四号宋体。

“关键词”三字采用小四号字黑体，顶格书写，一般为3—5个。

英文摘要应与中文摘要相对应，字体为小四号Times New Roman。

6、目录
“目录”二字采用三号字黑体、居中书写，“目”与“录”之间空两格，第一级采用小三号宋体字，其他级题目采用四号宋体字。

7、正文
正文的全部标题层次应整齐清晰，相同的层次应采用统一的字体表示。

第一级为“1”、“2”、“3”、等，第二级为“1.1”、“1.2”、“1.3”等，第三级为“1.1.1”、“1.1.2”等，具体格式要求详见模板（模板从教务处主页文件下载专区下载）。

8、参考文献
参考文献要另起一页，一律放在正文后，在文中要有引用标注，如×××[1]，具体格式要求详见模板（模板从教务处主页文件下载专区下载）。

9、注释
正文中在右上角加数码，形式为“①”，同时在本页使用WORD中页脚注功能，注文采用小五号宋体，具体格式要求详见模板（模板从教务处主页文件下载专区下载）。

10、附录
“附录”二字采用小三号黑体，“附”与“录”中间空两格。

外文资料及译文放入附录中，外文资料可用Ａ4纸复印，如果打印，采用小四号Times New Roman 字体，译文采用小四号宋体打印，格式参照毕业论文（设计）文本格式要求。

11、图、表、公式
图： a.要精选、简明，切忌与表及文字表述重复。

b.图中术语、符号、单位等应同文字表述一致。

c.图序及图名居中置于图的下方，用五号字宋体。

表： a.表中参数应标明量和单位的符号。

b.表序及表名置于表的上方。

c.表序、表名和表内内容采用五号宋体字。

公式：a.编号用括号括起写在右边行末，其间不加虚线。

b.公式中的英文字母和数字可以采用默认的字体和字号。

图、表与正文之间要有一行的间距，公式与正文之间不需空行；文中的图、表、附注、公式一律采用阿拉伯数字分章编号。

如：图2-5，表3-2，公式（5-1）（“公式”两个字不要写上）等。

若图或表中有附注，采用英文小写字母顺序编号。

12、量和单位
要严格执行GB3100—3102：93有关量和单位的规定（具体要求请参阅《常用量和单位》，计量出版社，1996）；物理量用斜体，单位用正体；
单位名称的书写，可以采用国际通用符号，也可以用中文名称，但全文应统一，不要两种混用。

13、标点符号
注意中英文标点符号的区别，不能混用。

三、毕业论文（设计）装订存档要求
毕业论文（设计）按以下顺序左侧装订归档：
封面→任务书→开题报告→指导情况记录→答辩记录→评阅书及成绩评定
表→中、英文摘要（含关键词）→目录→正文→参考文献→致谢→附录（含外文资料及中文译文）。

注：根据学科专业特点，各学院可参考本规范制定切合本学院实际情况的撰写规范。