10第十讲 非结构网格生成方法

非网格生成原理
非结构网格的生成，以二维三角形网格为例
•Voronoi 图，又叫泰森多边形或
Dirichlet 图，它是由一组由连接两邻点直线的垂直平分线组成的连续多边形组成。

Voronoi 图
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V4、v6、v8、v7、v5组成的多边形内的点到7点的距离最小(相对于其它1、2、…)。

由这些多边形组成的图为Voronoi图
•Voronoi图定义是：假设V＝(v1,v2,…..,vn)，N＞3是欧几里德平面上的一个点集，并且这些点三点不共线，四点不共圆。

用d(vi，vj)表示点vi，vj间的欧几里德距离。

设x为平面上的点，则区域V(i)=(xE2|d(x,vi)<=d(x,vj),j=1,2,….,N, ji)称为Voronoi多边形(V—多边形)。

各点的V－多边形共同组成Voronoi图。

Voronoi 图和Delaunay 三角网
Delaunay三角网
•Delaunay三角网的定义是：有公共边的Voronoi 多边形称为相邻的Voronoi多边形。

连接所有相邻的Voronoi多边形的生长中心所形成的三角网称为Delaunay三角网。

•Delaunay三角网是Voronoi图的伴生图形
Delaunay三角形（粗线）和V oronoi多边形（细线）
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Delaunay三角网与Voronoi图
Delaunay三角网的唯一性；
没有任何其它三角形顶点在三角形的外接圆内部，反之，如果一个三角网满足此条件，那么它就是Delaunay三角网； Delaunay三角网中的三角形最接近于等边三角形
Delaunay三角网有以下特性：
Delaunay三角网的特性（空外接圆）•空外接圆性质：在由点集V所形成的
Delaunay三角网中，其每个三角形的外接
圆均不包含点集V中的其它任意点；
•空外接圆性质也称为circle准则，是点集中每
三个点所构成的三角形成为Delaunay三角
形的充要条件。

空外接圆特性
circle 准则示意图,图(b)正确Delaunay三角网更接近于等边三角形
•最大的最小角度性质：在由点集V 所能形成的三角网中，Delaunay 三角网中三角形的最小角度是最大的。

Delaunay三角网的特性（
最大的最小角）最大化的最小内角
•Delaunay 三角网的各种算法主要分为三类：•分治算法•逐点插入法•三角网生长法•下面主要介绍逐点插入法。

Delaunay 三角网的算法分类
逐点插入算法示意图
在已有网格中，每次插入一个新节点P,在网格中找出包含P的三角形T,然后从T开始递归搜寻外接圆包含点P的三角形，并删除这些三角形，形成一个多边形(图中阴影部分)，连接它的各个顶点和形成新的三角形，这可以保证网格为Delaunay剖分。

然后进行迭代，直至所有节点处理完。

逐点插入算法示意图
在已有的Delaunay 网格
中引入新点在新点周围，利用逐点插入算法对网格划分进行局部更新
描述网格的数据结构
struct point
{
double x, y;
double density;
double sumx,
sumy, sums;
int mark;
int number ;
int renumber;
}struct edge {int node1，node2; int mark; double long;int number;int renumber; }struct triangle {int a, b, c; int number;int ea, eb, ec;int sa, sb, sc;int mark; double xv, yv, R, r;int renumber; }
•e为vironoi顶点所在三角形单元的编号；a、b、c为相邻vironoi顶点的编号
struct v_node
{
double x,y;
int number;
int e;
jnt a,b,c;
}
•因子。

对三角形单元,其质量因子定义为：
三角形单元质量评价标准
j
j
R r 2=
网格划分整体质量的优劣
•为了便于衡量网格划分整体质量的优劣，我们引入了平均因子、
和最差因子，这几个因子分别定义为：
二维任意域内Delaunay三角网格的全自动生成•Lawson提出了用逐点插入法建立Voronoi三角网的算法思想。

Lee和Schachter，Bowyer，Watson，S1oan，
Macedonio 和Pareschi，F1oriani 和Puppo，Tsai先后进行了发展和完善。

逐点插入算法的基本步骤是：
•(1) 定义一个包含所有数据点的初始多边形；
•(2) 在初始多边形中建立初始三角网格，然后迭代以下步骤，直至
所有数据点都被处理；
•(3) 插入一个数据点P，在三角网中找出包含P的三角形e，把P与e
的三个顶点相连，生成三个新的三角形；
•(4) 用LOP算法优化三角网；
•(5) 网格的光滑化；
•(6) 节点与单元编号的优化。

初始多边形的生成和进行几何和拓扑不相容处理
•初始网格生成算法的基本步骤可以描述为：
•a、根据给定要求，对计算区域边界进行离散，得到边界的离散点集；•b、定义一足够大的能够覆盖整个计算区域的大三角形；
•c、从边界点集中取出一个未处理的边界点作为新加点，利用A.Bowyer
算法将其引入原有网格划分中；
•d、检查边界点集中是否存在未处理的边界点，如果存在，则返回执行步
骤c。

•e、检查已有划分是否与流场边界保持一致，如果存在没有包括在网格划分中的边界连线，则将其存入数组R中；否则，已有网格划分包括了所有边界连线，执行步骤g。

•f、对包括在数组R中的所有边界连线，将该连线的中点作为新加入点引入
到原有网格划分中。

直至R为空，执行步骤g。

•g、逐一检查网格中的三角形单元，如果一个单元的重心位于计算域外，则删去这一单元，即进行拓扑不相容处理。

边界的离散点集
•M 为边PQ 的中点，C A 为▲PAQ 的外心，X 为新插入的结点。

新插入的节点在Voronoi 边上。

也可以把新插入的节点放在三角单元的外心处(称之为Voronoi 顶点法)。

以下介绍第一种情况
内部节点的生成
•式中的p为MQ的长度，q为M和C A两点之间的距离，是校正后▲PQX的外接圆半径，是校正前▲PQX的外接圆半径，是一个和P、Q两点网格密度有关的经验函数。

内部节点的生成
•重复插入内部节点，直到生成的三角形网格
满足用户的要求为止。

LOP
算法优化三角网
•局部优化过程LOP(Local Optimization Procedure)是所有生成D—三角网算法都要用到的关键过程。

理论上说，不论用何种方法生成的三角网，只要用LOP过程进行处理，就能使它变为D—三角网。

这样一个重要的过程其实非常简单，它就是运用D—三角网的性质对由两个有公共边的三角形组成的四边形进行判断。

如果其中一个三角形的外接
圆包含第四个顶点，则将这个四边形的对角线交换。

•常用光滑化方法包括Laplacian
方法、以面积为权的光滑化和以边长为权的光滑化。

设与点P 相连的点P i （i=1,2,…,k ）到P 的距离为Li ，这些点与P 连成的三角形的面积为S i ，则以上三种光滑方法的坐标调整公式分别为：
网格光滑化处理
网格光滑化处理
二维三角网格的数量关系
•E：三角形数；
•N 、Nb、Ni：顶点数、边界点数和内点数；•S、Sb、Si：边数、边界边数和内边数；•H：内环数；
平面三角形网格满足下列数量关系：
•N－S+E=1－H
•3E=2Si+Sb
•Sb=Nb
•E=Nb+2Ni－2+2H
•Si=Nb+3Ni－3+3H
•S=2Nb+3Ni－3+3H
局部加密
•主要对相应位置处的三角单元外接圆半径进行
控制
•流程图
EASY MESH
•EASY MESH:开源代码
•http://www-
dinma.univ.trieste.it/nirftc/researc h/easymesh/
非结构化四面体网格生成方法
•三维Voronoi图是一组凸多面体组成的几何结构,可以构造出Delaunay四面体.空间几何体剖分的Delaunay四面体应具有如下特点:•(1)所形成的四面体互不重叠;•(2)所形成的四面体可以覆盖整个三维空间;
•(3)任一点均不位于不包含该点的四面体的外
接球内.
•第三点是Delaunay四面体的一个重要性质,•也是生成Delaunay四面体的出发点.
•同二维三角形网格初始化方法,首先给定
求解区域边界面上一些点的坐标,由此确
定三维空间的边界,这些点同时就作为一
组初始Delaunay 四面体的顶点.做一个
辅助长方体以及5个四面体包围这些顶点,
这5个四面体分别为1236、1348、
1568、3678、1368,见图2.按照
Delaunay 四面体化方法,对边界点依次
进行四面体网格的生成.所有四面体网格
生成过程完成之后,将与1—8点连接的四
面体以及不在区域中的四面体去掉,则网
格初始化工作完成
初始化网格
生成Delaunay四面体的出发点
•对于三维问题,假定存在一个初始网格,现在其中加入新点,则凡是外接球内包括新增点的四面体需要重新进行连接.方法是将所有外接球包括新增点的四面体的公共面去掉,连接新点与有关四面体的各顶点,则形成新的网格点分布.可以验证,这样生成的四面体为Delaunay 四面体.
•以两个四面体网格为例进行说明,见上图.原四面体网格为ACDE和BCDE,在其中加入一个新点F.显然,两个四面体的外接球都包含了点F(左图).按照上述规则,将两个四面体的公共面CDE去掉,重新连接各顶点.新生成的四面体网格分别为ACDF、ADEF、ACFE、BCDF 、BDEF、BCEF.这6个四面体满足Delaunay四面体的3个特点。