全国中学生物理竞赛课件18：电容器

时稍有偏斜，使两板间距一端为d，另一端为（d＋h），且h d，试求该空气电
容器的电容 ．
解题方向: 不平行电容器等效 为无穷多个板间距离不等的平
a
b
行板电容器并联!
dh
若无穷均分b
d
h
C若d0dina无lniilmi1m穷ddiiinih1n1均11/dbd分nd0C0iaiCai0nbhabnbbnbhbCnh
该无穷网络等效电容为 Cn
3 1C 2
专题18-例3 如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别
为ε1、ε2和ε3的均匀介质，板的面积为S，板间距离为2d．试求电容 器的电容 ．
C1
0 1 S
4d
C2
02 S
2d
C3
03 S
2d
等效于C1与串联的C2、C3 并联:
1 C1
C2 2 d C3 3 d
解题方向:与设想将q均匀细分n份，
均匀分布在距板r处的平面M后等效
+
+
这是两个电容并联!
+
两电容器电容之比 Cr R
+
CR r
+ +
q 并联电容总电量
+
每个电容带电量
qA Cr qB CR
R qA R r q
+
AM
B
r
qB R r q
三块相同的平行金属板，面积为S，彼此分别相距d1和d2．起返初回 板1上带有电量Q，而板2和板3不带电．然后将板３、２分别接在电池正、负极上，
+σ2
附加电荷在板间引起的电场互相抵消，并不影响原来
的板间电场，也不会改变电容器的电势．
等效电容为:
C CC C C
20 S
D1
其中C0
20 S
D
C
20 S
D
U
S
C
D1
2 0
1272 V
电容为C的平行板电容器的一个极板上有电量＋q， 而另一个极板上有电量+4q，求电容器两极板间的电势差．
球形电容器的电容 C
4 0
Rr Rr
R r
本题电容器等效于介电常数为１和ε的两个半球电 ε
容器并联，每个半球电容各为
C1
2 0
Rr Rr
C2
2 0
Rr Rr
该球形电容器的等效电容为
C2
2 0
1
Rr Rr
如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器．长l、半径分 别为r和R．两圆筒间充满介电常数为ε的电介质．求此电容器的电容．
电池提供的电压为U．若板1、3用导线连接如图，求1、2、3各板所带电量 ？
设三块板上电量依次为＋q1、－q2、 ＋q3，由电荷守恒：
q1 q2
q1 q2 q3 Q ①
1、2两板间的电场是三板上电荷引起电场的叠加： q3
E12
q1 q2 q3
20 S
U
q1
q2
20 S
q3
d1
②
3、2两板间的电场也是三板上电荷引起电场的叠加：
+q1
+q1
量Q,可由定义求得C
考虑其中1球,电势为U时,电量
R O1
R O2
UR q1 k
引入同样的第2球,1球将电势叠加, +q1
为维持U,
q2
q1 2
R rO1 2
O1
对称地,为维持球2电势U,亦设置 q3
像电荷予以抵消
-q2+q-3q4 -q+4 q3-q2
2 q1 q1 32 3
0 4
n
i 1
ri2
r ri2
r
q
0 4
1
1 RA
1
RB
1
U R R
lliimm
nni i 11
RAA
iRAr
r
RARBA rirR AA
2r
RA
n
1
r
RB
专题18-例2 两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，
试求此孤立导体的电容．
解题方向: 若能确定
系统电势为U时的电
如果在每个金属板上附加-2.5q的电荷， 电容器的带电就成为两板带等量异种电 荷1.5q 的“标准状况”：
則U 1.5q C
3q
2C
三个电容分别为C1、C 2、C 3的未带电的电容器，如图方式相
连，再接到点A、B、D上．这三点电势分别为ＵA、UB、ＵD．则公共点O的电势
是多大？
解题方向:考虑电容器电容、
b、c、d四部分
所求等效电容为a与b串联、c与d串联后两
部分并联而成1， 由3C∝ε可得 2 3 1 3 2 3
a
3
c
b
1
2
d
⑵插入导体薄片
所求等效电容为1与2并联与3串联，由C∝ε可得
23 1 2
2 3 1 2
球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳 构成，球壳内半径为R，其间一半充满介电常数为ε的均匀介质，如 图所示，求电容.
五电容连接直观电路如图
- C1
C1 M
C2
设在A、B两端加一电压U，并设
UM＞UN
AA
M(N)处连接三块极板总电量为０
则有
U1 U2 U
C1U1 C2U2 U2 U1 C3
C3 CC22 C3 CC21
C1
N
解得
U1 U 2
8 U
15 7U 15
于是有
五电容连接后的等效电容为
Q1
rO2
+q1 O2
2R 3
为抵消像电荷引起的电势,再设置 下一级像电荷
Q
2q1
1
1 2
1 3
1 4
C 8 ln2 0R
2 ln 2 UR
k
半径分别为a和b的两个球形导体，相距很远地放返置回，
分别带有电荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电 荷量及系统的电容.
解题方向: 系统总电量守恒，只要确定导
11 1
1
C C1 C2
Cn
C C1 C2
Cn
由U q C
电压按电容 反比例分配
由q
CU正电比荷例按分电配容
♠ 电容器相关研究
E0
电介质的介电常数定义为
E0 E
C 0 S E0
d 示例
到例４
+-
+
+
-
+
+
-
+
+
-
+
++ -
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
E +
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
设圆柱面电容器电容为C，它由n个电
ri-1ri
容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱
面电容器可视为平行板电容器，第i个元电
容为 nC 0 2 ri l
ri ri1
ri ri1 0 2 l
ri
ri nC
lim ri1n lim1 0 2 l n
n ri n
nC
r
0 2 l
e C
C
20 l ln
q1
E23
Q 2
q1 q2 q3 U
20 S
0 SU
d
q2
Biblioteka Baidu
0US
1 d1
q3
q2 q1
20 S
d2
③
1 d2
q3
Q 2
0 SU
d2
专题18-例6 如图所示的电路中，C1＝4C0，C2＝2C0，C3＝C0，电池电动势
为，不计内阻，C0与为已知量．先在断开S4的条件下，接通S1、S2、S3，令电池给
C
C1
C2C3 C2 C3
0S
2d
1
2
1 3
22
2 2 3
3
在极板面积为S，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的
介质，如图所示．⑴如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质
的介电常数应是多少？⑵如果在ε3和ε1、ε2之间插有极薄的导体薄片，⑴问的结果 应是多少？
⑴将电容器划分为如图所示a、
r R
R
平行板电容器的极板面积为S，板间距离为D．其间充满返介回质，
介质的介电常数是变化的，在一个极板处为ε1 ，在另一个极板处为ε2 ，其它各处
的C ．介电常数解与题到方介电向常:数介为ε质1处变的距化离的成电线性容关器系，等如效图为，试无求穷此电多容个器介的电容
质不同的平行板电容器串联!
无穷均分C
d123
i i+1
0ab di1 di
C
h
di
n
等0式ab两lim边n取n次1 方极1 限得
d n i1 1 i h n
ab d h n Cbh
C ln d h e0ab
0 nd
h d d
如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C1＝4μF，C2＝ 6μF，C＝10μF，求AB间的总电容．
q32
q32
C0
2 7
C0
2
I 2R
专题18-例7 在光滑绝缘水平面上，平行板电容器的极板A固定，极板B用
绝缘弹簧固定在侧壁上，如图所示，若将开关S闭合，极板B开始平行地向极板A
移动，到达新的平衡位置时两极板间距离减少了d1=10%．如果开关闭合极短时间 后就立刻断开（此间设极板B未及从原位置移动），求此后极板B到达新的平衡位
电荷面密度σ1=3μC/m2，另一板上电荷面密度σ2=6μC/m2 ，在两板之间平行地放
置一块厚d=5 mm的石蜡板，石蜡的介电常数ε=2．求两金属板之间的电压 ．
如果在每个金属板上附加面密度
+σ1
为-4.5μC/m2的电荷，电容器的带 电就成为“标准状况”了——两 d
D
板带等量异种电荷1:.5C/m2
A
电压与电量之间的关系
C1
设三个电容带电量分别为
則 U AO
UA
UO
q1 C1
q1
q2
q3
C2
O C3
UBO
UB
UO
q2 C2
U DO
UD
UO
q3 C3
B
D
UO
U AC1 UBC2 UDC3 C1 C2 C3
又 q1 q2 q3 0
如图所示的两块无限大金属平板A、B均接地，现在两板之间 放入点电荷q，使它距A板r，距B板R．求A、B两板上的感应电荷电量各如何？
三中个，电电容阻器RS上4充断总电开共；，产然生后S的1断、热开S量S2、1及、S放S32电接、过S通3程，的达接条到通件放S4电下，总使，量电三一容电半器容时放，电器R，并上求联的：电在放流电．过程
电源上，电路情况如图所示： 每个电容器电量为
S4
q1 4C0 q2 2C0 q3 C0 R
断开 S1、S2、S3接通S4的条件下，三电容 器串联在电源上，电路情况如图所示：
♠ 电容
导体得到单位电势所必须给予的电量
q C= 从定义式U
C=
4q出 0发R
示例
U
通过等效变换 示例
基本联接
电容器联接
电量 电压 等效电 容 电压电流
分配律
C1
C2
C3
U1
UU2
U3
q1 C1 q2 C2 q3 C3
U
q q1 q2 qn q q1 q2 qn
U U1 U2 Un U U1 U2 Un
+
-
+
-
+
-
++ -
+
-
+
-
+
-
W
1 UQ
1 CU 2
Q2
2
2
2C
到例6
由高斯定理,无限大均匀带电平面的
电场由
e
S
0
E
e
Q Q
2S 20
两面积S、间距d平行板电容器当带电荷量Q时，板 E
间电场由电场叠加原理可得为
E2
S
两板间电势差 2 0
U d
0
0
則C
Q U
S d
0S
d
0
由E高i 斯定Se理,在0距4q球ri心2 ri处场强
由电荷守恒：q1 q3 q1 q3
由电势关系：q1q1
q2
q2
q1
q3q2
4C0 2C0 C0
得q1
24 7
C0
q2
18 7
C0
q2
3 7
C0
- C1
S3
-C2
C3
-
q1 -q-1q2 q2 q3 -q3
S2
S1
q1 q1 q2 q2q3 q3
則Q
W
1
q12
q12
2 4C0
q22 q22 2C0
8 15 UC1
Q2
7 15 UC2
BB
C
Q1 Q2 U
8 15 C1
7 15 C2
C 74 F
15
如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，返求回A、 B两点间的总电容．
A
C
B
n Cn
设n个网格的电容为Cn,
则有
Cn
C
C 2
Cn
C
C 2
CAB
Cn
整理得 2Cn2 2CCn C 2 0
r
+
+
+
在距球心ri处
取r
RA
n
RB
n
+
其上场强视作恒定,则元电势差为 +
O
+
ri +
Ui
q
0 4 ri2
RA
n
RB
+
nq
則 C Q 4 R R nli电mnlii容mn1器innrni12r两R1极Anlim间i1in电r11R势RArA差0rii为rr12A1UrB0nql4im1nliim1
++ +
q1 q2 q1
++ +
+
由U12 U43 U32
即 q1 q2 q3
C0
C0 C0
其中 C0 0
S d
q q 3 q 2
12
U 32
++ ++
++
+ ++
+
++
++ +
+q1 q-1q1q2 q+2q2q3 q-q3 2
q2
d
q1 q2
C0
30 S
专题18-例5 如图所示，两块金属平板平行放置，相距D=1 cm，一板上
e
2
1
1
D
2
D
0
1
2 1
D
ri
S
ri ri1
0
1
2
1
D
ri
S
1
ri
1
2
1
D
ri 1
i 1 2… … n
nC
ε1
ε2
x
等式两边取0 n次ri-1r方i 极D 限得
nC
1
2
2
DC
1
0
S
1
2
1
D
ri 1
1
2
1
D
ri
1
C 2
1
D
0
S
nC
0S
D
2 ln 2
1 ln 1
线连接后系统的电势,可由定义求得C
设连接后两球各带电 qa qb
由电荷守恒有 qa + qb qa qb
由等势且相距很远kqa kqb U ab
解得
qa
a a
b qa
qb
U k qa qb
ab
則 C qa qb a b
U
k
专题18-例1 如图，两块长与宽均为a与b的导体平板在制成平行板电容器
专题18-例4 四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为q1、-
q1、q2、-q2．各板彼此相距为d，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板1、
板4的外面用导线连接，求板2与板3之间的电势差 ．
解题方向:利用电容对两板间
的电压及极板上的电量的制约
q1 q3 q1 q2
1 23 4
++