第六讲_2.3高阶有限差分(6)概论

for i=1:nt;
xt(i)=(i-1)*dt;
T_e(i+1)=T_e(i)*(1-dt/tau);
%explicit
T_i(i+1)=T_i(i)/(1+dt/tau);
% implicit
T_m(i+1)=T_m(i)*(1-dt/2/tau)/(1+dt/2/tau);
%mix
T_a(i)=t0*exp(-xt(i)/tau);
t0=1; % initial temperature tau=0.7; % time constant dt=0.01; % time interval t_total=10; nt=round(t_total/dt); % total time steps
T_e(1)=t0; T_i(1)=t0; T_m(1)=t0;
for n=0,1,2,3,...,n-1
tn 1 tn dt;
k1 dt Tn
dt k 2 (Tn k1);
Tn 1 Tn 1 (k1 k 2); 2
End
预估 校正
高阶外推
y f (x, y) x
显式Euler方法是最简单的单步法，它是一阶的，它可以看作Talylor展 开后取前两项。因此，得到高阶方法的一个直接想法是用Talylor展开， 如果能计算的高阶导数，则可写出p阶方法的计算方法
实例：
董良国等，2000，地球物理学报 一阶弹性波方程交错网格高阶差分解法
高阶Taylor外推
高阶外推
for n=0,1,2,3,…,N-1
xn+1=xn+dx; k1=dx*f(xn,yn); k2=dx*f(xn+1,yn+k1); yn+1=yn+1/2*(k1+k2)
end
预估 校正
xlabel('Time (s)','Fontname','times new roman','FontSize',14);
ylabel('Temperature','Fontname','times new roman','FontSize',14);
title('dt=0.01 tau=0.7');
四点三阶导数
f
( x)
1 2(dx)3
(
f
(x 2dx) 2
f
(x dx) 2
f
(x
dx)
f
(x
2dx))
x-2dx x-dx x x+dx x+2dx
12 ab
34 5 cd e
五点二阶导数
f
(x)
1 12(dx)2
(
f
(x
2dx)
16
f
(x
dx)
30
f
(x)
16
f
(x
dx)
回顾：
显式差分方法
隐式差分方法 Crank-Nicolson隐式差分
sTi
n1 1
(2
ห้องสมุดไป่ตู้
2s)Ti n 1
sTin11
sTi
n 1
(2
2 s)Ti n
sTi
n 1
显式
最简单隐式
Crank-Nicolson 隐式
牛顿冷却问题不同差分格式的matlab程序
%Malab-1D clear; clc; figure('color','w');
不同差分格式计算结果对比 混合差分格式精度最高！
不同差分格式计算结果对比 混合差分格式精度最高！
不同差分格式计算结果对比 混合差分格式精度最高！
不同差分格式计算结果对比 混合差分格式精度最高！
不同差分格式计算结果对比 混合差分格式精度最高！
高阶差分算子
主讲人：胡才博 中国科学院大学地球科学学院 中国科学院计算地球动力学重点实验室
四点三阶
x-2dx x-dx x x+dx x+2dx
12 ab
34 cd
x-2dx x-dx x x+dx x+2dx
12 ab
34 cd
四点插值
f (x) 1 f (x 2dx) 2 f (x dx) 2 f (x dx) 1 f (x 2dx)
6
3
3
6
四点一阶导数
f (x) 1 ( f (x 2dx) 8 f (x dx) 8 f (x dx) f (x 2dx)) 12dx
af bf (a b) f (a b) f d x
注意：上式对任意a，b都成立！
插值： 令 插值权重：
ab 1 a b 0
a 0.5 b 0.5
w1 0.5, w2 0.5
微分：令 a b 0 a b 1/ dx
a 1 ,b 1
2dx
2dx
插值权重：
1
1
w1 2dx , w2 2dx
w(i) j
f
(xj
)
j 1,l
f(x-dx) f(x) f(x+dx)
一阶情况：
f (x dx) f x f (x)dx f (x dx) f x f (x)dx
f(x-dx) f(x) f(x+dx)
两点一阶情况：
1
2
af af af d x bf bf bf d x
两式相加：
算子长度
微分
微分 函数f(x)在某一位置x的近似值以及导数（一阶、二阶、高阶等）如何计算？ 办法：充分利用更多相邻点的信息。 问题：如何计算相邻点的权重（系数）？
i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3
Taylor算子 在不同相邻点进行Taylor级数展开
构造如下形式的表达式：
f (i) (x)
为什么需要高阶算子
以上的差分形式又称为微分算子(derivative operator)。在实际应用中，基于一阶 和二阶差分形式的差分格式的精度不能满足要求，在以上差分形式中，我们只 用到相邻网格节点上的值。 是否可以利用更多的信息提高微分算子的精度？ 用待定系数法构造精度较高的差分格式。
Taylor算子
%analytical
results
end
xt(nt+1)=nt*dt;
plot(xt,T_e,'b.-', xt,T_i,'g.-', xt,T_m,'m.-', xt,T_a,'r.-',);hold on %
set(gca,'DataAspectRatio',[(max(xt)min(xt))/(max(T_e)-min(T_e))/3 1 1]);
f
(x
2dx))
单侧算子
小结
• 1、高阶精度的有限差分算子可以利用Taylor级数展 开推导出来。
• 2、对于双侧算子，权重系数随着算子长度的增加 迅速减小。
• 3、对于单侧算子，权重系数随着算子长度的增加 迅速增大。
• 4、以上给出的高阶算子提高了空间微分近似的精 度，我们还需要给出提高时间域外推的精度的方法。